Ili kubaini usawa na upenyo wa ndege, na pia kukokotoa umbali kati ya vitu hivi vya kijiometri, ni rahisi kutumia aina moja au nyingine ya kazi za nambari. Ni kwa shida gani ni rahisi kutumia equation ya ndege katika sehemu? Katika makala haya, tutaangalia ni nini na jinsi ya kuitumia katika kazi za vitendo.
Mlinganyo katika sehemu za mstari ni nini?
Ndege inaweza kubainishwa katika nafasi ya 3D kwa njia kadhaa. Katika makala hii, baadhi yao watapewa wakati wa kutatua matatizo ya aina mbalimbali. Hapa tunatoa maelezo ya kina ya equation katika sehemu za ndege. Kwa ujumla ina fomu ifuatayo:
x/p + y/q + z/r=1.
Ambapo alama p, q, r huashiria baadhi ya nambari mahususi. Mlinganyo huu unaweza kutafsiriwa kwa urahisi katika usemi wa jumla na katika aina nyingine za utendaji wa nambari za ndege.
Urahisi wa kuandika mlinganyo katika sehemu unatokana na ukweli kwamba ina viwianishi dhahiri vya makutano ya ndege yenye shoka za kuratibu za pembeni. Kwenye mhimili wa xkuhusiana na asili, ndege hukata sehemu ya urefu p, kwenye mhimili y - sawa na q, kwenye z - ya urefu r.
Ikiwa mojawapo ya vigeu hivyo vitatu haimo katika mlinganyo, basi hii ina maana kwamba ndege haipiti mhimili unaolingana (wanahisabati wanasema kwamba inavuka kwa infinity).
Inayofuata, haya ni baadhi ya matatizo ambayo tutaonyesha jinsi ya kufanya kazi na mlingano huu.
Mawasiliano ya jumla na katika sehemu za milinganyo
Inajulikana kuwa ndege inatolewa kwa usawa ufuatao:
2x - 3y + z - 6=0.
Ni muhimu kuandika mlinganyo huu wa jumla wa ndege katika sehemu.
Tatizo kama hilo linapotokea, unahitaji kufuata mbinu hii: tunahamisha neno lisilolipishwa hadi upande wa kulia wa usawa. Kisha tunagawanya equation nzima kwa neno hili, tukijaribu kuielezea kwa fomu iliyotolewa katika aya iliyotangulia. Tuna:
2x - 3y + z=6=>
2x/6 - 3y/6 + z/6=1=>
x/3 + y/(-2) + z/6=1.
Tumepata katika sehemu mlinganyo wa ndege, uliotolewa mwanzoni katika umbo la jumla. Ni dhahiri kwamba ndege hukata sehemu zenye urefu wa 3, 2 na 6 kwa shoka za x, y na z, mtawaliwa. Mhimili wa y hukatiza ndege katika eneo hasi la kuratibu.
Wakati wa kuunda mlinganyo katika sehemu, ni muhimu kwamba viambajengo vyote vitanguliwe na ishara "+". Katika kesi hii pekee, nambari ambayo kigezo hiki kimegawanywa kitaonyesha kiratibu kilichokatwa kwenye mhimili.
Vekta ya kawaida na kielekeo kwenye ndege
Inajulikana kuwa baadhi ya ndege ina vekta ya mwelekeo (3; 0; -1). Inajulikana pia kuwa inapita kwenye nukta (1; 1; 1). Kwa ndege hii, andika mlinganyo katika sehemu.
Ili kutatua tatizo hili, unapaswa kwanza kutumia umbo la jumla kwa kitu hiki cha kijiometri chenye pande mbili. Fomu ya jumla imeandikwa kama:
Ax + By + Cz + D=0.
Migawo mitatu ya kwanza hapa ni viwianishi vya vekta elekezi, ambayo imebainishwa katika taarifa ya tatizo, ambayo ni:
A=3;
B=0;
C=-1.
Inasalia kupata neno lisilolipishwa D. Inaweza kubainishwa kwa fomula ifuatayo:
D=-1(Ax1+ By1+ Cz1).
Ambapo thamani za kuratibu zilizo na index 1 zinalingana na viwianishi vya sehemu inayomilikiwa na ndege. Tunabadilisha maadili yao kutoka kwa hali ya shida, tunapata:
D=-1(31 + 01 + (-1)1)=-2.
