Maumbo haya ya kijiometri yanatuzunguka kila mahali. Poligoni mbonyeo zinaweza kuwa asili, kama vile sega la asali, au bandia (iliyotengenezwa na mwanadamu). Takwimu hizi hutumiwa katika uzalishaji wa aina mbalimbali za mipako, katika uchoraji, usanifu, mapambo, nk. Poligoni mbonyeo zina sifa ya kwamba pointi zake zote ziko upande mmoja wa mstari ulionyooka ambao hupitia jozi ya vipeo vya karibu vya takwimu hii ya kijiometri. Kuna ufafanuzi mwingine pia. Poligoni inaitwa mbonyeo ikiwa iko katika nusu-ndege moja kuhusiana na mstari wowote ulionyooka ulio na moja ya pande zake.
Poligoni mbonyeo
Katika mwendo wa jiometri ya msingi, poligoni rahisi pekee ndizo huzingatiwa kila wakati. Ili kuelewa mali yote ya vilemaumbo ya kijiometri, ni muhimu kuelewa asili yao. Kuanza, inapaswa kueleweka kuwa mstari wowote unaitwa kufungwa, mwisho wa ambayo sanjari. Kwa kuongeza, takwimu inayoundwa nayo inaweza kuwa na usanidi mbalimbali. Polygon ni mstari rahisi uliofungwa uliovunjika, ambao viungo vya jirani haviko kwenye mstari sawa sawa. Viungo vyake na wima ni, kwa mtiririko huo, pande na wima za takwimu hii ya kijiometri. Laini rahisi lazima isiwe na makutano ya kibinafsi.
Vipeo vya poligoni huitwa karibu ikiwa vinawakilisha ncha za moja ya pande zake. Kielelezo cha kijiometri ambacho kina nambari ya nth ya wima, na kwa hivyo nambari ya nth ya pande, inaitwa n-gon. Mstari uliovunjika yenyewe huitwa mpaka au contour ya takwimu hii ya kijiometri. Ndege ya poligoni au poligoni bapa inaitwa sehemu ya mwisho ya ndege yoyote iliyofungwa nayo. Pande za karibu za takwimu hii ya kijiometri huitwa sehemu za mstari uliovunjika unaotoka kwenye vertex moja. Hazitakuwa karibu ikiwa zinatoka kwa wima tofauti za poligoni.
Ufafanuzi mwingine wa poligoni mbonyeo
Katika jiometri ya msingi, kuna ufafanuzi kadhaa sawa unaoonyesha ni poligoni ipi inaitwa convex. Taarifa hizi zote ni za kweli sawa. Pembe poligoni inachukuliwa kuwa mbonyeo ikiwa:
• kila sehemu inayounganisha pointi mbili ndani yake iko ndani yake kabisa;
• ndani yakediagonal zake zote ni uongo;
• pembe yoyote ya ndani haizidi 180°.
Poligoni kila mara hugawanya ndege katika sehemu 2. Mmoja wao ni mdogo (inaweza kufungwa kwenye mduara), na nyingine haina ukomo. Ya kwanza inaitwa kanda ya ndani, na ya pili ni eneo la nje la takwimu hii ya kijiometri. Poligoni hii ni makutano (kwa maneno mengine, sehemu ya kawaida) ya nusu-ndege kadhaa. Zaidi ya hayo, kila sehemu ambayo inaishia kwenye sehemu ambazo ni za poligoni ni yake kabisa.
Aina za poligoni mbonyeo
Ufafanuzi wa poligoni mbonyeo hauonyeshi kuwa kuna aina nyingi zake. Na kila mmoja wao ana vigezo fulani. Kwa hivyo, poligoni mbonyeo ambazo zina pembe ya ndani ya 180 ° huitwa dhaifu dhaifu. Mchoro wa kijiometri uliobonyea ambao una vipeo vitatu huitwa pembetatu, nne - pembe nne, tano - pentagoni, n.k. Kila moja ya n-gons mbonyeo hukutana na mahitaji muhimu yafuatayo: n lazima iwe sawa na au zaidi ya 3. Kila moja ya pembetatu ni mbonyeo. Kielelezo cha kijiometri cha aina hii, ambayo wima zote ziko kwenye mduara huo, inaitwa iliyoandikwa kwenye mduara. Poligoni mbonyeo huitwa circumscribed ikiwa pande zake zote karibu na duara zitaigusa. Poligoni mbili zinasemekana kuwa sawa ikiwa tu zinaweza kuwekwa juu kwa nafasi kubwa zaidi. Poligoni ya ndege inaitwa ndege ya poligonal.(sehemu ya ndege), ambayo imezuiwa na takwimu hii ya kijiometri.
