Polyhedra sio tu kuchukua nafasi kuu katika jiometri, lakini pia hutokea katika maisha ya kila siku ya kila mtu. Bila kutaja vitu vya nyumbani vilivyoundwa kwa njia ya poligoni mbalimbali, kuanzia na sanduku la mechi na kuishia na vipengele vya usanifu, fuwele katika mfumo wa mchemraba (chumvi), prism (kioo), piramidi (scheelite), octahedron (almasi), nk e.
Dhana ya polihedroni, aina za polihedra katika jiometri
Jiometri kama sayansi ina sehemu ya stereoometri ambayo huchunguza sifa na sifa za takwimu zenye sura tatu. Miili ya kijiometri, pande ambazo katika nafasi tatu-dimensional huundwa na ndege mdogo (nyuso), huitwa "polyhedra". Aina za polihedra hujumuisha zaidi ya dazeni wawakilishi, zinazotofautiana katika idadi na umbo la nyuso.
Hata hivyo, polihedra zote zina sifa zinazofanana:
- Zote zina vipengele 3 muhimu: uso(uso wa poligoni), kipeo (pembe zinazoundwa kwenye makutano ya nyuso), ukingo (upande wa kielelezo au sehemu inayoundwa kwenye makutano ya nyuso mbili).
- Kila ukingo wa poligoni huunganisha nyuso mbili na mbili pekee ambazo ziko karibu.
- Convexity ina maana kwamba mwili upo kabisa upande mmoja wa ndege ambao uso mmoja umelalia. Sheria hiyo inatumika kwa nyuso zote za polyhedron. Takwimu kama hizo za kijiometri katika sterometri huitwa polihedra ya convex. Isipokuwa ni polihedra yenye umbo la nyota, ambayo ni miigo ya kijiometri ya polihedra ya kawaida.
Polyhedra inaweza kugawanywa katika:
- Aina za polihedra mbonyeo, inayojumuisha madarasa yafuatayo: ya kawaida au ya kitambo (prism, piramidi, parallelepiped), ya kawaida (pia huitwa yabisi ya Plato), nusu ya kawaida (jina la pili - Archimedean solids).
- Polihedra isiyo na mvuto (iliyo na umbo la nyota).
Prism na sifa zake
Stereometry kama tawi la jiometri hutafiti sifa za takwimu zenye sura tatu, aina za polihedra (prism ni mojawapo). Prism ni mwili wa kijiometri ambao lazima uwe na nyuso mbili zinazofanana kabisa (pia huitwa besi) ziko kwenye ndege zinazofanana, na nambari ya n-th ya nyuso za upande kwa namna ya parallelograms. Kwa upande wake, prism pia ina aina kadhaa, ikiwa ni pamoja na aina kama vile polihedra kama:
- Parallelepiped - huundwa ikiwa besi ni msambamba -poligoni yenye jozi 2 za pembe tofauti sawa na jozi 2 za pande zinazolingana.
- Mche ulionyooka una kingo za usawa wa msingi.
- Prism iliyoinama ina sifa ya kuwepo kwa pembe zisizo za kulia (zaidi ya 90) kati ya nyuso na msingi.
- Mche wa kawaida una sifa ya besi katika umbo la poligoni ya kawaida yenye nyuso za kando sawa.
Sifa za kimsingi za prism:
- Misingi inayolingana.
- Kingo zote za prism ni sawa na zinalingana.
- Nyuso zote za kando zina umbo la msambaratio.
Piramidi
Piramidi ni mwili wa kijiometri, ambao una msingi mmoja na nambari ya n-th ya nyuso za pembetatu, zilizounganishwa kwa sehemu moja - juu. Ikumbukwe kwamba ikiwa nyuso za upande wa piramidi lazima ziwakilishwe na pembetatu, basi msingi unaweza kuwa ama polygon ya triangular, au quadrangle, au pentagon, na kadhalika ad infinitum. Katika kesi hii, jina la piramidi litalingana na poligoni kwenye msingi. Kwa mfano, ikiwa pembetatu iko chini ya piramidi, ni piramidi ya pembe tatu, quadrilateral ni quadrangular, nk.
