Utafiti wa sifa za takwimu za anga una jukumu muhimu katika kutatua matatizo ya vitendo. Sayansi ambayo inahusika na takwimu katika nafasi inaitwa sterometry. Katika makala hii, kutoka kwa mtazamo wa jiometri imara, tutazingatia koni na kuonyesha jinsi ya kupata eneo la koni.
Koni yenye msingi wa pande zote
Kwa ujumla, koni ni sehemu iliyojengwa kwenye kona fulani ya ndege, ambayo pointi zake zote zimeunganishwa kwa sehemu zenye pointi moja katika nafasi. Mwisho unaitwa kilele cha koni.
Kutokana na ufafanuzi ulio hapo juu, ni wazi kwamba mkunjo unaweza kuwa na umbo la kiholela, kama vile kimfano, kiiboliki, kiduara, na kadhalika. Hata hivyo, katika mazoezi na katika matatizo katika jiometri, mara nyingi ni koni ya pande zote ambayo mara nyingi hukutana. Imeonyeshwa kwenye picha hapa chini.
Hapa ishara r inaashiria radius ya duara iliyo chini ya takwimu, h ni perpendicular kwa ndege ya duara, ambayo hutolewa kutoka juu ya takwimu. Inaitwa urefu. Thamani s ni jenereta ya koni, au jenereta yake.
Inaweza kuonekana kuwa sehemu r, h na skuunda pembetatu ya kulia. Ikiwa inazunguka mguu h, basi hypotenuse s itaelezea uso wa conical, na mguu r hufanya msingi wa pande zote wa takwimu. Kwa sababu hii, koni inachukuliwa kuwa kielelezo cha mapinduzi. Vigezo vitatu vilivyotajwa vimeunganishwa na usawa:
s2=r2+ h2
Kumbuka kuwa usawa uliyopewa ni halali kwa koni ya mviringo iliyonyooka pekee. Takwimu moja kwa moja ni tu ikiwa urefu wake huanguka hasa katikati ya mzunguko wa msingi. Ikiwa hali hii haijafikiwa, basi takwimu inaitwa oblique. Tofauti kati ya koni moja kwa moja na oblique inavyoonyeshwa kwenye mchoro ulio hapa chini.
Ukuzaji wa umbo
Kusoma eneo la koni ni rahisi kutekeleza, ukizingatia kuwa kwenye ndege. Njia hii ya kuwakilisha uso wa takwimu katika nafasi inaitwa maendeleo yao. Kwa koni, maendeleo haya yanaweza kupatikana kama ifuatavyo: unahitaji kuchukua takwimu iliyofanywa, kwa mfano, kutoka kwa karatasi. Kisha, kwa mkasi, kata msingi wa pande zote karibu na mduara. Baada ya hayo, pamoja na jenereta, fanya kata ya uso wa conical na ugeuke kwenye ndege. Matokeo ya shughuli hizi rahisi itakuwa ukuzaji wa koni, iliyoonyeshwa kwenye mchoro hapa chini.
Kama unavyoona, uso wa koni unaweza kuwakilishwa kwenye ndege. Inajumuisha sehemu mbili zifuatazo:
- mduara wenye radius r inayowakilisha msingi wa takwimu;
- sekta ya mduara yenye radius g, ambayo ni uso wa koni.
Mchanganyiko wa eneo la koni unahusisha kutafuta maeneo ya nyuso zote mbili zilizofunuliwa.
Hesabu eneo la uso wa takwimu
Hebu tugawanye jukumu katika hatua mbili. Kwanza tunapata eneo la msingi wa koni, kisha eneo la uso wa conical.
Sehemu ya kwanza ya tatizo ni rahisi kutatua. Kwa kuwa radius r imepewa, inatosha kukumbuka usemi unaolingana wa eneo la duara kuhesabu eneo la msingi. Hebu tuandike:
So=pi × r2
Ikiwa kipenyo hakijulikani, basi unapaswa kwanza kuipata kwa kutumia fomula ya uhusiano kati yake, urefu na jenereta.
Sehemu ya pili ya tatizo la kupata eneo la koni ni ngumu zaidi. Kumbuka kwamba sekta ya mviringo imejengwa kwenye radius g ya jenereta na imefungwa na arc ambayo urefu wake ni sawa na mzunguko wa mduara. Ukweli huu unakuwezesha kuandika uwiano na kupata angle ya sekta inayozingatiwa. Hebu tuashirie kwa herufi ya Kigiriki φ. Pembe hii itakuwa sawa na:
2 × pi=>2 × pi × g;
φ=> 2 × pi × r;
φ=2 × pi × r / g
Kwa kujua pembe ya kati φ ya sekta ya mduara, unaweza kutumia uwiano unaofaa kupata eneo lake. Hebu tuirejelee kwa ishara Sb. Itakuwa sawa na:
2 × pi=>pi × g2;
φ=> Sb;
Sb=pi × g2 × φ / (2 × pi)=pi × r × g
Yaani, eneo la uso wa koni inalingana na bidhaa ya jenereta g, radius ya msingi r na nambari Pi.
Kujua ni maeneo gani ya zote mbilinyuso zinazozingatiwa, tunaweza kuandika fomula ya mwisho ya eneo la koni:
S=So+ Sb=pi × r2+ pi × r × g=pi × r × (r + g)
Neno lililoandikwa linachukua ujuzi wa vigezo viwili vya mstari vya koni ili kukokotoa S. Ikiwa g au r haijulikani, basi zinaweza kupatikana kupitia urefu h.
Tatizo la kukokotoa eneo la koni
Inajulikana kuwa urefu wa koni iliyonyooka ya duara ni sawa na kipenyo chake. Inahitajika kuhesabu eneo la takwimu, ukijua kuwa eneo la msingi wa bits ni 50 cm2.
Kujua eneo la duara, unaweza kupata radius ya takwimu. Tuna:
So=pi × r2=>
r=√(So /pi)
Sasa hebu tutafute jenereta g kulingana na h na r. Kulingana na hali hiyo, urefu wa h wa takwimu ni sawa na radii r mbili, kisha:
h=2 × r;
g2=(2 × r)2+ r2=>
g=√5 × r=√(5 × So // pi)
Fomula zilizopatikana za g na r zinapaswa kubadilishwa kuwa usemi wa eneo lote la koni. Tunapata:
S=So+ pi × √(So // pi) × √(5 × S o /pi)=So × (1 + √5)
Katika usemi unaotokana tunabadilisha eneo la msingi So na kuandika jibu: S ≈ 161.8 cm2.