Sasa unaweza kuandika mlingano kamili:
3x - z - 2=0.
Mbinu ya kubadilisha usemi huu kuwa mlinganyo katika sehemu za ndege tayari imeonyeshwa hapo juu. Itumie:
3x - z=2=>
x/(2/3) + z/(-2)=1.
Jibu la tatizo limepokelewa. Kumbuka kuwa ndege hii inakatiza tu shoka za x na z. Kwa y ni sambamba.
Mistari miwili iliyonyooka inayofafanua ndege
Kutoka kwa jiometria ya anga, kila mwanafunzi anajua kuwa mistari miwili kiholela hufafanua ndege kwa njia ya kipekee.nafasi tatu-dimensional. Hebu tutatue tatizo kama hilo.
Milingano miwili ya mistari inajulikana:
(x; y; z)=(1; 0; 0) + α(2; -1; 0);
(x; y; z)=(1; -1; 0) + β(-1; 0; 1).
Ni muhimu kuandika mlinganyo wa ndege katika sehemu, kupitia mistari hii.
Kwa kuwa mistari yote miwili lazima ilale kwenye ndege, hii ina maana kwamba visambazaji (vielekezi) vyake lazima viwe na mwelekeo wa vekta (mwongozo) wa ndege. Wakati huo huo, inajulikana kuwa bidhaa ya vector ya sehemu mbili zilizoelekezwa za kiholela hutoa matokeo kwa namna ya kuratibu za tatu, perpendicular kwa hizo mbili za awali. Kwa kuzingatia mali hii, tunapata kuratibu za vekta ya kawaida kwa ndege inayotaka:
[(2; -1; 0)(-1; 0; 1)]=(-1; -2; -1).
Kwa kuwa inaweza kuzidishwa na nambari ya kiholela, hii inaunda sehemu mpya iliyoelekezwa sambamba na ile ya asili, tunaweza kuchukua nafasi ya ishara ya viwianishi vilivyopatikana na kinyume (kuzidisha kwa -1), tunapata:
(1; 2; 1).
Tunajua vekta ya mwelekeo. Inabakia kuchukua hatua ya kiholela ya mojawapo ya mistari iliyonyooka na kuchora mlingano wa jumla wa ndege:
A=1;
B=2;
C=1;
D=-1(11 + 20 + 30)=-1;
x + 2y + z -1=0.
Kutafsiri usawa huu kuwa usemi katika sehemu, tunapata:
x + 2y + z=1=>
x/1 + y/(1/2) + z/1=1.
Kwa hivyo, ndege hukatiza shoka zote tatu katika eneo chanya la mfumo wa kuratibu.
Pointi tatu na ndege
Kama tu mistari miwili iliyonyooka, pointi tatu hufafanua ndege katika nafasi ya tatu-dimensional kipekee. Tunaandika equation inayolingana katika sehemu ikiwa viwianishi vifuatavyo vya vidokezo vilivyo kwenye ndege vinajulikana:
Q(1;-2;0);
P(2;-3;0);
M(4; 1; 0).
Hebu tufanye yafuatayo: kukokotoa viwianishi vya vekta mbili kiholela zinazounganisha pointi hizi, kisha tutafute vekta n ya kawaida kwa ndege kwa kukokotoa bidhaa ya sehemu zilizoelekezwa zilizopatikana. Tunapata:
QP¯=P - Q=(1; -1; 0);
QM¯=M - Q=(2; 4; 0);
n¯=[QP¯QM¯]=[(1; -1; 0)(2; 4; 0)]=(0; 0; 6).
Chukua kiashiria P kama mfano, tunga mlinganyo wa ndege:
A=0;
B=0;
C=6;
D=-1(02 + 0(-3) + 60)=0;
6z=0 au z=0.
Tumepata usemi rahisi unaolingana na xy plane katika mfumo uliotolewa wa kuratibu wa mstatili. Haiwezi kuandikwa katika sehemu, kwa kuwa shoka za x na y ni za ndege, na urefu wa sehemu iliyokatwa kwenye mhimili wa z ni sifuri (pointi (0; 0; 0) ni ya ndege).
