Mnamo 1900, mmoja wa wanasayansi wakuu wa karne iliyopita, David Hilbert, alitayarisha orodha ya matatizo 23 ambayo hayajatatuliwa katika hisabati. Kazi juu yao ilikuwa na athari kubwa katika maendeleo ya eneo hili la maarifa ya mwanadamu. Miaka 100 baadaye, Taasisi ya Hisabati ya Udongo iliwasilisha orodha ya matatizo 7 yanayojulikana kama Matatizo ya Milenia. Kila mmoja wao alipewa zawadi ya $1 milioni.
Tatizo pekee lililojitokeza kati ya orodha zote mbili za mafumbo ambayo yamekuwa yakiwasumbua wanasayansi kwa zaidi ya karne moja ilikuwa nadharia ya Riemann. Bado anasubiri uamuzi wake.
Noti fupi ya wasifu
Georg Friedrich Bernhard Riemann alizaliwa mwaka wa 1826 huko Hannover, katika familia kubwa ya mchungaji maskini, na aliishi miaka 39 pekee. Aliweza kuchapisha kazi 10. Walakini, tayari wakati wa uhai wake, Riemann alizingatiwa mrithi wa mwalimu wake Johann Gauss. Katika umri wa miaka 25, mwanasayansi huyo mchanga alitetea tasnifu yake "Misingi ya nadharia ya kazi za tofauti ngumu." Baadaye alitengenezadhana yake maarufu.
Nambari kuu
Hisabati ilionekana mwanadamu alipojifunza kuhesabu. Wakati huo huo, mawazo ya kwanza kuhusu namba yalitokea, ambayo baadaye walijaribu kuainisha. Baadhi yao wameonekana kuwa na mali ya kawaida. Hasa, kati ya nambari za asili, i.e., zile ambazo zilitumika katika kuhesabu (kuhesabu) au kuainisha idadi ya vitu, kikundi kilitofautishwa ambacho kiligawanywa na mtu mmoja na wao wenyewe. Wanaitwa rahisi. Uthibitisho wa kifahari wa nadharia ya kutokuwa na mwisho wa seti ya nambari kama hizo ulitolewa na Euclid katika Vipengele vyake. Kwa sasa, utafutaji wao unaendelea. Hasa, nambari kubwa ambayo tayari inajulikana ni 274 207 281 – 1.
Mfumo wa Euler
Pamoja na dhana ya kutokuwa na mwisho kwa seti ya msingi, Euclid pia aliamua nadharia ya pili juu ya mtengano pekee unaowezekana kuwa sababu kuu. Kulingana na hayo, nambari yoyote nzuri ni bidhaa ya seti moja tu ya nambari kuu. Mnamo 1737, mwanahisabati mkuu wa Ujerumani Leonhard Euler alielezea nadharia ya kwanza ya Euclid ya infinity kama fomula ifuatayo.
Inaitwa chaguo za kukokotoa zeta, ambapo s ni sawa na p inachukua thamani zote kuu. Kauli ya Euclid kuhusu upekee wa upanuzi ilifuata moja kwa moja kutoka kwayo.
Riemann Zeta Function
Mfumo wa Euler, unapokaguliwa kwa karibu, ni kamiliinashangaza kwa sababu inafafanua uhusiano kati ya nambari kuu na nambari kamili. Baada ya yote, misemo mingi sana ambayo inategemea nambari kuu pekee huzidishwa kwa upande wake wa kushoto, na jumla inayohusishwa na nambari zote chanya iko upande wa kulia.
Riemann alienda mbali zaidi kuliko Euler. Ili kupata ufunguo wa shida ya usambazaji wa nambari, alipendekeza kufafanua fomula ya anuwai halisi na ngumu. Ni yeye ambaye baadaye alipokea jina la kazi ya Riemann zeta. Mnamo 1859, mwanasayansi huyo alichapisha makala yenye kichwa "Juu ya idadi ya nambari kuu ambazo hazizidi thamani fulani", ambapo alitoa muhtasari wa mawazo yake yote.
Riemann alipendekeza kutumia mfululizo wa Euler, ambao hukutana kwa s>1 yoyote halisi. Ikiwa fomula sawa itatumika kwa changamano s, basi mfululizo utaungana kwa thamani yoyote ya kigezo hiki chenye sehemu halisi kubwa kuliko 1. Riemann alitumia utaratibu wa kuendelea uchanganuzi, akipanua ufafanuzi wa zeta kwa nambari zote changamano, lakini. "kutupwa nje" kitengo. Haikujumuishwa kwa sababu kwa s=1 chaguo za kukokotoa zeta huongezeka hadi kutokuwa na mwisho.
