Pengine, dhana ya derivati inajulikana kwa kila mmoja wetu tangu shuleni. Kawaida wanafunzi wana ugumu wa kuelewa hili, bila shaka, jambo muhimu sana. Inatumika kikamilifu katika maeneo mbalimbali ya maisha ya watu, na maendeleo mengi ya uhandisi yalizingatia kwa usahihi mahesabu ya hisabati yaliyopatikana kwa kutumia derivative. Lakini kabla ya kuendelea na uchanganuzi wa nini derivatives za nambari, jinsi ya kuzihesabu na ni wapi zinafaa kwetu, wacha tuzame kwenye historia.
Historia
Dhana ya derivative, ambayo ndio msingi wa uchanganuzi wa hisabati, iligunduliwa (ingekuwa bora kusema "iliyozuliwa", kwa sababu haikuwepo katika maumbile kama hiyo) na Isaac Newton, ambaye sote tunamjua. kutoka kwa ugunduzi wa sheria ya uvutano wa ulimwengu wote. Ni yeye ambaye kwanza alitumia dhana hii katika fizikia kuunganisha asili ya kasi na kuongeza kasi ya miili. Na wanasayansi wengi bado wanamsifu Newton kwa uvumbuzi huu mzuri, kwa sababu kwa kweli aligundua msingi wa hesabu tofauti na muhimu, kwa kweli, msingi wa eneo lote la hisabati inayoitwa "calculus". Ikiwa wakati huo Tuzo ya Nobel, Newton angeipokea kwa uwezekano mkubwa mara kadhaa.
Si bila akili zingine nzuri. Isipokuwa Newtonwasomi mashuhuri wa hisabati kama vile Leonhard Euler, Louis Lagrange na Gottfried Leibniz walifanya kazi katika ukuzaji wa derivative na shirikishi. Ni shukrani kwao kwamba tumepokea nadharia ya calculus tofauti katika fomu ambayo iko hadi leo. Kwa njia, ni Leibniz ambaye aligundua maana ya kijiometri ya derivative, ambayo ilionekana kuwa si chochote zaidi ya tangent ya mteremko wa tangent kwa grafu ya kazi.
Matokeo ya nambari ni yapi? Turudie kidogo tuliyopitia shuleni.
Derivative ni nini?
Dhana hii inaweza kufafanuliwa kwa njia kadhaa tofauti. Maelezo rahisi zaidi ni kwamba derivative ni kiwango cha mabadiliko ya kazi. Hebu fikiria grafu ya baadhi ya fomula y ya x. Ikiwa sio sawa, basi ina curves fulani kwenye grafu, vipindi vya kuongezeka na kupungua. Ikiwa tutachukua muda mdogo sana wa grafu hii, itakuwa sehemu ya mstari ulionyooka. Kwa hivyo, uwiano wa saizi ya sehemu hii ndogo sana kando ya y kuratibu hadi saizi kando ya kuratibu x itakuwa derivative ya chaguo hili la kukokotoa katika hatua fulani. Ikiwa tutazingatia kazi kwa ujumla, na si kwa hatua maalum, basi tutapata kazi ya derivative, yaani, utegemezi fulani wa y kwa x.
Mbali na hilo, pamoja na maana halisi ya kiingilio kama kasi ya mabadiliko ya utendaji kazi, pia kuna maana ya kijiometri. Tutamzungumzia sasa.
hisia ya kijiometri
Nyenzo za nambari zenyewe huwakilisha nambari fulani, ambayo, bila uelewa mzuri, haibebi.hakuna maana. Inatokea kwamba derivative sio tu inaonyesha kiwango cha ukuaji au kupungua kwa kazi, lakini pia tangent ya mteremko wa tangent kwa grafu ya kazi katika hatua fulani. Sio ufafanuzi wazi sana. Hebu tuchambue kwa undani zaidi. Wacha tuseme tunayo grafu ya chaguo la kukokotoa (kwa riba, wacha tuchukue mkondo). Ina idadi isiyo na kikomo ya pointi, lakini kuna maeneo ambayo pointi moja tu ina kiwango cha juu au cha chini. Kupitia hatua yoyote kama hiyo inawezekana kuchora mstari ambao ungekuwa wa kawaida kwa grafu ya kazi katika hatua hiyo. Mstari kama huo utaitwa tangent. Wacha tuseme tuliitumia kwenye makutano na mhimili wa OX. Kwa hivyo, pembe iliyopatikana kati ya tangent na mhimili wa OX itatambuliwa na derivative. Kwa usahihi zaidi, tanjenti ya pembe hii itakuwa sawa nayo.
Hebu tuzungumze kidogo kuhusu kesi maalum na tuchanganue mihogo ya nambari.
Kesi maalum
Kama tulivyokwisha sema, vinyago vya nambari ni thamani za kiingilio katika sehemu fulani. Kwa mfano, hebu tuchukue chaguo za kukokotoa y=x2. Derivative x ni nambari, na kwa ujumla, chaguo la kukokotoa sawa na 2x. Ikiwa tunahitaji kuhesabu derivative, sema, katika hatua x0=1, basi tunapata y'(1)=21=2. Kila kitu ni rahisi sana. Kesi ya kuvutia ni derivative ya nambari changamano. Hatutaingia katika maelezo ya kina ya nambari changamano ni nini. Wacha tuseme kwamba hii ni nambari ambayo ina kile kinachojulikana kama kitengo cha kufikiria - nambari ambayo mraba wake ni -1. Hesabu ya derivative kama hiyo inawezekana tu ikiwa yafuatayomasharti:
1) Lazima kuwe na viasili vya sehemu ya mpangilio wa kwanza vya sehemu halisi na za kufikirika kuhusiana na Y na X.
2) Masharti ya Cauchy-Riemann yanayohusishwa na usawa wa baadhi ya viasili vilivyofafanuliwa katika aya ya kwanza yametimizwa.
Kesi nyingine ya kuvutia, ingawa si ngumu kama ile iliyotangulia, ni derivative ya nambari hasi. Kwa kweli, nambari yoyote hasi inaweza kuwakilishwa kama nambari chanya iliyozidishwa na -1. Vema, kitokeo cha kitendawili na chaguo za kukokotoa ni sawa na kisichobadilika kinachozidishwa na kitokeo cha chaguo la kukokotoa.
Itakuwa ya kuvutia kujifunza kuhusu nafasi ya derivative katika maisha ya kila siku, na hili ndilo tutalojadili sasa.
Maombi
Pengine, kila mmoja wetu angalau mara moja katika maisha yake hujipata akifikiri kwamba hisabati haiwezi kuwa na manufaa kwake. Na jambo gumu kama derivative, pengine, halina matumizi hata kidogo. Kwa kweli, hisabati ni sayansi ya msingi, na matunda yake yote yanasitawishwa hasa na fizikia, kemia, unajimu, na hata uchumi. Derivative ilikuwa mwanzo wa uchanganuzi wa hisabati, ambao ulitupa uwezo wa kupata hitimisho kutoka kwa grafu za kazi, na tulijifunza kutafsiri sheria za asili na kuzigeuza kuwa faida kwetu shukrani kwake.
Hitimisho
Bila shaka, si kila mtu anaweza kuhitaji derivative katika maisha halisi. Lakini hisabati inakuza mantiki, ambayo hakika itahitajika. Sio bure kwamba hisabati inaitwa malkia wa sayansi: ni msingi wa kuelewa maeneo mengine ya maarifa.
