Mfululizo Nne ni uwakilishi wa chaguo za kukokotoa zilizochukuliwa kiholela na kipindi mahususi kama mfululizo. Kwa ujumla, suluhisho hili linaitwa mtengano wa kitu kwa msingi wa orthogonal. Upanuzi wa utendakazi katika mfululizo wa Fourier ni zana yenye nguvu ya kutosha ya kutatua matatizo mbalimbali kutokana na sifa za mageuzi haya wakati wa kuunganisha, kutofautisha, na pia kuhamisha usemi katika mabishano na ubadilishaji.
Mtu ambaye hajui hisabati ya juu, na vile vile kazi za mwanasayansi wa Ufaransa Fourier, kuna uwezekano mkubwa hataelewa "safu" hizi ni nini na ni za nini. Wakati huo huo, mabadiliko haya yamekuwa mnene sana katika maisha yetu. Haitumiwi tu na wanahisabati, bali pia na fizikia, kemia, madaktari, wanaastronomia, seismologists, oceanographers na wengine wengi. Hebu tuchunguze kwa undani kazi za mwanasayansi mkuu wa Kifaransa, ambaye alifanya ugunduzi kabla ya wakati wake.
Man and the Fourier Transform
Mifululizo Nne ni mojawapo ya mbinu (pamoja na uchanganuzi na nyinginezo) za ubadilishaji wa Fourier. Utaratibu huu hutokea kila wakati mtu anaposikia sauti. Sikio letu hubadilisha sauti kiotomatikimawimbi. Mwendo wa oscillatory wa chembe za msingi katika kati ya elastic hutengana kwa safu (pamoja na wigo) wa maadili mfululizo ya kiwango cha sauti kwa tani za urefu tofauti. Kisha, ubongo hugeuza data hii kuwa sauti zinazojulikana kwetu. Haya yote hutokea pamoja na hamu au fahamu zetu, peke yake, lakini ili kuelewa taratibu hizi, itachukua miaka kadhaa kusoma hisabati ya juu.
Mengi zaidi kuhusu Fourier Transform
Mabadiliko manne yanaweza kutekelezwa kwa uchanganuzi, nambari na mbinu zingine. Msururu wa Fourier hurejelea njia ya nambari ya kuoza michakato yoyote ya oscillatory - kutoka kwa mawimbi ya bahari na mawimbi ya mwanga hadi mizunguko ya shughuli za jua (na vitu vingine vya angani). Kwa kutumia mbinu hizi za hisabati, inawezekana kuchambua kazi, zinazowakilisha michakato yoyote ya oscillatory kama mfululizo wa vipengele vya sinusoidal ambavyo huenda kutoka kwa kiwango cha chini hadi cha juu na kinyume chake. Kubadilisha Fourier ni kazi inayoelezea awamu na amplitude ya sinusoids sambamba na mzunguko maalum. Utaratibu huu unaweza kutumika kutatua equations ngumu sana zinazoelezea michakato ya nguvu ambayo hutokea chini ya ushawishi wa nishati ya joto, mwanga au umeme. Pia, mfululizo wa Fourier hufanya iwezekane kutenga vipengele vya kudumu katika ishara changamano za oscillatory, ambayo ilifanya iwezekane kutafsiri kwa usahihi uchunguzi wa majaribio uliopatikana katika dawa, kemia na unajimu.
