Pembetatu, mraba, heksagoni - takwimu hizi zinajulikana na takriban kila mtu. Lakini sio kila mtu anajua polygon ya kawaida ni nini. Lakini haya yote ni maumbo ya kijiometri sawa. Poligoni ya kawaida ni ile ambayo ina pembe na pande sawa. Kuna idadi kubwa ya takwimu kama hizi, lakini zote zina sifa sawa, na kanuni sawa zinatumika kwao.
Sifa za poligoni za kawaida
Poligoni yoyote ya kawaida, iwe mraba au oktagoni, inaweza kuandikwa kwenye mduara. Mali hii ya msingi hutumiwa mara nyingi wakati wa kujenga takwimu. Kwa kuongeza, mduara unaweza pia kuandikwa kwenye poligoni. Katika kesi hii, idadi ya pointi za mawasiliano itakuwa sawa na idadi ya pande zake. Ni muhimu kwamba mduara ulioandikwa kwenye poligoni ya kawaida utakuwa na kituo cha kawaida pamoja nayo. Takwimu hizi za kijiometri zinakabiliwa na nadharia sawa. Upande wowoteya n-gon ya kawaida inahusiana na radius R ya duara iliyozungukwa karibu nayo. Kwa hiyo, inaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula ifuatayo: a=2R ∙ sin180 °. Kupitia kipenyo cha duara, unaweza kupata si tu kando, bali pia eneo la poligoni.
Jinsi ya kupata idadi ya pande za poligoni ya kawaida
N-gon yoyote ya kawaida inajumuisha idadi fulani ya sehemu zinazolingana, ambazo, zinapounganishwa, huunda laini iliyofungwa. Katika kesi hii, pembe zote za takwimu zilizoundwa zina thamani sawa. Polygons imegawanywa katika rahisi na ngumu. Kundi la kwanza linajumuisha pembetatu na mraba. Polygons changamano zina pande nyingi zaidi. Pia ni pamoja na takwimu za umbo la nyota. Kwa poligoni ngumu za kawaida, pande zinapatikana kwa kuziandika kwenye mduara. Hebu toa ushahidi. Chora poligoni ya kawaida yenye idadi ya kiholela ya pande n. Eleza mduara unaoizunguka. Bainisha kipenyo R. Sasa fikiria kuwa n-gon imetolewa. Ikiwa pointi za pembe zake ziko kwenye mduara na ni sawa kwa kila mmoja, basi pande zinaweza kupatikana kwa formula: a=2R ∙ sinα: 2.
Kupata idadi ya pande za pembetatu ya kawaida iliyoandikwa
Pembetatu ya msawa ni poligoni ya kawaida. Njia sawa zinatumika kwake kama kwa mraba na n-gon. Pembetatu itazingatiwa kuwa sahihi ikiwa ina pande za urefu sawa. Katika kesi hii, pembe ni 60⁰. Tengeneza pembetatu kwa urefu uliopewa wa upande a. Kujua wastani na urefu wake,unaweza kupata thamani ya pande zake. Ili kufanya hivyo, tutatumia njia ya kupata kupitia formula \u003d x: cosα, ambapo x ni wastani au urefu. Kwa kuwa pande zote za pembetatu ni sawa, tunapata=b=c. Kisha taarifa ifuatayo itakuwa kweli a=b=c=x: cosα. Vile vile, unaweza kupata thamani ya pande katika pembetatu ya isosceles, lakini x itakuwa urefu uliopewa. Wakati huo huo, inapaswa kupangwa madhubuti kwa msingi wa takwimu. Kwa hivyo, tukijua urefu wa x, tunapata upande wa pembetatu ya isosceles kwa kutumia formula \u003d b \u003d x: cosα. Baada ya kupata thamani ya a, unaweza kuhesabu urefu wa msingi c. Wacha tutumie nadharia ya Pythagorean. Tutatafuta thamani ya nusu ya msingi c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2)=√x^2 (1 - cos^2α): cos^2α=x ∙ tgα. Kisha c=2xtanα. Hapa kuna njia rahisi ya kupata idadi ya pande za poligoni yoyote iliyoandikwa.
