Kwa mgawanyiko wa hisabati katika aljebra na jiometri, nyenzo za kielimu huwa ngumu zaidi. Takwimu mpya na kesi zao maalum zinaonekana. Ili kuelewa nyenzo vizuri, ni muhimu kusoma dhana, sifa za vitu na nadharia zinazohusiana.
Dhana za jumla
Njira ya pembe nne ina maana ya takwimu ya kijiometri. Inajumuisha pointi 4. Kwa kuongeza, 3 kati yao haziko kwenye mstari sawa sawa. Kuna sehemu zinazounganisha pointi zilizobainishwa katika mfululizo.
Nyimbo zote za pembe nne zilizosomwa katika kozi ya jiometri ya shule zinaonyeshwa kwenye mchoro ufuatao. Hitimisho: kitu chochote kutoka kwa takwimu iliyowasilishwa kina sifa za takwimu iliyotangulia.
Nduara ya pembe nne inaweza kuwa ya aina zifuatazo:
- Parallelogram. Usambamba wa pande zake kinyume unathibitishwa na nadharia zinazolingana.
- Trapeze. Upande wa nne na besi sambamba. Vyama vingine viwili sio.
- Mstatili. Kielelezo ambacho kina pembe zote 4=90º.
- Rhombus. Kielelezo chenye pande zote sawa.
- Mraba. Inachanganya mali ya takwimu mbili za mwisho. Ina pande zote sawa na pembe zote ni sawa.
Fasili kuu ya mada hii ni sehemu ya pembe nne iliyoandikwa kwenye mduara. Inajumuisha zifuatazo. Hii ni takwimu ambayo mduara unaelezwa. Ni lazima kupita katika wima zote. Pembe za ndani za pembe nne iliyoandikwa kwenye mduara huongeza hadi 360º.
Si kila pembe nne inayoweza kuandikwa. Hii ni kutokana na ukweli kwamba bisectors perpendicular ya pande 4 haiwezi kuingiliana kwa wakati mmoja. Hii itafanya isiwezekane kupata kitovu cha mduara unaozunguka goni 4.
Kesi maalum
Kuna vighairi kwa kila sheria. Kwa hivyo, katika mada hii pia kuna kesi maalum:
- Sambamba, kwa hivyo, haiwezi kuandikwa kwenye mduara. Kesi yake maalum tu. Ni mstatili.
- Ikiwa wima zote za rhombus ziko kwenye mstari wa kuzunguka, basi ni mraba.
- Wima zote za trapezoidi ziko kwenye mpaka wa duara. Katika hali hii, wanazungumza kuhusu takwimu ya isosceles.
Sifa za pembe nne iliyoandikwa kwenye mduara
Kabla ya kusuluhisha matatizo rahisi na changamano kwenye mada fulani, unahitaji kuthibitisha ujuzi wako. Bila kusoma nyenzo za kielimu, haiwezekani kutatua mfano mmoja.
Nadharia 1
Jumla ya pembe kinyume cha pembe nne iliyoandikwa katika mduara ni 180º.
Ushahidi
Imetolewa: ABCD ya pembe nne imeandikwa kwenye mduara. Kiini chake ni uhakika O. Tunahitaji kuthibitisha kuwa <A + <C=180º na < B + <D=180º.
Inahitaji kuzingatia takwimu zilizowasilishwa.
- <A imeandikwa katika mduara ulio katikati ya sehemu O. Hupimwa kupitia ½ BCD (nusu arc).
- <C imeandikwa kwenye mduara sawa. Inapimwa kupitia ½ BAD (nusu-arc).
- BAD na BCD huunda mduara mzima, yaani, ukubwa wao ni 360º.
- <A + <C ni sawa na nusu ya jumla ya nusu ya safu inayowakilishwa.
- Hivyo <A + <C=360º / 2=180º.
Kwa njia sawa, uthibitisho wa <B na <D. Hata hivyo, kuna suluhu la pili kwa tatizo.
- Inajulikana kuwa jumla ya pembe za ndani za pembe nne ni 360º.
- Kwa sababu <A + <C=180º. Ipasavyo, <B + <D=360º – 180º=180º.
Nadharia 2
(Mara nyingi huitwa inverse) Ikiwa katika pembe nne <A + <C=180º na <B + <D=180º (ikiwa ni kinyume), basi mduara unaweza kuelezewa kuzunguka takwimu kama hiyo.
Ushahidi
Jumla ya pembe kinyume za ABCD ya pembe nne sawa na 180º imetolewa. <A + <C=180º, <B +<D=180º. Tunahitaji kuthibitisha kwamba mduara unaweza kuzungushwa karibu na ABCD.
Kutoka kwa kozi ya jiometri inajulikana kuwa mduara unaweza kuchorwa kupitia pointi 3 za pembe nne. Kwa mfano, unaweza kutumia pointi A, B, C. Ambapo pointi D itakuwa iko? Kuna makadirio 3:
- Anaishia ndani ya mduara. Katika hali hii, D haigusi mstari.
- Nje ya mduara. Anaenda mbali zaidi ya mstari ulioainishwa.
- Inatokea kwenye mduara.
