Mara nyingi katika sayansi ya hisabati kuna matatizo na maswali kadhaa, na majibu mengi huwa hayako wazi kila wakati. Hakuna ubaguzi ulikuwa mada kama vile ukardinali wa seti. Kwa kweli, hii sio kitu zaidi ya usemi wa nambari ya idadi ya vitu. Kwa maana ya jumla, seti ni axiom; haina ufafanuzi. Inategemea vitu vyovyote, au tuseme seti yao, ambayo inaweza kuwa tupu, isiyo na mwisho au isiyo na mwisho. Kwa kuongezea, ina nambari kamili au nambari asili, matrices, mfuatano, sehemu na mistari.
Kuhusu vigeu vilivyopo
Seti tupu au tupu isiyo na thamani halisi inachukuliwa kuwa kipengele kikuu kwa sababu ni kikundi kidogo. Mkusanyiko wa seti ndogo zote za seti isiyo tupu ya S ni seti ya seti. Kwa hivyo, seti ya nguvu ya seti fulani inachukuliwa kuwa nyingi, inayofikiriwa, lakini moja. Seti hii inaitwa seti ya nguvu za S na inaonyeshwa na P (S). Ikiwa S ina vipengee vya N, basi P(S) ina viseti 2^n, kwa kuwa kitengo kidogo cha P(S) ni ∅ au kikundi kidogo kilicho na vipengee r kutoka S, r=1, 2, 3, … Inaundwa na kila kitu kisicho na mwisho.set M inaitwa wingi wa nguvu na inaashiria P (M).
Vipengele vya nadharia iliyowekwa
Sehemu hii ya maarifa iliendelezwa na George Cantor (1845-1918). Leo inatumika katika karibu matawi yote ya hisabati na hutumika kama sehemu yake ya msingi. Katika nadharia iliyowekwa, vipengele vinawakilishwa katika mfumo wa orodha na hutolewa na aina (seti tupu, singleton, seti za mwisho na zisizo na mwisho, sawa na sawa, zima), muungano, makutano, tofauti, na kuongeza ya nambari. Katika maisha ya kila siku, mara nyingi tunazungumza juu ya mkusanyiko wa vitu kama vile rundo la funguo, kundi la ndege, pakiti ya kadi, nk. Katika hesabu ya daraja la 5 na kuendelea, kuna nambari asilia, kamili, kuu na mchanganyiko.
Seti zifuatazo zinaweza kuzingatiwa:
- nambari asili;
- herufi za alfabeti;
- tabia mbaya za msingi;
- pembetatu zenye pande tofauti.
Inaweza kuonekana kuwa mifano hii iliyobainishwa ni seti zilizobainishwa vyema za vitu. Fikiria mifano michache zaidi:
- wanasayansi watano maarufu duniani;
- wasichana saba warembo katika jamii;
- madaktari watatu bora zaidi wa upasuaji.
Mifano hii ya kadinali si mkusanyo uliobainishwa vyema wa vitu, kwa sababu vigezo vya "maarufu zaidi", "mzuri zaidi", "bora" hutofautiana kati ya mtu na mtu.
Seti
Thamani hii ni nambari iliyobainishwa vyema ya vitu tofauti. Kwa kuchukulia kuwa:
- wordset ni kisawe, jumla, darasa na ina vipengele;
- vitu, wanachama ni masharti sawa;
- seti kwa kawaida huashiriwa kwa herufi kubwa A, B, C;
- vipengee vilivyowekwa vinawakilishwa na herufi ndogo a, b, c.
Ikiwa "a" ni kipengele cha seti A, basi inasemekana kwamba "a" ni ya A. Hebu tuonyeshe maneno "ni ya" pamoja na herufi ya Kigiriki "∈" (epsilon). Kwa hivyo, inabadilika kuwa ∈ A. Ikiwa 'b' ni kipengele ambacho si cha A, hii inawakilishwa kama b ∉ A. Baadhi ya seti muhimu zinazotumiwa katika hisabati ya daraja la 5 zinawakilishwa kwa kutumia mbinu tatu zifuatazo:
- maombi;
- sajili au jedwali;
- kanuni ya kuunda muundo.
Kwa uchunguzi wa karibu, fomu ya maombi inategemea yafuatayo. Katika kesi hii, maelezo ya wazi ya vipengele vya kuweka hutolewa. Wote wamefungwa kwa braces curly. Kwa mfano:
- seti ya nambari zisizo za kawaida chini ya 7 - imeandikwa kama {chini ya 7};
- seti ya nambari kubwa kuliko 30 na chini ya 55;
- idadi ya wanafunzi katika darasa ambao wana uzito zaidi ya mwalimu.