Akili ya vitendo
Swali la kimantiki linazuka: kwa nini utendaji wa zeta, ambao ni muhimu katika kazi ya Riemann juu ya dhana potofu, ya kuvutia na muhimu? Kama unavyojua, kwa sasa hakuna muundo rahisi ambao unaweza kuelezea usambazaji wa nambari kuu kati ya nambari asilia. Riemann aliweza kugundua kwamba nambari pi(x) ya herufi kuu ambazo hazizidi x inaonyeshwa kulingana na mgawanyo wa sufuri zisizo ndogo za chaguo za kukokotoa za zeta. Aidha, nadharia ya Riemann nihali ya lazima ya kuthibitisha makadirio ya muda kwa ajili ya uendeshaji wa baadhi ya algoriti za kriptografia.
Riemann Hypothesis
Moja ya michanganyiko ya kwanza ya tatizo hili la hisabati, ambayo haijathibitishwa hadi leo, inasikika hivi: vitendaji 0 vya zeta visivyo vya kawaida ni nambari changamano zenye sehemu halisi sawa na ½. Kwa maneno mengine, ziko kwenye mstari Re s=½.
Pia kuna nadharia ya jumla ya Riemann, ambayo ni kauli sawa, lakini kwa ujumla wa vitendaji vya zeta, ambavyo kwa kawaida huitwa Dirichlet L-functions (tazama picha hapa chini).
Katika fomula χ(n) - herufi fulani ya nambari (modulo k).
Kauli ya Riemannian inachukuliwa kuwa inayoitwa dhana potofu, kwa kuwa imejaribiwa ili kubaini uthabiti na sampuli ya data iliyopo.
Kama Riemann alivyobishana
Matamshi ya mwanahisabati Mjerumani hapo awali yalitamkwa kwa kawaida. Ukweli ni kwamba wakati huo mwanasayansi alikuwa akithibitisha nadharia juu ya usambazaji wa nambari kuu, na katika muktadha huu, nadharia hii haikuwa na umuhimu wowote. Hata hivyo, jukumu lake katika kutatua masuala mengine mengi ni kubwa sana. Ndiyo maana dhana ya Riemann sasa inatambuliwa na wanasayansi wengi kama tatizo muhimu zaidi la hisabati ambalo halijathibitishwa.
Kama ilivyotajwa tayari, dhana kamili ya Riemann haihitajiki ili kuthibitisha nadharia ya usambazaji, na inatosha kuhalalisha kimantiki kwamba sehemu halisi ya sufuri yoyote isiyo ndogo ya chaguo za kukokotoa za zeta iko ndani.kati ya 0 na 1. Inafuata kutokana na sifa hii kwamba jumla ya 0 zote za chaguo la kukokotoa zeta inayoonekana katika fomula kamili hapo juu ni kikomo kisichobadilika. Kwa thamani kubwa za x, inaweza kupotea kabisa. Mwanachama pekee wa fomula ambayo inabaki sawa hata kwa x kubwa sana ni x yenyewe. Masharti changamano yaliyobaki yanatoweka bila dalili kwa kulinganisha nayo. Kwa hivyo jumla iliyopimwa huelekea x. Hali hii inaweza kuzingatiwa kuwa uthibitisho wa ukweli wa nadharia juu ya usambazaji wa nambari kuu. Kwa hivyo, zero za kazi ya Riemann zeta zina jukumu maalum. Inajumuisha kuthibitisha kwamba maadili kama haya hayawezi kutoa mchango mkubwa kwa fomula ya mtengano.
Wafuasi wa Riemann
Kifo cha kutisha kutokana na kifua kikuu hakikumruhusu mwanasayansi huyu kuleta mpango wake kwenye mwisho wake wa kimantiki. Walakini, Sh-Zh alichukua nafasi kutoka kwake. de la Vallée Poussin na Jacques Hadamard. Kwa kujitegemea, waligundua nadharia juu ya usambazaji wa nambari kuu. Hadamard na Poussin waliweza kuthibitisha kuwa vitendaji vyote visivyo vya kawaida vya zeta 0 viko ndani ya bendi muhimu.