Hesabu pande za mraba ulioandikwa kwenye mduara
Kama poligoni nyingine yoyote ya kawaida iliyoandikwa, mraba una pande na pembe sawa. Njia sawa zinatumika kwake kama kwa pembetatu. Unaweza kuhesabu pande za mraba kwa kutumia thamani ya diagonal. Hebu fikiria njia hii kwa undani zaidi. Inajulikana kuwa diagonal hupunguza pembe. Hapo awali, thamani yake ilikuwa digrii 90. Kwa hivyo, baada ya mgawanyiko, pembetatu mbili za kulia zinaundwa. Pembe zao za msingi zitakuwa digrii 45. Ipasavyo, kila upande wa mraba utakuwa sawa, ambayo ni: a \u003d c \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, ambapo e ni diagonal ya mraba, au msingi wa pembetatu ya kulia inayoundwa baada ya mgawanyiko. Sio njia pekeekutafuta pande za mraba. Wacha tuandike takwimu hii kwenye duara. Kujua radius ya mduara huu R, tunapata upande wa mraba. Tutaihesabu kama ifuatavyo a4=R√2. Radi ya poligoni za kawaida hukokotolewa kwa fomula R=a: 2tg (360o: 2n), ambapo a ni urefu wa upande.
Jinsi ya kukokotoa mzunguko wa n-gon
Mzingo wa n-gon ni jumla ya pande zake zote. Ni rahisi kuhesabu. Ili kufanya hivyo, unahitaji kujua maadili ya pande zote. Kwa aina fulani za poligoni, kuna fomula maalum. Wanakuwezesha kupata mzunguko kwa kasi zaidi. Inajulikana kuwa poligoni yoyote ya kawaida ina pande sawa. Kwa hiyo, ili kuhesabu mzunguko wake, inatosha kujua angalau mmoja wao. Fomu itategemea idadi ya pande za takwimu. Kwa ujumla, inaonekana kama hii: P \u003d an, ambapo a ni thamani ya upande, na n ni idadi ya pembe. Kwa mfano, ili kupata mzunguko wa octagon ya kawaida na upande wa 3 cm, unahitaji kuzidisha kwa 8, yaani, P=3 ∙ 8=cm 24. Kwa hexagon yenye upande wa cm 5, tunahesabu. kama ifuatavyo: P=5 ∙ 6=cm 30. Na hivyo kwa kila poligoni.
Kutafuta mzunguko wa parallelogramu, mraba na rombusi
Kulingana na pande ngapi poligoni ya kawaida ina, mzunguko wake unakokotolewa. Hii inafanya kazi iwe rahisi zaidi. Hakika, tofauti na takwimu nyingine, katika kesi hii si lazima kuangalia kwa pande zake zote, moja tu ni ya kutosha. Kwa kanuni hiyo hiyo, tunapata mzungukoquadrangles, yaani, mraba na rhombus. Licha ya ukweli kwamba hizi ni takwimu tofauti, formula kwao ni sawa P=4a, ambapo a ni upande. Hebu tuchukue mfano. Ikiwa upande wa rhombus au mraba ni 6 cm, basi tunapata mzunguko kama ifuatavyo: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d cm 24. Parallelogram ina pande tofauti tu. Kwa hiyo, mzunguko wake unapatikana kwa kutumia njia tofauti. Kwa hivyo, tunahitaji kujua urefu a na upana b wa takwimu. Kisha tunaweka fomula P=(a + c) ∙ 2. Parallelogram, ambayo pande zote na pembe kati yao ni sawa, inaitwa rhombus
Kutafuta mzunguko wa pembetatu ya usawa na kulia
Mzingo wa pembetatu ya usawa wa kawaida unaweza kupatikana kwa fomula P=3a, ambapo a ni urefu wa upande. Ikiwa haijulikani, inaweza kupatikana kwa njia ya wastani. Katika pembetatu ya kulia, pande mbili tu ni sawa. Msingi unaweza kupatikana kupitia nadharia ya Pythagorean. Baada ya maadili ya pande zote tatu kujulikana, tunahesabu mzunguko. Inaweza kupatikana kwa kutumia formula P \u003d a + b + c, ambapo a na b ni pande sawa, na c ni msingi. Kumbuka kwamba katika pembetatu ya isosceles \u003d b \u003d a, kwa hivyo, a + b \u003d 2a, kisha P \u003d 2a + c. Kwa mfano, upande wa pembetatu ya isosceles ni 4 cm, pata msingi wake na mzunguko. Tunahesabu thamani ya hypotenuse kwa kutumia nadharia ya Pythagorean c=√a2 + v2=√16+16=√32=5.65 cm. Sasa tunahesabu mzunguko Р=2 ∙ 4 + 5, 65=13.65 cm.