Katika fomu ya sajili (jedwali), vipengele vya seti vimeorodheshwa ndani ya jozi ya mabano {} na kutengwa kwa koma. Kwa mfano:
- Hebu N iashiria seti ya nambari tano za asili. Kwa hivyo, N=→ fomu ya usajili
- Seti ya vokali zote za alfabeti ya Kiingereza. Kwa hivyo V={a, e, i, o, u, y} → fomu ya usajili
- Seti ya nambari zote zisizo za kawaida ni chini ya 9. Kwa hivyo, X={1, 3, 5, 7} → fomuusajili
- Seti ya herufi zote katika neno "Hesabu". Kwa hivyo, Z={M, A, T, H, E, I, C, S} → Fomu ya Usajili
- W ni seti ya miezi minne ya mwisho ya mwaka. Kwa hivyo, W={Septemba, Oktoba, Novemba, Desemba} → usajili.
Kumbuka kwamba mpangilio ambao vipengele vimeorodheshwa haijalishi, lakini lazima zisirudiwe. Njia iliyoanzishwa ya ujenzi, katika kesi fulani, sheria, fomula au operator imeandikwa katika jozi ya mabano ili seti ifafanuliwe kwa usahihi. Katika fomu ya kuweka kijenzi, vipengele vyote lazima viwe na mali sawa ili kuwa mwanachama wa thamani inayohusika.
Katika aina hii ya uwakilishi wa seti, kipengele cha seti kinafafanuliwa kwa herufi "x" au kigezo kingine chochote kinachofuatwa na koloni (":" au "|" kinatumika kuashiria). Kwa mfano, acha P iwe seti ya nambari zinazoweza kuhesabika zaidi ya 12. P katika fomu ya kijenzi imeandikwa kama - {idadi inayohesabika na kubwa kuliko 12}. Itasoma kwa namna fulani. Hiyo ni, "P ni seti ya vipengele vya x ambavyo x inaweza kuhesabika na kubwa kuliko 12."
Mfano uliotatuliwa kwa kutumia mbinu tatu za uwakilishi: idadi ya nambari kati ya -2 na 3. Ifuatayo ni mifano ya aina tofauti za seti:
- Seti tupu au batili ambayo haina kipengele chochote na inaonyeshwa kwa ishara ∅ na inasomwa kama phi. Katika fomu ya orodha, ∅ imeandikwa {}. Seti ya mwisho ni tupu, kwa kuwa idadi ya vipengele ni 0. Kwa mfano, seti ya thamani kamili ni chini ya 0.
- Ni wazi haipaswi kuwa na <0. Kwa hivyo, hiiseti tupu.
- Seti iliyo na kigezo kimoja pekee inaitwa seti ya singleton. Si rahisi wala si mchanganyiko.
Seti kamili
Seti iliyo na idadi fulani ya vipengele inaitwa seti yenye kikomo au isiyo na kikomo. Tupu inahusu ya kwanza. Kwa mfano, seti ya rangi zote katika upinde wa mvua.
Infinity ni seti. Vipengele vilivyo ndani yake haviwezi kuhesabiwa. Hiyo ni, zenye vigezo sawa huitwa seti isiyo na mwisho. Mifano:
- nguvu ya seti ya pointi zote kwenye ndege;
- seti ya nambari zote kuu.
Lakini unapaswa kuelewa kwamba kanuni zote za muungano wa seti haziwezi kuonyeshwa katika mfumo wa orodha. Kwa mfano, nambari halisi, kwa kuwa vipengee vyake havilingani na muundo wowote mahususi.
Nambari kuu ya seti ni nambari ya vipengele tofauti katika kiasi fulani A. Inaashiria n (A).
Kwa mfano:
- A {x: x ∈ N, x <5}. A={1, 2, 3, 4}. Kwa hivyo, n (A)=4.
- B=seti ya herufi katika neno ALGEBRA.
Seti sawa za ulinganisho uliowekwa
Kadinali mbili za seti A na B ni kama hizo ikiwa nambari yao kuu ni sawa. Alama ya seti sawa ni "↔". Kwa mfano: A ↔ B.