Shukrani kwa kazi ya wanasayansi hawa, mwelekeo mpya katika hisabati umeonekana - nadharia ya uchanganuzi ya nambari. Baadaye, uthibitisho kadhaa wa awali wa nadharia ambayo Riemann alikuwa akifanyia kazi ilipatikana na watafiti wengine. Hasa, Pal Erdős na Atle Selberg hata waligundua mlolongo changamano wa kimantiki unaouthibitisha, ambao haukuhitaji matumizi ya uchanganuzi mgumu. Walakini, kwa hatua hii, kadhaa muhimunadharia, ikijumuisha makadirio ya kazi nyingi za nadharia ya nambari. Kuhusiana na hili, kazi mpya ya Erdős na Atle Selberg kiutendaji haikuathiri chochote.
Mojawapo ya uthibitisho rahisi na mzuri zaidi wa tatizo ulipatikana mwaka wa 1980 na Donald Newman. Ilitokana na nadharia maarufu ya Cauchy.
Je, nadharia ya Riemannian inatishia misingi ya kriptografia ya kisasa
Usimbaji fiche wa data ulitokea pamoja na mwonekano wa hieroglyphs, kwa usahihi zaidi, wao wenyewe wanaweza kuchukuliwa kuwa misimbo ya kwanza. Kwa sasa, kuna eneo zima la usimbaji fiche dijitali, ambalo linatengeneza algoriti za usimbaji.
Nambari kuu na "nusu kuu", yaani, zile zinazoweza kugawanywa tu kwa nambari nyingine 2 kutoka kwa aina moja, huunda msingi wa mfumo wa ufunguo wa umma unaojulikana kama RSA. Ina programu pana zaidi. Hasa, hutumiwa wakati wa kuzalisha saini ya umeme. Akizungumza katika suala linaloweza kufikiwa na dummies, nadharia ya Riemann inadai kuwepo kwa mfumo katika usambazaji wa nambari kuu. Kwa hivyo, nguvu ya funguo za kriptografia, ambayo usalama wa shughuli za mtandaoni unategemea katika uwanja wa biashara ya mtandaoni, imepunguzwa kwa kiasi kikubwa.
Matatizo mengine ya hesabu ambayo hayajatatuliwa
Inafaa kumaliza makala kwa kutoa maneno machache kwa malengo mengine ya milenia. Hizi ni pamoja na:
- Usawa wa madarasa P na NP. Shida imeundwa kama ifuatavyo: ikiwa jibu chanya kwa swali fulani limeangaliwa kwa wakati wa polynomial, basi ni kweli kwamba jibu la swali hili lenyewe?inaweza kupatikana kwa haraka?
- Dhana ya Hodge. Kwa maneno rahisi, inaweza kutengenezwa kama ifuatavyo: kwa baadhi ya aina za aina za algebraic (nafasi), mizunguko ya Hodge ni mchanganyiko wa vitu ambavyo vina tafsiri ya kijiometri, yaani, mizunguko ya aljebra.
- Dhana ya Poincaré. Hii ndiyo Changamoto pekee ya Milenia ambayo imethibitishwa hadi sasa. Kulingana nayo, kitu chochote chenye mwelekeo-3 ambacho kina sifa mahususi za tufe yenye mwelekeo-3 lazima kiwe tufe, hadi kubadilika.
- Uthibitisho wa nadharia ya quantum ya Yang - Mills. Inahitajika kuthibitisha kwamba nadharia ya quantum iliyotolewa na wanasayansi hawa kwa nafasi R 4 ipo na ina kasoro ya 0 kwa kikundi chochote cha G.
- Birch-Swinnerton-Dyer hypothesis. Hili ni suala lingine linalohusiana na cryptography. Inagusa mikondo ya duaradufu.
- Tatizo la kuwepo na ulaini wa suluhu za milinganyo ya Navier-Stokes.
Sasa unajua nadharia tete ya Riemann. Kwa maneno rahisi, tumeunda baadhi ya Changamoto nyingine za Milenia. Kwamba yatatatuliwa au itathibitika kuwa hayana suluhu ni suala la muda. Zaidi ya hayo, hakuna uwezekano kwamba hii itabidi kusubiri kwa muda mrefu sana, kwani hisabati inazidi kutumia uwezo wa kompyuta wa kompyuta. Hata hivyo, si kila kitu kiko chini ya teknolojia, na kwanza kabisa, angavu na ubunifu unahitajika ili kutatua matatizo ya kisayansi.