Jinsi ya kupata pembe za poligoni ya kawaida
Poligoni ya kawaidahutokea katika maisha yetu kila siku, kwa mfano, mraba wa kawaida, pembetatu, octagon. Inaweza kuonekana kuwa hakuna kitu rahisi kuliko kujenga takwimu hii mwenyewe. Lakini hii ni kwa mtazamo wa kwanza tu. Ili kuunda n-gon yoyote, unahitaji kujua thamani ya pembe zake. Lakini unawapataje? Hata wanasayansi wa zamani walijaribu kuunda polygons za kawaida. Walikisia kuwaweka kwenye miduara. Na kisha pointi muhimu ziliwekwa alama juu yake, zimeunganishwa na mistari ya moja kwa moja. Kwa takwimu rahisi, tatizo la ujenzi limetatuliwa. Fomula na nadharia zimepatikana. Kwa mfano, Euclid katika kazi yake maarufu "The Beginning" alikuwa akijishughulisha na kutatua matatizo kwa 3-, 4-, 5-, 6- na 15-gons. Alipata njia za kuziunda na kupata pembe. Hebu tuone jinsi ya kufanya hivyo kwa 15-gon. Kwanza unahitaji kuhesabu jumla ya pembe zake za ndani. Ni muhimu kutumia formula S=180⁰(n-2). Kwa hiyo, tunapewa 15-gon, ambayo ina maana kwamba nambari n ni 15. Tunabadilisha data tunayojua kwenye fomula na kupata S=180⁰ (15 - 2)=180⁰ x 13=2340⁰. Tumepata jumla ya pembe zote za ndani za goni 15. Sasa tunahitaji kupata thamani ya kila mmoja wao. Kwa jumla kuna pembe 15. Tunafanya hesabu 2340⁰: 15=156⁰. Hii ina maana kwamba kila pembe ya ndani ni 156⁰, sasa kwa kutumia mtawala na dira, unaweza kujenga 15-gon ya kawaida. Lakini vipi kuhusu n-gons ngumu zaidi? Kwa karne nyingi, wanasayansi wamejitahidi kutatua tatizo hili. Ilipatikana tu katika karne ya 18 na Carl Friedrich Gauss. Aliweza kujenga 65537-gon. Tangu wakati huo, tatizo linazingatiwa rasmi kutatuliwa kabisa.
Ukokotoaji wa pembe za n-gonkwa radians
Bila shaka, kuna njia kadhaa za kupata pembe za poligoni. Mara nyingi huhesabiwa kwa digrii. Lakini unaweza pia kueleza kwa radians. Jinsi ya kufanya hivyo? Ni muhimu kuendelea kama ifuatavyo. Kwanza, tunapata idadi ya pande za poligoni ya kawaida, kisha uondoe 2. Kwa hiyo, tunapata thamani: n - 2. Kuzidisha tofauti iliyopatikana kwa nambari n ("pi"=3, 14). Sasa inabakia tu kugawanya bidhaa inayotokana na idadi ya pembe katika n-gon. Fikiria mahesabu haya kwa kutumia mfano wa kumi na tano sawa. Kwa hiyo, nambari n ni 15. Tumia formula S=p(n - 2): n=3, 14(15 - 2): 15=3, 14 ∙ 13: 15=2, 72. Hii, bila shaka, sio njia pekee ya kuhesabu pembe katika radiani. Unaweza tu kugawanya ukubwa wa pembe katika digrii kwa nambari 57, 3. Baada ya yote, digrii hizo nyingi ni sawa na radian moja.
Hesabu thamani ya pembe katika digrii
Kando na digrii na radiani, unaweza kujaribu kupata thamani ya pembe za poligoni ya kawaida katika viwango. Hii inafanywa kwa njia ifuatayo. Toa 2 kutoka kwa jumla ya idadi ya pembe, gawanya tofauti inayotokana na idadi ya pande za poligoni ya kawaida. Tunazidisha matokeo yaliyopatikana kwa 200. Kwa njia, kipimo kama hicho cha pembe kama mawe ya mvua ya mawe hakitumiki.
Ukokotoaji wa pembe za nje za n-gon
Kwa poligoni yoyote ya kawaida, isipokuwa ya ndani, unaweza pia kukokotoa pembe ya nje. Thamani yake inapatikana kwa njia sawa na kwa takwimu nyingine. Kwa hivyo, ili kupata pembe ya nje ya poligoni ya kawaida, unahitajikujua maana ya mambo ya ndani. Zaidi ya hayo, tunajua kwamba jumla ya pembe hizi mbili daima ni digrii 180. Kwa hiyo, tunafanya mahesabu kama ifuatavyo: 180⁰ kuondoa thamani ya pembe ya ndani. Tunapata tofauti. Itakuwa sawa na thamani ya pembe iliyo karibu nayo. Kwa mfano, kona ya ndani ya mraba ni digrii 90, hivyo pembe ya nje itakuwa 180⁰ - 90⁰=90⁰. Kama tunavyoona, si vigumu kuipata. Pembe ya nje inaweza kuchukua thamani kutoka +180⁰ hadi -180⁰, mtawalia.