Seti sawa: kanuni mbili za seti A na B ikiwa zina vipengele sawa. Kila mgawo kutoka A ni kigezo kutoka B, na kila moja ya B ni thamani iliyobainishwa ya A. Kwa hivyo, A=B. Aina tofauti za miungano ya makadinali na fasili zake zinafafanuliwa kwa kutumia mifano iliyotolewa.
Kiini cha kutokuwa na mwisho na kutokuwa na mwisho
Kuna tofauti gani kati ya kadinali ya seti yenye kikomo na seti isiyo na kikomo?
Thamani ya kwanza ina jina lifuatalo ikiwa ni tupu au ina idadi kamili ya vipengee. Katika seti yenye kikomo, kigezo kinaweza kubainishwa ikiwa kina hesabu ndogo. Kwa mfano, kwa kutumia nambari ya asili 1, 2, 3. Na mchakato wa kuorodhesha unaisha kwa N. Idadi ya vipengele tofauti vinavyohesabiwa katika seti ya mwisho S inaonyeshwa na n (S). Pia inaitwa amri au kardinali. Inaonyeshwa kwa ishara kulingana na kanuni ya kawaida. Kwa hivyo, ikiwa seti ya S ni alfabeti ya Kirusi, basi ina vipengele 33. Ni muhimu pia kukumbuka kuwa kipengele hakitokei zaidi ya mara moja katika seti.
Infinite katika seti
Seti inaitwa infinite ikiwa vipengele haviwezi kuhesabiwa. Ikiwa ina nambari ya asili isiyo na kikomo (yaani, isiyohesabika) 1, 2, 3, 4 kwa n yoyote. Seti isiyo na kikomo inaitwa isiyo na mwisho. Sasa tunaweza kujadili mifano ya nambari za nambari zinazozingatiwa. Chaguo za thamani za mwisho:
- Hebu Q={nambari asilia chini ya 25}. Kisha Q ni seti yenye kikomo na n (P)=24.
- Hebu R={nambari kamili kati ya 5 na 45}. Kisha R ni kuweka kikomo na n (R)=38.
- Hebu S={nambari modulo 9}. Kisha S={-9, 9} ni seti yenye kikomo na n (S)=2.
- Seti ya watu wote.
- Idadi ya ndege wote.
Mifano isiyo na kikomo:
- idadi ya pointi zilizopo kwenye ndege;
- idadi ya pointi zote katika sehemu ya mstari;
- seti ya nambari chanya zinazogawanywa na 3 haina kikomo;
- nambari zote nzima na asilia.
Kwa hivyo, kutokana na hoja iliyo hapo juu, ni wazi jinsi ya kutofautisha kati ya seti zenye kikomo na zisizo na kikomo.
Nguvu ya seti endelevu
Tukilinganisha seti na thamani zingine zilizopo, basi nyongeza itaambatishwa kwenye seti. Ikiwa ξ ni ya ulimwengu wote na A ni kikundi kidogo cha ξ, basi kijalizo cha A ni nambari ya vipengele vyote vya ξ ambavyo si vipengele vya A. Kiishara, kijalizo cha A kuhusiana na ξ ni A'. Kwa mfano, 2, 4, 5, 6 ni vipengele pekee vya ξ ambavyo si vya A. Kwa hiyo, A'={2, 4, 5, 6}
Seti yenye cardinality continuum ina vipengele vifuatavyo:
- kamilisho ya wingi wa wote ni thamani tupu inayozungumziwa;
- kigeu hiki cha null set ni cha ulimwengu wote;
- kiasi na kijalizo chake havina muunganiko.
Kwa mfano:
- Ruhusu nambari ya nambari asili iwe seti ya jumla na A iwe sawa. Kisha A '{x: x ni seti isiyo ya kawaida yenye tarakimu sawa}.
- Hebu ξ=seti ya herufi katika alfabeti. A=seti ya konsonanti. Kisha '=idadi ya vokali.
- Kijazo cha seti ya jumla ni kiasi tupu. Inaweza kuashiria kwa ξ. Kisha ξ '=Seti ya vipengele hivyo ambavyo havijajumuishwa katika ξ. Seti tupu φ imeandikwa na kuashiria. Kwa hiyo ξ=φ. Kwa hivyo, kijalizo cha seti ya wote ni tupu.
