Kila mwanafunzi amesikia kuhusu koni ya mviringo na anawazia jinsi umbo hili la pande tatu linavyofanana. Makala haya yanafafanua ukuzaji wa koni, yanatoa fomula zinazoelezea sifa zake, na inaeleza jinsi ya kuitengeneza kwa kutumia dira, protractor na ukingo ulionyooka.
Koni ya mduara katika jiometri
Hebu tupe ufafanuzi wa kijiometri wa takwimu hii. Koni ya pande zote ni uso unaoundwa na sehemu za mstari wa moja kwa moja zinazounganisha pointi zote za mduara fulani na hatua moja katika nafasi. Sehemu hii moja haipaswi kuwa ya ndege ambayo duara liko. Ikiwa tutachukua mduara badala ya duara, basi njia hii pia inaongoza kwa koni.
Mduara unaitwa msingi wa takwimu, mduara wake ni mstari wa moja kwa moja. Sehemu zinazounganisha ncha na mkondo wa moja kwa moja huitwa jenereta au jenereta, na mahali zinapokatiana ni kipeo cha koni.
Koni ya mviringo inaweza kuwa sawa na iliyopinda. Takwimu zote mbili zimeonyeshwa kwenye mchoro ulio hapa chini.
Tofauti kati yao ni hii: ikiwa perpendicular kutoka juu ya koni itaanguka haswa katikati ya duara, basi koni itakuwa sawa. Kwa ajili yake, perpendicular, ambayo inaitwa urefu wa takwimu, ni sehemu ya mhimili wake. Katika kesi ya koni ya oblique, urefu na mhimili huunda pembe ya papo hapo.
Kwa sababu ya urahisi na ulinganifu wa takwimu, tutazingatia zaidi sifa za koni ya kulia iliyo na msingi wa pande zote.
Kupata umbo kwa kutumia mzunguko
Kabla ya kuendelea kufikiria ukuzaji wa uso wa koni, ni muhimu kujua jinsi takwimu hii ya anga inaweza kupatikana kwa mzunguko.
Tuseme tuna pembetatu ya kulia yenye pande a, b, c. Wawili wa kwanza wao ni miguu, c ni hypotenuse. Hebu tuweke pembetatu kwenye mguu a na tuanze kuizungusha kuzunguka mguu b. Hypotenuse c kisha itaelezea uso wa conical. Mbinu hii rahisi ya koni imeonyeshwa kwenye mchoro hapa chini.
Ni wazi, mguu A utakuwa kipenyo cha msingi wa takwimu, mguu b utakuwa urefu wake, na hypotenuse c inalingana na jenereta ya koni ya pande zote ya kulia.
Mtazamo wa ukuzaji wa koni
Kama unavyoweza kukisia, koni huundwa na aina mbili za nyuso. Mmoja wao ni mduara wa msingi wa gorofa. Tuseme ina radius r. Uso wa pili ni lateral na inaitwa conical. Wacha jenereta yake iwe sawa na g.
Ikiwa tuna koni ya karatasi, basi tunaweza kuchukua mkasi na kukata msingi kutoka kwayo. Kisha, uso wa conical unapaswa kukatwapamoja na jenereta yoyote na kuipeleka kwenye ndege. Kwa njia hii, tulipata maendeleo ya uso wa upande wa koni. Nyuso mbili, pamoja na koni asili, zimeonyeshwa kwenye mchoro hapa chini.
Mduara wa msingi unaonyeshwa chini kulia. Uso wa conical uliofunuliwa unaonyeshwa katikati. Inabadilika kuwa inalingana na sehemu fulani ya duara ya duara, radius ambayo ni sawa na urefu wa jenereta g.
Ufagiaji wa pembe na eneo
Sasa tunapata fomula ambazo, kwa kutumia vigezo vinavyojulikana g na r, huturuhusu kukokotoa eneo na pembe ya koni.
Ni wazi, safu ya sekta ya mduara iliyoonyeshwa hapo juu kwenye takwimu ina urefu sawa na mduara wa besi, yaani:
l=2pir.
Ikiwa mduara mzima wenye radius g ungejengwa, basi urefu wake ungekuwa:
L=2pig.