Poligoni mbonyeo za kawaida
Poligoni za kawaida ni maumbo ya kijiometri yenye pembe na pande sawa. Ndani yao kuna hatua 0, ambayo iko katika umbali sawa kutoka kwa kila wima yake. Inaitwa katikati ya takwimu hii ya kijiometri. Sehemu zinazounganisha katikati na vipeo vya takwimu hii ya kijiometri huitwa apothemu, na zile zinazounganisha sehemu ya 0 na pande zinaitwa radii.
Upande wa nne wa kawaida ni mraba. Pembetatu ya usawa inaitwa pembetatu ya usawa. Kwa takwimu kama hizo, kuna sheria ifuatayo: kila kona ya poligoni mbonyeo ni 180°(n-2)/ n, ambapo n ni nambari ya wima ya mchoro huu wa kijiometri uliobonyea.
Eneo la poligoni yoyote ya kawaida hubainishwa na fomula:
S=ph, ambapo p ni nusu ya jumla ya pande zote za poligoni iliyotolewa na h ni urefu wa apothemu.
Sifa za poligoni mbonyeo
Poligoni za Convex zina sifa fulani. Kwa hivyo, sehemu inayounganisha alama 2 za takwimu kama hiyo ya kijiometri lazima iko ndani yake. Uthibitisho:
Chukulia kuwa P ni poligoni mbonyeo iliyopewa. Tunachukua pointi 2 za kiholela, kwa mfano, A, B, ambazo ni za P. Kulingana na ufafanuzi uliopo wa poligoni ya convex, pointi hizi ziko upande huo wa mstari, ambao una upande wowote wa P. Kwa hivyo, AB pia ina sifa hii na iko katika P. Poligoni mbonyeo inaweza kugawanywa katika pembetatu kadhaa kila wakati kwa diagonal zote zinazotolewa kutoka kwa mojawapo ya vipeo vyake.
Pembe za maumbo ya kijiometri yaliyokongomea
Pembe za poligoni mbonyeo ni pembe zilizoundwa na kando zake. Pembe za ndani ziko katika eneo la ndani la takwimu ya kijiometri iliyotolewa. Pembe inayoundwa na pande zake zinazoungana kwenye kipeo kimoja inaitwa pembe ya poligoni mbonyeo. Pembe zilizo karibu na pembe za ndani za takwimu ya kijiometri iliyopewa huitwa nje. Kila kona ya poligoni mbonyeo iliyoko ndani yake ni:
180° - x, ambapo x ni thamani ya pembe ya nje. Fomula hii rahisi hufanya kazi kwa maumbo yoyote ya kijiometri ya aina hii.
Kwa ujumla, kwa pembe za nje kuna kanuni ifuatayo: kila pembe ya poligoni mbonyeo ni sawa na tofauti kati ya 180° na thamani ya pembe ya ndani. Inaweza kuwa na maadili kutoka -180 ° hadi 180 °. Kwa hivyo, wakati pembe ya ndani ni 120°, pembe ya nje itakuwa 60°.
Jumla ya pembe za poligoni mbonyeo
Jumla ya pembe za ndani za poligoni mbonyeo huwekwa kwa fomula:
180°(n-2), ambapo n ni nambari ya wima ya n-gon.
Jumla ya pembe za poligoni mbonyeo ni rahisi kukokotoa. Fikiria takwimu yoyote ya kijiometri. Ili kuamua jumla ya pembe ndani ya poligoni mbonyeo, ni muhimukuunganisha moja ya vipeo vyake na vipeo vingine. Kama matokeo ya hatua hii, pembetatu (n-2) hupatikana. Tunajua kwamba jumla ya pembe za pembetatu yoyote daima ni 180 °. Kwa kuwa idadi yao katika poligoni yoyote ni (n-2), jumla ya pembe za ndani za kielelezo kama hicho ni 180° x (n-2).
Jumla ya pembe za poligoni mbonyeo, yaani, pembe zozote mbili za nje za ndani na zinazopakana, kwa umbo lililotolewa la kijiometri itakuwa sawa na 180° kila wakati. Kulingana na hili, unaweza kubainisha jumla ya pembe zake zote:
180 x n.