Piramidi zinafanana na polihedra ya koni. Aina za polihedra za kikundi hiki, pamoja na zile zilizoorodheshwa hapo juu, pia zinajumuisha wawakilishi wafuatao:
- Piramidi ya kawaida ina poligoni ya kawaida kwenye msingi wake, na urefu wake unakadiriwa kuelekea katikati.mduara ulioandikwa kwenye msingi au kuzunguka pande zote.
- Piramidi ya mstatili huundwa wakati moja ya kingo za kando inapopishana na msingi kwenye pembe ya kulia. Katika kesi hii, ni sawa pia kuita ukingo huu urefu wa piramidi.
Sifa za piramidi:
- Ikiwa kingo zote za upande wa piramidi ni sanjari (za urefu sawa), basi zote zinaingiliana na msingi kwa pembe moja, na kuzunguka msingi unaweza kuchora duara na kituo kinachoendana na makadirio ya sehemu ya juu ya piramidi.
- Ikiwa msingi wa piramidi ni poligoni ya kawaida, basi kingo zote za kando ni mshikamano, na nyuso ni pembetatu za isosceles.
Polihedron ya kawaida: aina na sifa za polihedra
Katika stereometry, mahali maalum panakaliwa na miili ya kijiometri yenye nyuso zilizo sawa kabisa, kwenye vipeo ambavyo idadi sawa ya kingo zimeunganishwa. Yabisi haya huitwa yabisi ya Plato, au polihedra ya kawaida. Aina za polihedra zenye sifa kama hizi zina maumbo matano tu:
- Tetrahedron.
- Hexahedron.
- Oktahedron.
- Dodekahedron.
- Icosahedron.
Polihedra ya kawaida ina jina lao kwa mwanafalsafa wa kale wa Kigiriki Plato, ambaye alieleza miili hii ya kijiometri katika maandishi yake na kuiunganisha na vipengele vya asili: ardhi, maji, moto, hewa. Kielelezo cha tano kilitunukiwa kufanana na muundo wa ulimwengu. Kwa maoni yake, atomi za vipengele vya asili katika sura zinafanana na aina za polihedra za kawaida. Kwa sababu ya mali yake ya kufurahisha zaidi -ulinganifu, miili hii ya kijiometri ilikuwa ya riba kubwa sio tu kwa wanahisabati na wanafalsafa wa kale, bali pia kwa wasanifu, wasanii na wachongaji wa nyakati zote. Uwepo wa aina 5 pekee za polihedra zenye ulinganifu kabisa ulizingatiwa kuwa ugunduzi wa kimsingi, hata zilitunukiwa uhusiano na kanuni ya kimungu.
Hexahedron na sifa zake
Katika umbo la heksagoni, warithi wa Plato walidhani mfanano na muundo wa atomi za dunia. Bila shaka, kwa sasa, dhana hii imekanushwa kabisa, ambayo, hata hivyo, haizuii takwimu kutoka kwa kuvutia mawazo ya takwimu maarufu na aesthetics yao katika nyakati za kisasa.
Katika jiometri, hexahedron, pia inajulikana kama mchemraba, inachukuliwa kuwa kesi maalum ya parallelepiped, ambayo, kwa upande wake, ni aina ya prism. Ipasavyo, mali ya mchemraba inahusiana na mali ya prism, na tofauti pekee ni kwamba nyuso zote na pembe za mchemraba ni sawa kwa kila mmoja. Sifa zifuatazo zinafuata kutoka kwa hii:
- Kingo zote za mchemraba zina mshikamano na ziko katika ndege sambamba kuheshimiana.
- Nyuso zote ni miraba inayolingana (jumla yapo 6 katika mchemraba), ambayo yoyote inaweza kuchukuliwa kama msingi.
- Pembe zote za kiolesura ni 90.
- Idadi sawa ya kingo hutoka kwa kila kipeo, yaani 3.
- Mchemraba una shoka 9 za ulinganifu, ambazo zote hukatiza kwenye sehemu ya makutano ya milia ya heksahedroni, inayoitwa kitovu cha ulinganifu.