Usuli wa kihistoria
Baba mwanzilishi wa nadharia hiiJean Baptiste Joseph Fourier ni mwanahisabati Mfaransa. Mabadiliko haya yalipewa jina baada yake. Hapo awali, mwanasayansi alitumia njia yake ya kusoma na kuelezea mifumo ya upitishaji wa joto - kuenea kwa joto katika vitu vikali. Fourier alipendekeza kuwa usambazaji wa awali usio wa kawaida wa wimbi la joto unaweza kuharibiwa katika sinusoids rahisi zaidi, ambayo kila moja itakuwa na kiwango cha chini cha joto na kiwango cha juu, pamoja na awamu yake. Katika kesi hii, kila sehemu kama hiyo itapimwa kutoka kiwango cha chini hadi kiwango cha juu na kinyume chake. Kazi ya kihisabati ambayo inaelezea vilele vya juu na chini vya curve, pamoja na awamu ya kila moja ya uelewano, inaitwa mabadiliko ya Fourier ya kujieleza kwa usambazaji wa joto. Mwandishi wa nadharia alipunguza utendaji wa jumla wa usambazaji, ambao ni vigumu kuelezewa kihisabati, hadi msururu rahisi sana wa kushughulikia wa vitendaji vya mara kwa mara vya cosine na sine ambavyo vinajumlisha hadi usambazaji asilia.
Kanuni ya mabadiliko na maoni ya watu wa wakati wetu
Wazee wa wakati wa mwanasayansi - wanahisabati wakuu wa karne ya kumi na tisa - hawakukubali nadharia hii. Pingamizi kuu lilikuwa madai ya Fourier kwamba kitendakazi kisichoendelea kinachoelezea mstari ulionyooka au kipingo kisichoendelea kinaweza kuwakilishwa kama jumla ya vielezi vya sinusoidal ambavyo vinaendelea. Kama mfano, fikiria "hatua" ya Heaviside: thamani yake ni sifuri upande wa kushoto wa pengo na moja kulia. Kazi hii inaelezea utegemezi wa sasa wa umeme kwenye kutofautiana kwa wakati wakati mzunguko umefungwa. Watu wa wakati wa nadharia wakati huo hawakuwahi kukutana na vilehali ambapo usemi wa kukomesha utafafanuliwa kwa mchanganyiko wa utendakazi unaoendelea, wa kawaida, kama vile kielelezo, sinusoid, mstari au quadratic.
Ni nini kiliwachanganya wanahisabati wa Ufaransa katika nadharia ya Fourier?
Hata hivyo, ikiwa mwanahisabati alikuwa sahihi katika taarifa zake, kisha kujumlisha mfululizo usio na mwisho wa trigonometric Fourier, unaweza kupata uwakilishi kamili wa usemi wa hatua hata kama una hatua nyingi zinazofanana. Mwanzoni mwa karne ya kumi na tisa, taarifa kama hiyo ilionekana kuwa ya upuuzi. Lakini licha ya mashaka yote, wanahisabati wengi wamepanua wigo wa utafiti wa jambo hili, wakichukua zaidi ya upeo wa masomo ya conductivity ya mafuta. Walakini, wanasayansi wengi waliendelea kuhuzunika juu ya swali: "Je, jumla ya mfululizo wa sinusoidal inaweza kuunganishwa hadi thamani kamili ya kazi isiyoendelea?"
Muunganisho wa mfululizo wa Fourier: mfano
Swali la muunganiko huibuliwa kila inapobidi kujumlisha mfululizo usio na kikomo wa nambari. Ili kuelewa jambo hili, fikiria mfano wa classic. Je, unaweza kufikia ukuta ikiwa kila hatua inayofuata ni nusu ya saizi ya ile iliyotangulia? Tuseme wewe ni mita mbili kutoka kwa lengo, hatua ya kwanza inakuleta karibu na nusu ya hatua, inayofuata kwa alama ya robo tatu, na baada ya tano utafikia karibu asilimia 97 ya njia. Walakini, haijalishi ni hatua ngapi unachukua, hautafikia lengo lililokusudiwa kwa maana kali ya kihesabu. Kwa kutumia hesabu za nambari, mtu anaweza kuthibitisha kwamba mwishowe mtu anaweza kupata karibu kama apendavyo.umbali mdogo ulioainishwa. Uthibitisho huu ni sawa na kuonyesha kuwa jumla ya thamani ya nusu, robo, n.k. itaelekea kuwa moja.