Jumla ya pembe za ndani ni 180°(n-2). Kulingana na hili, jumla ya pembe zote za nje za takwimu hii imewekwa na formula:
180°n-180°-(n-2)=360°.
Jumla ya pembe za nje za poligoni mbonyeo yoyote itakuwa 360° (bila kujali idadi ya pande).
Pembe ya nje ya poligoni mbonyeo kwa ujumla inawakilishwa na tofauti kati ya 180° na thamani ya pembe ya ndani.
Sifa zingine za poligoni mbonyeo
Mbali na sifa za kimsingi za maumbo haya ya kijiometri, yana mengine ambayo hutokea wakati wa kuyabadilisha. Kwa hivyo, poligoni yoyote inaweza kugawanywa katika n-gons kadhaa za convex. Kwa kufanya hivyo, ni muhimu kuendelea kila pande zake na kukata takwimu hii ya kijiometri pamoja na mistari hii ya moja kwa moja. Inawezekana pia kugawanya poligoni yoyote katika sehemu kadhaa za mbonyeo kwa njia ambayo vipeo vya kila kipande vinapatana na vipeo vyake vyote. Kutoka kwa takwimu kama hiyo ya kijiometri, pembetatu zinaweza kufanywa kwa urahisi sana kwa kuchora zotediagonal kutoka kwa vertex moja. Kwa hivyo, poligoni yoyote inaweza hatimaye kugawanywa katika idadi fulani ya pembetatu, ambayo inageuka kuwa muhimu sana katika kutatua matatizo mbalimbali yanayohusiana na maumbo hayo ya kijiometri.
Mzunguko wa poligoni mbonyeo
Sehemu za mstari uliovunjika, unaoitwa pande za poligoni, mara nyingi huashiriwa kwa herufi zifuatazo: ab, bc, cd, de, ea. Hizi ni pande za takwimu za kijiometri na wima a, b, c, d, e. Jumla ya urefu wa pande zote za poligoni mbonyeo hii inaitwa mzunguko wake.
mduara wa poligoni
Poligoni mbonyeo zinaweza kuandikwa na kuzungushwa. Mduara unaogusa pande zote za takwimu hii ya kijiometri inaitwa iliyoandikwa ndani yake. Poligoni kama hiyo inaitwa circumscribed. Katikati ya duara ambayo imeandikwa katika poligoni ni sehemu ya makutano ya viambata viwili vya pembe zote ndani ya takwimu fulani ya kijiometri. Eneo la poligoni kama hii ni:
S=pr, ambapo r ni kipenyo cha duara iliyoandikwa na p ni nusu mzunguko wa poligoni iliyotolewa.
Mduara ulio na vipeo vya poligoni huitwa kuzunguka pande zote. Zaidi ya hayo, takwimu hii ya kijiometri ya convex inaitwa iliyoandikwa. Katikati ya duara, ambayo imezingirwa kuhusu poligoni kama hiyo, ni sehemu ya makutano ya kinachojulikana kama vipengee viwili vya pande zote.
Milalo ya maumbo ya kijiometri ya kongosho
Milalo ya poligoni mbonyeo ni sehemu ambazounganisha wima zisizo karibu. Kila mmoja wao amelala ndani ya takwimu hii ya kijiometri. Idadi ya diagonal ya n-gon kama hii imewekwa na fomula:
N=n (n – 3)/ 2.
Idadi ya mishororo ya poligoni mbonyeo ina jukumu muhimu katika jiometri ya msingi. Idadi ya pembetatu (K) ambayo inawezekana kugawanya kila poligoni mbonyeo huhesabiwa kwa fomula ifuatayo:
K=n – 2.
Idadi ya mishororo ya poligoni mbonyeo hutegemea idadi ya vipeo vyake.
Mtengano wa poligoni mbonyeo
Katika baadhi ya matukio, ili kutatua matatizo ya kijiometri, ni muhimu kugawanya poligoni mbonyeo katika pembetatu kadhaa na diagonal zisizoingiliana. Tatizo hili linaweza kutatuliwa kwa kupata fomula mahususi.
Ufafanuzi wa tatizo: hebu tuite kizigeu sahihi cha n-gon ya mbonyeo katika pembetatu kadhaa kwa vilaza ambavyo hukatiza tu kwenye vipeo vya takwimu hii ya kijiometri.