Kwa kuwa urefu L unalingana na radiani 2pi, basi pembe ambayo arc l inakaa inaweza kubainishwa kutoka kwa uwiano unaolingana:
L==>2pi;
l==> φ.
Kisha pembe isiyojulikana φ itakuwa sawa na:
φ=2pil/L.
Kubadilisha misemo kwa urefu l na L, tunafika kwenye fomula ya pembe ya ukuzaji wa uso wa upande wa koni:
φ=2pir/g.
Pembe φ hapa imeonyeshwa kwa radiani.
Ili kubainisha eneo Sbla sekta ya mduara, tutatumia thamani iliyopatikana ya φ. Tunafanya sehemu moja zaidi, kwa maeneo tu. Tuna:
2pi==>pig2;
φ==> Sb.
Kutoka mahali pa kuonyesha Sb, na kisha ubadilishe thamani ya pembe φ. Tunapata:
Sb=φg2pi/(2pi)=2pir/gg 2/2=pirg.
Kwa eneo la uso wa koni, tumepata fomula iliyosongwa vizuri. Thamani ya Sb ni sawa na bidhaa ya vipengele vitatu: pi, radius ya kielelezo na jenereta yake.
Kisha eneo la uso mzima wa takwimu litakuwa sawa na jumla ya Sb na So (mduara eneo la msingi). Tunapata fomula:
S=Sb+ So=pir(g + r).
Kutengeneza ufagiaji wa koni kwenye karatasi
Ili kukamilisha kazi hii utahitaji kipande cha karatasi, penseli, protractor, rula na dira.
Kwanza kabisa, hebu tuchore pembetatu yenye pembe ya kulia na pande 3 cm, 4 cm na cm 5. Mzunguko wake karibu na mguu wa 3 cm utatoa koni inayotaka. Kielelezo kina r=3 cm, h=4 cm, g=5 cm.
Kujenga ufagiaji kutaanza kwa kuchora mduara wenye kipenyo r kwa dira. Urefu wake utakuwa sawa na cm 6pi. Sasa karibu nayo tutatoa mduara mwingine, lakini kwa radius g. Urefu wake utafanana na cm 10pi. Sasa tunahitaji kukata sekta ya mviringo kutoka kwa mzunguko mkubwa. Pembe yake φ ni:
φ=2pir/g=2pi3/5=216o.
Sasa tunatenga pembe hii yenye protractor kwenye duara yenye radius g na kuchora radii mbili ambazo zitazuia sekta ya duara.
Kwa hiyoKwa hivyo, tumeunda ukuzaji wa koni na vigezo maalum vya radius, urefu na jenereta.
Mfano wa kutatua tatizo la kijiometri
Kupewa koni iliyonyooka ya mviringo. Inajulikana kuwa pembe ya ufagiaji wake wa kando ni 120o. Inahitajika kupata radius na jenereta ya takwimu hii, ikiwa inajulikana kuwa urefu wa h wa koni ni 10 cm.
Jukumu si gumu ikiwa tutakumbuka kuwa koni ya mviringo ni kielelezo cha mzunguko wa pembetatu ya kulia. Kutoka kwa pembetatu hii hufuata uhusiano usio na utata kati ya urefu, radius na jenereta. Hebu tuandike fomula inayolingana:
g2=h2+ r2.
Neno la pili la kutumia wakati wa kusuluhisha ni fomula ya pembe φ:
φ=2pir/g.
Kwa hivyo, tuna milinganyo miwili inayohusiana na kiasi mbili zisizojulikana (r na g).
Onyesha g kutoka kwa fomula ya pili na ubadilishe tokeo hadi ya kwanza, tunapata:
g=2pir/φ;
h2+ r2=4pi2r 2/φ2=>
r=h /√(4pi2/φ2 - 1).
Angle φ=120o katika radiani ni 2pi/3. Tunabadilisha thamani hii, tunapata fomula za mwisho za r na g:
r=h /√8;
g=3h /√8.
Inasalia kuchukua nafasi ya thamani ya urefu na kupata jibu la swali la tatizo: r ≈ 3.54 cm, g ≈ 10.61 cm.