Swali la Muunganiko: Ujio wa Pili, au Kifaa cha Lord Kelvin
Mara kwa mara swali hili liliulizwa mwishoni mwa karne ya kumi na tisa, wakati mfululizo wa Fourier ulijaribiwa kutumiwa kutabiri ukubwa wa ebb na mtiririko. Kwa wakati huu, Lord Kelvin alivumbua kifaa, ambacho ni kifaa cha kompyuta cha analogi ambacho kiliruhusu mabaharia wa jeshi na meli za wafanyabiashara kufuatilia jambo hili asilia. Utaratibu huu uliamua seti za awamu na amplitudo kutoka kwa jedwali la urefu wa mawimbi na muda unaolingana wa muda, uliopimwa kwa uangalifu katika bandari fulani wakati wa mwaka. Kila parameta ilikuwa sehemu ya sinusoidal ya usemi wa urefu wa wimbi na ilikuwa moja ya vipengele vya kawaida. Matokeo ya vipimo yaliingizwa kwenye kikokotoo cha Lord Kelvin, ambacho kiliunganisha mkunjo ambao ulitabiri urefu wa maji kama kipengele cha kukokotoa wakati kwa mwaka ujao. Hivi karibuni mikondo kama hiyo iliundwa kwa bandari zote za ulimwengu.
Na ikiwa mchakato umevunjwa kwa kitendakazi kisichoendelea?
Wakati huo, ilionekana dhahiri kuwa kitabiri cha wimbi la mawimbi kilicho na idadi kubwa ya vipengele vya kuhesabu kinaweza kukokotoa idadi kubwa ya awamu na amplitudo na hivyo kutoa ubashiri sahihi zaidi. Walakini, iliibuka kuwa utaratibu huu hauzingatiwi katika hali ambapo usemi wa mawimbi, unaofuatakuunganisha, zilizomo kuruka mkali, yaani, ilikuwa discontinuous. Katika tukio ambalo data imeingizwa kwenye kifaa kutoka kwa jedwali la muda mfupi, basi huhesabu coefficients kadhaa za Fourier. Kazi ya awali inarejeshwa shukrani kwa vipengele vya sinusoidal (kulingana na coefficients kupatikana). Tofauti kati ya usemi wa asili na uliorejeshwa unaweza kupimwa wakati wowote. Wakati wa kufanya mahesabu ya mara kwa mara na kulinganisha, inaweza kuonekana kuwa thamani ya kosa kubwa haina kupungua. Hata hivyo, zimejanibishwa katika eneo linalolingana na hatua ya kutoendelea, na huwa na sifuri katika hatua nyingine yoyote. Mnamo 1899, matokeo haya yalithibitishwa kinadharia na Joshua Willard Gibbs wa Chuo Kikuu cha Yale.
Muunganiko wa mfululizo wa Fourier na ukuzaji wa hisabati kwa ujumla
Uchambuzi nne zaidi hautumiki kwa misemo iliyo na idadi isiyo na kikomo ya milipuko katika muda fulani. Kwa ujumla, mfululizo wa Fourier, ikiwa kazi ya awali ni matokeo ya kipimo halisi cha kimwili, daima hukutana. Maswali ya muunganisho wa mchakato huu kwa madarasa maalum ya kazi yamesababisha kuibuka kwa sehemu mpya katika hisabati, kwa mfano, nadharia ya kazi za jumla. Inahusishwa na majina kama L. Schwartz, J. Mikusinsky na J. Temple. Ndani ya mfumo wa nadharia hii, msingi wazi na sahihi wa kinadharia uliundwa kwa misemo kama vile utendaji wa delta ya Dirac (inaelezea eneo la eneo moja lililojilimbikizia katika kitongoji kidogo cha uhakika) na Heaviside hatua”. Shukrani kwa kazi hii, safu ya Fourier ilitumika kwakutatua milinganyo na matatizo ambayo yanahusisha dhana angavu: malipo ya pointi, uzito wa pointi, dipole za sumaku, pamoja na mzigo uliokolezwa kwenye boriti.