Inapaswa kudhaniwa kuwa D yuko ndani ya mduara. Mahali pa kipeo kilichoonyeshwa kinachukuliwa na D'. Inageuka ABCD ya pembe nne'.
Matokeo yake ni:<B + <D´=2d.
Kama tutaendelea AD' hadi kwenye makutano na mduara uliopo unaozingatia pointi E na kuunganisha E na C, tutapata ABCE ya pembe nne iliyoandikwa. Kutoka kwa nadharia ya kwanza ifuatavyo usawa:
Kulingana na sheria za jiometri, usemi si sahihi kwa sababu <D' ni kona ya nje ya pembetatu CD'E. Kwa hivyo, inapaswa kuwa zaidi ya <E. Kutokana na hili tunaweza kuhitimisha kuwa D lazima iwe kwenye duara au nje yake.
Vile vile, dhana ya tatu inaweza kuthibitishwa kuwa si sahihi wakati D' inavuka mpaka wa takwimu iliyoelezwa.
Kutoka kwa nadharia mbili hufuata moja pekee iliyo sahihi. Vertex D iko kwenye mstari wa duara. Kwa maneno mengine, D inalingana na E. Inafuata kwamba pointi zote za quadrilateral ziko kwenye mstari ulioelezwa.
Kutoka kwa hawanadharia mbili, muendelezo hufuata:
Mstatili wowote unaweza kuandikwa kwenye mduara. Kuna matokeo mengine. Mduara unaweza kuzungushwa kuzunguka mstatili wowote
Trapezoid yenye makalio sawa inaweza kuandikwa kwenye mduara. Kwa maneno mengine, inaonekana kama hii: mduara unaweza kuelezewa kuzunguka trapezoid yenye kingo sawa
Mifano kadhaa
Tatizo 1. ABCD ya pembe nne imeandikwa kwenye mduara. <ABC=105º, <CAD=35º. Unahitaji kupata <ABD. Jibu lazima liandikwe kwa digrii.
Uamuzi. Mara ya kwanza, inaweza kuonekana kuwa ngumu kupata jibu.
1. Unahitaji kukumbuka mali kutoka kwa mada hii. Yaani: jumla ya pembe kinyume=180º.
<ADC=180º – <ABC=180º – 105º=75º
Katika jiometri, ni bora kushikamana na kanuni: tafuta kila kitu unachoweza. Inafaa baadaye.
2. Hatua inayofuata: tumia nadharia ya jumla ya pembetatu.
<ACD=180º – <CAD – <ADC=180 - 35º 75º=70º
<ABD na <ACD zimeandikwa. Kwa hali, wanategemea arc moja. Ipasavyo, zina thamani sawa:
<ABD=<ACD=70º
Jibu: <ABD=70º.
Tatizo 2. BCDE ni sehemu ya pembe nne iliyoandikwa kwenye mduara. <B=69º, <C=84º. Katikati ya duara ni ncha E. Tafuta - <E.
Uamuzi.
- Inahitaji kupata <E by Theorem 1.
<E=180º – <C=180º – 84º=96º
Jibu: < E=96º.
Tatizo 3. Imepewa sehemu ya pembe nne iliyoandikwa kwenye mduara. Takwimu zinaonyeshwa kwenye takwimu. Ni muhimu kupata thamani zisizojulikana x, y, z.
Suluhisho:
z=180º – 93º=87º (kwa Nadharia 1)
x=½(58º + 106º)=82º
y=180º – 82º=98º (kwa Nadharia 1)
Jibu: z=87º, x=82º, y=98º.
Tatizo 4. Kuna sehemu ya pembe nne iliyoandikwa kwenye mduara. Thamani zinaonyeshwa kwenye takwimu. Tafuta x, y.
Suluhisho:
x=180º – 80º=100º
y=180º - 71º=109º
Jibu: x=100º, y=109º.
Matatizo ya suluhisho huru
Mfano 1. Kwa kupewa mduara. Kituo chake ni uhakika O. AC na BD ni kipenyo. <ACB=38º. Unahitaji kupata <AOD. Jibu lazima litolewe kwa digrii.
Mfano 2. Imepewa ABCD ya pembe nne na mduara uliozungushwa kuizunguka. <ABC=110º, <ABD=70º. Pata <CAD. Andika jibu lako kwa digrii.
Mfano 3. Imepewa mduara na ABCD ya pembe nne iliyoandikwa. Pembe zake mbili ni 82º na58º. Unahitaji kupata pembe kubwa zaidi kati ya zilizosalia na uandike jibu kwa digrii.
Mfano 4. ABCD ya pembe nne imetolewa. Pembe A, B, C zimetolewa kwa uwiano wa 1:2:3. Inahitajika kupata pembe D ikiwa pembetatu maalum inaweza kuandikwa kwenye mduara. Jibu lazima litolewe kwa digrii.
Mfano 5. ABCD ya pembe nne imetolewa. Pande zake huunda arcs ya duara iliyozungushwa. Nambari za digrii AB, BC, CD na AD, mtawalia, ni: 78˚, 107˚, 39˚, 136˚. Unapaswa kupata <Kutoka kwa pembe nne uliyopewa na uandike jibu kwa digrii.