Tetrahedron
Tetrahedron ni tetrahedron yenye nyuso sawa katika umbo la pembetatu, kila wima ambayoni sehemu ya makutano ya nyuso tatu.
Sifa za tetrahedron ya kawaida:
- Nyuso zote za tetrahedron ni pembetatu zilizo sawa, ambayo ina maana kwamba nyuso zote za tetrahedron ni sanjari.
- Kwa kuwa msingi unawakilishwa na takwimu ya kawaida ya kijiometri, yaani, ina pande sawa, nyuso za tetrahedron hukutana kwa pembe sawa, yaani, pembe zote ni sawa.
- Jumla ya pembe bapa katika kila wima ni 180, kwa kuwa pembe zote ni sawa, basi pembe yoyote ya tetrahedron ya kawaida ni 60.
- Kila wima imekadiriwa hadi sehemu ya makutano ya urefu wa uso ulio kinyume (katikati).
Oktahedron na sifa zake
Ikielezea aina za polihedra ya kawaida, mtu hawezi kukosa kutambua kitu kama oktahedron, ambacho kinaweza kuwakilishwa kwa macho kama piramidi mbili za kawaida za miiko mirefu zilizounganishwa pamoja kwa besi.
Sifa za octahedron:
- Jina lenyewe la mwili wa kijiometri hupendekeza idadi ya nyuso zake. Oktahedron ina pembetatu 8 zenye mfuatano za usawa, katika kila wima ambayo idadi sawa ya nyuso huungana, yaani 4.
- Kwa kuwa nyuso zote za oktahedron ni sawa, pembe zake za kiolesura pia ni sawa, ambayo kila moja ni sawa na 60, na jumla ya pembe za ndege za wima yoyote ni 240.
Dodekahedron
Ikiwa tunafikiria kuwa nyuso zote za mwili wa kijiometri ni pentagoni ya kawaida, basi tunapata dodecahedron -takwimu ya poligoni 12.
Sifa za dodecahedron:
- Nyuso tatu hupishana kwenye kila kipeo.
- Nyuso zote ni sawa na zina urefu wa ukingo sawa na eneo sawa.
- Dodekahedron ina shoka 15 na ndege zenye ulinganifu, na yoyote kati ya hizo hupitia kipeo cha uso na katikati ya ukingo kinyume.
Icosahedron
Si ya kuvutia zaidi kuliko dodekahedron, sura ya ikosahedron ni mwili wa kijiometri wenye sura tatu na nyuso 20 sawa. Miongoni mwa mali ya hedron ishirini ya kawaida, yafuatayo yanaweza kuzingatiwa:
- Nyuso zote za icosahedron ni pembetatu za isosceles.
- Nyuso tano huungana katika kila kipeo cha polihedroni, na jumla ya pembe za karibu za kipeo ni 300.
- Icosahedron, kama vile dodekahedron, ina shoka 15 na ndege za ulinganifu zinazopita katikati ya nyuso zinazopingana.
Poligoni nusu ya kawaida
Mbali na yabisi ya Plato, kundi la polihedra mbonyeo pia linajumuisha vitu vikali vya Archimedean, ambavyo vimepunguzwa polihedra ya kawaida. Aina za polihedra za kundi hili zina sifa zifuatazo:
- Miili ya kijiometri ina nyuso sawa kwa jozi za aina kadhaa, kwa mfano, tetrahedron iliyokatwa ina nyuso 8, kama tetrahedron ya kawaida, lakini kwa upande wa imara ya Archimedean, nyuso 4 zitakuwa za pembetatu na 4 zitakuwa na hexagonal.
- Pembe zote za kipeo kimoja zina mshikamano.
Nyota polyhedra
Wawakilishi wa aina zisizo za ujazo za miili ya kijiometri ni polihedra yenye nyota ambayo nyuso zake hupishana. Zinaweza kuundwa kwa kuunganisha yabisi mbili za kawaida za 3D au kwa kupanua nyuso zao.
Kwa hivyo, polihedra yenye nyota kama hii inajulikana kama: aina zenye nyota za oktahedron, dodekahedron, icosahedron, cuboktahedron, icosododecahedron.