Suluhisho: Tuseme kwamba Р1, Р2, Р3 …, Pn ni vipeo vya n-gon hii. Nambari ya Xn ni nambari ya sehemu zake. Hebu tuchunguze kwa makini diagonal iliyopatikana ya takwimu ya kijiometri Pi Pn. Katika sehemu yoyote ya kawaida P1 Pn ni ya pembetatu fulani P1 Pi Pn, ambayo ina 1<i<n. Kuendelea kutoka kwa hili na kuchukulia kuwa i=2, 3, 4 …, n-1, tunapata (n-2) vikundi vya sehemu hizi, ambazo zinajumuisha visa vyote vinavyowezekana.
Hebu i=2 iwe kundi moja la partitions za kawaida, kila mara ikiwa na diagonal Р2 Pn. Idadi ya partitions zinazoingia ndani yake ni sawa na idadi ya partitions(n-1)-gon P2 P3 P4… Pn. Kwa maneno mengine, ni sawa na Xn-1.
Ikiwa i=3, basi kundi hili lingine la partitions daima litakuwa na diagonals Р3 Р1 na Р3 Pn. Katika kesi hii, idadi ya partitions mara kwa mara ambayo ni zilizomo katika kundi hili itakuwa sanjari na idadi ya partitions ya (n-2)-gon P3 P4 … Pn. Kwa maneno mengine, itakuwa sawa na Xn-2.
Hebu i=4, kisha kati ya pembetatu kizigeu cha kawaida hakika kitakuwa na pembetatu P1 P4 Pn, ambayo quadrangle P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5 … Pn itaungana. Idadi ya sehemu za kawaida za pembetatu kama hiyo ni X4, na idadi ya sehemu za (n-3) -gon ni Xn-3. Kulingana na yaliyotangulia, tunaweza kusema kwamba jumla ya idadi ya sehemu sahihi zilizomo kwenye kikundi hiki ni Xn-3 X4. Vikundi vingine vilivyo na i=4, 5, 6, 7… vitakuwa na Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … sehemu za kawaida.
Hebu i=n-2, basi idadi ya migawanyiko sahihi katika kundi hili itakuwa sawa na idadi ya migawanyiko katika kikundi ambapo i=2 (kwa maneno mengine, ni sawa na Xn-1).
Kwa kuwa X1=X2=0, X3=1, X4=2…, basi idadi ya sehemu zote za poligoni mbonyeo ni:
Xn=Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + … + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.
Mfano:
X5=X4 + X3 + X4=5
X6=X5 + X4 + X4 + X5=14
X7=X6 + X5 + X4X4 + X5 + X6=42
X8=X7 + X6 + X5X4 + X4X5 + X6 + X7=132
Idadi ya sehemu sahihi zinazokatiza mshazari mmoja ndani
Unapoangalia kesi maalum, mtu anaweza kufikadhana kwamba idadi ya diagonal za convex n-gons ni sawa na bidhaa ya partitions zote za takwimu hii kwa (n-3).
Uthibitisho wa dhana hii: fikiria kuwa P1n=Xn(n-3), basi n-gon yoyote inaweza kugawanywa katika (n-2)-pembetatu. Zaidi ya hayo, (n-3) -quadrilateral inaweza kujumuisha wao. Pamoja na hili, kila quadrilateral itakuwa na diagonal. Kwa kuwa diagonal mbili zinaweza kuchora katika takwimu hii ya kijiometri ya convex, hii ina maana kwamba diagonal za ziada (n-3) zinaweza kuchora katika yoyote (n-3) -quadrilaterals. Kulingana na hili, tunaweza kuhitimisha kuwa katika kizigeu chochote cha kawaida inawezekana kuchora (n-3) -diagonal zinazokidhi masharti ya tatizo hili.
Eneo la poligoni mbonyeo
Mara nyingi, wakati wa kutatua matatizo mbalimbali ya jiometri ya msingi, inakuwa muhimu kuamua eneo la poligoni ya convex. Chukulia kuwa (Xi. Yi), i=1, 2, 3… n ni mfuatano wa viwima vyote vya jirani vya poligoni ambayo haina makutano ya kibinafsi. Katika kesi hii, eneo lake linahesabiwa kwa kutumia fomula ifuatayo:
S=½ (∑ (Xi + Xi + 1) (Yi + Yi + 1)), wapi (X1, Y1)=(Xn +1, Yn + 1).