Mbinu Nne
Mfululizo nne zaidi, kwa mujibu wa kanuni za kuingiliwa, huanza na mtengano wa maumbo changamano kuwa rahisi zaidi. Kwa mfano, mabadiliko ya mtiririko wa joto hufafanuliwa na kifungu chake kupitia vizuizi mbalimbali vilivyotengenezwa kwa nyenzo zisizo za kawaida za kuhami joto au mabadiliko katika uso wa dunia - tetemeko la ardhi, mabadiliko katika mzunguko wa mwili wa mbinguni - ushawishi wa sayari. Kama sheria, hesabu zinazofanana zinazoelezea mifumo rahisi ya kitamaduni hutatuliwa kimsingi kwa kila wimbi la mtu binafsi. Fourier alionyesha kuwa suluhu rahisi pia zinaweza kufupishwa ili kutoa suluhu kwa matatizo magumu zaidi. Katika lugha ya hisabati, safu ya Fourier ni mbinu ya kuwakilisha usemi kama jumla ya maumbo - cosine na sinusoidi. Kwa hivyo, uchanganuzi huu pia unajulikana kama "uchambuzi wa usawa".
Mfululizo nne - mbinu bora kabla ya "umri wa kompyuta"
Kabla ya kuundwa kwa teknolojia ya kompyuta, mbinu ya Fourier ilikuwa silaha bora zaidi katika ghala la silaha la wanasayansi walipokuwa wakifanya kazi na asili ya wimbi la dunia yetu. Mfululizo wa Fourier katika fomu tata huruhusu kutatua matatizo rahisi tu ambayo yanaweza kutumika moja kwa moja kwa sheria za mechanics ya Newton, lakini pia milinganyo ya kimsingi. Mavumbuzi mengi ya sayansi ya Newton katika karne ya kumi na tisa yaliwezekana tu kwa mbinu ya Fourier.
Mfululizo nne leo
Pamoja na uundaji wa kompyuta za kubadilisha Fourierkupandishwa kwa kiwango kipya kabisa. Mbinu hii imejikita katika karibu maeneo yote ya sayansi na teknolojia. Mfano ni ishara ya sauti ya dijiti na video. Utambuzi wake uliwezekana tu kwa nadharia iliyotengenezwa na mwanahisabati wa Ufaransa mwanzoni mwa karne ya kumi na tisa. Kwa hivyo, mfululizo wa Fourier katika fomu tata ilifanya iwezekanavyo kufanya mafanikio katika utafiti wa anga ya nje. Kwa kuongezea, iliathiri utafiti wa fizikia ya nyenzo za semiconductor na plasma, acoustics ya microwave, oceanography, rada, seismology.
Mfululizo wa Trigonometric Fourier
Katika hisabati, mfululizo wa Fourier ni njia ya kuwakilisha utendaji holela changamano kama jumla ya rahisi zaidi. Kwa ujumla, idadi ya misemo kama hiyo inaweza kuwa isiyo na kikomo. Aidha, zaidi idadi yao inazingatiwa katika hesabu, matokeo ya mwisho ni sahihi zaidi. Mara nyingi, kazi za trigonometric za cosine au sine hutumiwa kama rahisi zaidi. Katika kesi hii, mfululizo wa Fourier huitwa trigonometric, na ufumbuzi wa maneno hayo huitwa upanuzi wa harmonic. Njia hii ina jukumu muhimu katika hisabati. Kwanza kabisa, mfululizo wa trigonometric hutoa njia ya picha, pamoja na utafiti wa kazi, ni vifaa kuu vya nadharia. Kwa kuongeza, inaruhusu kutatua idadi ya matatizo ya fizikia ya hisabati. Hatimaye, nadharia hii ilichangia maendeleo ya uchambuzi wa hisabati, ilitoa idadi ya sehemu muhimu sana za sayansi ya hisabati (nadharia ya vipengele, nadharia ya kazi za upimaji). Kwa kuongezea, ilitumika kama mwanzo wa ukuzaji wa nadharia zifuatazo: seti, kaziutofauti halisi, uchanganuzi wa kiutendaji, na pia uliweka msingi wa uchanganuzi wa usawa.
