Mfumo wa kubainisha kiasi cha koni. Mfano wa suluhisho la shida

2024 Mwandishi: Angel Austin | [email protected]. Mwisho uliobadilishwa: 2024-01-19 15:42

Kila mwanafunzi katika somo la sterometria katika shule ya upili alikutana na koni. Tabia mbili muhimu za takwimu hii ya anga ni eneo la uso na kiasi. Katika makala haya, tutaonyesha jinsi ya kupata kiasi cha koni ya pande zote.

Koni ya mviringo kama kielelezo cha mzunguko wa pembetatu ya kulia

Kabla ya kwenda moja kwa moja kwenye mada ya makala, ni muhimu kuelezea koni kutoka kwa mtazamo wa kijiometri.

Acha kuwe na pembetatu ya kulia. Ikiwa utaizunguka kwa miguu yoyote, basi matokeo ya hatua hii itakuwa takwimu inayotakiwa, iliyoonyeshwa kwenye takwimu hapa chini.

Hapa, mguu AB ni sehemu ya mhimili wa koni, na urefu wake unalingana na urefu wa kielelezo. Mguu wa pili (sehemu ya CA) itakuwa radius ya koni. Wakati wa kuzunguka, itaelezea mduara unaofunga msingi wa takwimu. Hypotenuse BC inaitwa jenereta ya takwimu, au jenereta yake. Pointi B ndio kipeo pekee cha koni.

Kwa kuzingatia sifa za pembetatu ABC, tunaweza kuandika uhusiano kati ya jenereta g, radius r na urefu h kama ifuatavyo.usawa:

g²=h²+ r²

Mfumo huu ni muhimu katika kutatua matatizo mengi ya kijiometri kwa kutumia takwimu inayohusika.

Mfumo wa ujazo wa koni

Ujazo wa takwimu yoyote ya anga ni eneo la nafasi, ambalo limezuiwa na nyuso za takwimu hii. Kuna nyuso mbili kama hizi za koni:

1. Ya pembeni, au ya mviringo. Inaundwa na jenereta zote.
2. Msingi. Katika hali hii, ni mduara.

Pata fomula ya kubainisha ukubwa wa koni. Ili kufanya hivyo, tunaukata kiakili katika tabaka nyingi sambamba na msingi. Kila moja ya tabaka ina unene wa dx, ambayo huwa na sifuri. Eneo S_xla safu kwa umbali x kutoka juu ya kielelezo ni sawa na usemi ufuatao:

S_x=pir²x²/h ²

Uhalali wa usemi huu unaweza kuthibitishwa kwa njia angavu kwa kubadilisha thamani=0 na x=h. Katika kesi ya kwanza, tutapata eneo sawa na sifuri, katika kesi ya pili, itakuwa sawa na eneo la msingi wa pande zote.

Ili kuamua kiasi cha koni, unahitaji kuongeza "kiasi" kidogo cha kila safu, yaani, unapaswa kutumia calculus muhimu:

V=∫₀^h(pir²x ²/h²dx)=pir²/h² ∫₀^h(x²dx)

Kukokotoa muunganisho huu, tunafika kwenye fomula ya mwisho ya koni ya duara:

V=1/3pir²h

Inafurahisha kutambua kwamba fomula hii inafanana kabisa na ile inayotumika kukokotoa ujazo wa piramidi holela. Sadfa hii si ya bahati mbaya, kwa sababu piramidi yoyote inakuwa koni wakati idadi ya kingo zake inapoongezeka hadi infinity.

Tatizo la Kuhesabu Kiasi

Inafaa kutoa mfano wa kusuluhisha tatizo, ambalo litaonyesha matumizi ya fomula inayotokana na ujazo V.

Imepewa koni ya mviringo ambayo eneo la msingi ni 37 cm², na jenereta ya takwimu ni mara tatu ya kipenyo. Kiasi cha koni ni kiasi gani?

Tuna haki ya kutumia fomula ya sauti ikiwa tunajua idadi mbili: urefu h na radius r. Hebu tutafute fomula zinazozibainisha kulingana na hali ya tatizo.

Radius r inaweza kuhesabiwa kwa kujua eneo la mduara S_o, tunayo:

S_o=pir²=>

r=√(S_o/pi)

Kwa kutumia hali ya tatizo, tunaandika usawa wa jenereta g:

g=3r=3√(S_o/pi)

Kwa kujua fomula za r na g, hesabu urefu h:

h=√(g²- r²)=√(9S_o) /pi - S_o/pi)=√(8S_o/pi)

Tumepata vigezo vyote muhimu. Sasa ni wakati wa kuzichomeka kwenye fomula ya V:

V=1/3pir²h=1/3piS_o/pi√ (8S_o/pi)=S_o/3√(8S_o /pi)

Inabaki kuchukua nafasieneo la msingi S_o na ukokote thamani ya sauti: V=119.75 cm³.