Uwezo wa kubainisha kiasi cha takwimu za anga ni muhimu kwa kutatua matatizo ya kijiometri na kiutendaji. Moja ya takwimu hizi ni prism. Tutazingatia katika makala ni nini na kuonyesha jinsi ya kuhesabu kiasi cha prism iliyoelekezwa.
Ni nini maana ya prism katika jiometri?
Hii ni polihedron ya kawaida (polyhedron), ambayo inaundwa na besi mbili zinazofanana ziko katika ndege sambamba, na parallelogramu kadhaa zinazounganisha besi zilizowekwa alama.
Misingi ya prism inaweza kuwa poligoni kiholela, kama vile pembetatu, pembe nne, heptagoni, na kadhalika. Zaidi ya hayo, idadi ya pembe (pande) za poligoni huamua jina la kielelezo.
Miche yoyote yenye msingi wa n-gon (n ni idadi ya pande) ina nyuso za n+2, vipeo 2 × n na kingo 3 × n. Kutoka kwa nambari zilizopewa inaweza kuonekana kuwa idadi ya vitu vya prism inalingana na nadharia ya Euler:
3 × n=2 × n + n + 2 - 2
Picha iliyo hapa chini inaonyesha jinsi prismu za glasi zenye umbo la pembe tatu na nne zinavyoonekana.
Aina za takwimu. Miche iliyoinama
Tayari imesemwa hapo juu kwamba jina la mche hubainishwa na idadi ya pande za poligoni kwenye msingi. Hata hivyo, kuna vipengele vingine katika muundo wake vinavyoamua mali ya takwimu. Kwa hivyo, ikiwa parallelograms zote zinazounda uso wa upande wa prism zinawakilishwa na mstatili au mraba, basi takwimu kama hiyo inaitwa mstari wa moja kwa moja. Kwa prism iliyonyooka, umbali kati ya besi ni sawa na urefu wa ukingo wa upande wa mstatili wowote.
Ikiwa baadhi ya pande zote au pande zote ni msambamba, basi tunazungumza kuhusu mche ulioinama. Urefu wake tayari utakuwa chini ya urefu wa ubavu wa upande.
Kigezo kingine ambacho tarakimu zinazozingatiwa zimeainishwa ni urefu wa pande na pembe za poligoni kwenye sehemu ya chini. Ikiwa ni sawa kwa kila mmoja, basi poligoni itakuwa sahihi. Mchoro wa moja kwa moja na poligoni ya kawaida kwenye besi inaitwa kawaida. Ni rahisi kufanya kazi nayo wakati wa kuamua eneo la uso na kiasi. Miche inayoelekea katika suala hili inaleta ugumu fulani.
Kielelezo hapa chini kinaonyesha miche miwili yenye msingi wa mraba. Pembe ya 90° inaonyesha tofauti ya kimsingi kati ya mche ulionyooka na wa oblique.
Mfumo wa kubainisha ujazo wa takwimu
Sehemu ya nafasi iliyofungwa na nyuso za prism inaitwa ujazo wake. Kwa takwimu zinazozingatiwa za aina yoyote, thamani hii inaweza kubainishwa kwa fomula ifuatayo:
V=h × So
Hapa, alama h inaashiria urefu wa mche,ambayo ni kipimo cha umbali kati ya besi mbili. Alama So- mraba msingi mmoja.
Eneo la msingi ni rahisi kupata. Kwa kuzingatia ukweli kama poligoni ni ya kawaida au la, na kujua idadi ya pande zake, unapaswa kutumia fomula inayofaa na upate So. Kwa mfano, kwa n-gon ya kawaida yenye urefu wa upande a, eneo litakuwa:
S=n / 4 × a2 × ctg (pi / n)
Sasa hebu tuendelee hadi urefu h. Kwa prism moja kwa moja, kuamua urefu si vigumu, lakini kwa prism ya oblique, hii sio kazi rahisi. Inaweza kutatuliwa kwa njia mbalimbali za kijiometri, kuanzia hali maalum za awali. Walakini, kuna njia ya ulimwengu ya kuamua urefu wa takwimu. Hebu tueleze kwa ufupi.
Wazo ni kutafuta umbali kutoka sehemu moja angani hadi kwenye ndege. Chukulia kuwa ndege imetolewa na mlinganyo:
A × x+ B × y + C × z + D=0
Kisha ndege itakuwa kwa mbali:
h=|A × x1 + B × y1+ C × z1 +D| / √ (A2 + B2+ C2)
Ikiwa shoka za kuratibu zimepangwa ili ncha (0; 0; 0) iko kwenye ndege ya msingi wa chini wa prism, basi equation ya ndege ya msingi inaweza kuandikwa kama ifuatavyo:
z=0
Hii inamaanisha kuwa fomula ya urefu itaandikwakwa hivyo:
h=z1
Inatosha kupata kiwianishi cha z cha sehemu yoyote ya msingi wa juu ili kubainisha urefu wa takwimu.
Mfano wa utatuzi wa matatizo
Kielelezo kilicho hapa chini kinaonyesha mche wa pembe nne. Msingi wa prism inayoelekea ni mraba yenye upande wa cm 10. Ni muhimu kuhesabu kiasi chake ikiwa inajulikana kuwa urefu wa makali ya upande ni 15 cm, na angle ya papo hapo ya parallelogram ya mbele ni 70 °.
Kwa kuwa urefu h wa takwimu pia ni urefu wa msambamba, tunatumia fomula kubainisha eneo lake ili kupata h. Wacha tuonyeshe pande za parallelogramu kama ifuatavyo:
a=10cm;
b=15cm
Kisha unaweza kuiandikia fomula zifuatazo ili kubainisha eneo Sp:
Sp=a × b × dhambi (α);
Sp=a × h
Kutoka tunakopata:
h=b × dhambi (α)
Hapa α kuna pembe ya papo hapo ya parallelogramu. Kwa kuwa msingi ni mraba, fomula ya ujazo wa prism iliyoinama itachukua fomu:
V=a2 × b × dhambi (α)
Tunabadilisha data kutoka kwa hali hadi kwenye fomula na kupata jibu: V ≈ 1410 cm3.