Katika hisabati, "continuum" wakati mwingine hutumiwa kuwakilisha mstari halisi. Na kwa ujumla zaidi, kuelezea vitu sawa:
- mwendelezo (katika nadharia iliyowekwa) - mstari halisi au nambari ya kadinali inayolingana;
- linear - seti yoyote iliyopangwa ambayo inashiriki sifa fulani za mstari halisi;
- mwendelezo (katika topolojia) - nafasi ya metriki iliyounganishwa isiyo tupu (wakati fulani Hausdorff);
- dhahania kwamba hakuna seti zisizo na kikomo ni kubwa kuliko nambari kamili lakini ndogo kuliko nambari halisi;
- nguvu ya mwendelezo ni nambari ya kadinali inayowakilisha saizi ya seti ya nambari halisi.
Kimsingi, mwendelezo (kipimo), nadharia au miundo inayoelezea mabadiliko ya taratibu kutoka hali moja hadi nyingine bila mabadiliko yoyote ya ghafla.
Matatizo ya muungano na makutano
Inajulikana kuwa makutano ya seti mbili au zaidi ni nambari iliyo na vipengele vyote vinavyojulikana katika thamani hizi. Kazi za maneno kwenye seti zinatatuliwa ili kupata mawazo ya msingi kuhusu jinsi ya kutumia umoja na mali ya makutano ya seti. Ilitatua shida kuu za maneno kwenyeseti inaonekana kama hii:
Acha A na B ziwe seti mbili zenye kikomo. Ni hivi kwamba n (A)=20, n (B)=28 na n (A ∪ B)=36, pata n (A ∩ B)
Uhusiano katika seti kwa kutumia mchoro wa Venn:
- Muungano wa seti mbili unaweza kuwakilishwa na eneo lenye kivuli linalowakilisha A ∪ B. A ∪ B wakati A na B ni seti zisizotenganishwa.
- Mkutano wa seti mbili unaweza kuwakilishwa na mchoro wa Venn. Na eneo lenye kivuli linalowakilisha A ∩ B.
- Tofauti kati ya seti hizi mbili inaweza kuwakilishwa na michoro ya Venn. Na eneo lenye kivuli linalowakilisha A - B.
- Uhusiano kati ya seti tatu kwa kutumia mchoro wa Venn. Ikiwa ξ inawakilisha kiasi cha ulimwengu wote, basi A, B, C ni seti ndogo tatu. Hapa seti zote tatu zinapishana.
Kufupisha maelezo ya seti
Ukadiriaji wa seti unafafanuliwa kuwa jumla ya idadi ya vipengele mahususi katika seti. Na thamani iliyobainishwa ya mwisho inaelezewa kama idadi ya vijisehemu vyote. Wakati wa kusoma maswala kama haya, njia, njia na suluhisho zinahitajika. Kwa hivyo, kwa ukadiriaji wa seti, mifano ifuatayo inaweza kutumika kama:
Hebu A={0, 1, 2, 3}| |=4, wapi | A | inawakilisha kadinali ya seti A.
Sasa unaweza kupata kifurushi chako cha nishati. Ni rahisi sana pia. Kama ilivyosemwa tayari, seti ya nguvu imewekwa kutoka kwa vikundi vyote vya nambari fulani. Kwa hivyo mtu anapaswa kufafanua kimsingi anuwai, vitu na maadili mengine ya A,ambazo ni {}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}.
Sasa kielelezo cha nishati P={{}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, { 1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, { 0, 1, 2, 3}} ambayo ina vipengele 16. Kwa hivyo, kardinali ya kuweka A=16. Kwa wazi, hii ni njia yenye kuchochea na yenye shida ya kutatua tatizo hili. Walakini, kuna formula rahisi ambayo, moja kwa moja, unaweza kujua idadi ya vitu kwenye seti ya nguvu ya nambari fulani. | P |=2 ^ N, ambapo N ni idadi ya vipengele katika baadhi ya A. Fomula hii inaweza kupatikana kwa kutumia combinatoriki rahisi. Kwa hivyo swali ni 2^11 kwani idadi ya vipengee kwenye seti A ni 11.
Kwa hivyo, seti ni idadi yoyote iliyoonyeshwa kwa nambari, ambayo inaweza kuwa kitu chochote kinachowezekana. Kwa mfano, magari, watu, namba. Kwa maana ya hisabati, dhana hii ni pana na ya jumla zaidi. Ikiwa katika hatua za awali nambari na chaguzi za suluhisho zao zimepangwa, basi katika hatua za kati na za juu hali na kazi ni ngumu. Kwa kweli, kardinali ya umoja wa seti imedhamiriwa na mali ya kitu kwa kikundi chochote. Hiyo ni, kipengele kimoja ni cha darasa, lakini kina kigezo kimoja au zaidi.
