Kitu muhimu cha kijiometri ambacho husomwa katika nafasi tambarare ni mstari ulionyooka. Katika nafasi ya tatu-dimensional, pamoja na mstari wa moja kwa moja, pia kuna ndege. Vitu vyote viwili vinafafanuliwa kwa urahisi kwa kutumia vekta za mwelekeo. Je, ni nini, vectors hizi hutumiwaje kuamua equations ya mstari wa moja kwa moja na ndege? Maswali haya na mengine yanajadiliwa katika makala.
Mstari wa moja kwa moja na jinsi ya kuufafanua
Kila mwanafunzi ana wazo nzuri la kifaa cha kijiometri anachozungumzia. Kutoka kwa mtazamo wa hisabati, mstari wa moja kwa moja ni seti ya pointi, ambayo, katika kesi ya uhusiano wao wa kiholela wa jozi, husababisha seti ya vectors sambamba. Ufafanuzi huu wa mstari hutumika kuandika mlingano wake katika vipimo viwili na vitatu.
Ili kuelezea kitu kinachozingatiwa chenye mwelekeo mmoja, aina tofauti za milinganyo hutumiwa, ambazo zimeorodheshwa kwenye orodha hapa chini:
- mwonekano wa jumla;
- parametric;
- vekta;
- kanoniki au linganifu;
- katika sehemu.
Kila spishi hii ina faida fulani juu ya nyingine. Kwa mfano, equation katika sehemu ni rahisi kutumia wakati wa kusoma tabia ya mstari wa moja kwa moja unaohusiana na shoka za kuratibu, equation ya jumla ni rahisi wakati wa kupata mwelekeo wa moja kwa moja kwa mstari uliopewa, na pia wakati wa kuhesabu angle yake. makutano na mhimili wa x (kwa kipochi bapa).
Kwa kuwa mada ya makala haya inahusiana na vekta inayoelekeza ya mstari ulionyooka, tutazingatia zaidi mlinganyo ambapo vekta hii ni ya msingi na iko wazi, yaani, usemi wa vekta.
Kubainisha mstari ulionyooka kupitia vekta
Tuseme tuna vekta v¯ yenye viwianishi vinavyojulikana (a; b; c). Kwa kuwa kuna kuratibu tatu, vector inatolewa katika nafasi. Jinsi ya kuionyesha katika mfumo wa kuratibu wa mstatili? Hii imefanywa kwa urahisi sana: kwenye kila moja ya shoka tatu, sehemu imepangwa, urefu ambao ni sawa na uratibu unaofanana wa vector. Sehemu ya makutano ya pembetatu tatu zilizorejeshwa kwa ndege za xy, yz na xz itakuwa mwisho wa vekta. Mwanzo wake ni uhakika (0; 0; 0).
Hata hivyo, nafasi iliyotolewa ya vekta sio pekee. Vile vile, mtu anaweza kuchora v¯ kwa kuweka asili yake katika sehemu kiholela katika nafasi. Hoja hizi zinasema kuwa haiwezekani kuweka mstari maalum kwa kutumia vekta. Inafafanua familia ya idadi isiyo na kikomo ya mistari sambamba.
Sasarekebisha baadhi ya pointi P(x0; y0; z0) ya nafasi. Na tunaweka hali: mstari wa moja kwa moja lazima upite kupitia P. Katika kesi hii, vekta v¯ lazima pia iwe na sehemu hii. Ukweli wa mwisho unamaanisha kuwa mstari mmoja unaweza kufafanuliwa kwa kutumia P na v¯. Itaandikwa kama mlinganyo ufuatao:
Q=P + λ × v¯
Hapa Q ni sehemu yoyote inayomilikiwa na mstari. Hatua hii inaweza kupatikana kwa kuchagua parameter inayofaa λ. Mlinganyo ulioandikwa unaitwa mlingano wa vekta, na v¯ inaitwa vekta ya mwelekeo wa mstari ulionyooka. Kwa kuipanga ili ipite P na kubadilisha urefu wake na kigezo λ, tunapata kila nukta ya Q kama mstari ulionyooka.
Katika fomu ya kuratibu, mlinganyo utaandikwa kama ifuatavyo:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ × (a; b; c)
Na kwa uwazi (parametric) unaweza kuandika:
x=x0+ λ × a;
y=y0+ λ × b;
z=z0+ λ × c
Ikiwa tutatenga kiwianishi cha tatu katika vielezi vilivyo hapo juu, basi tunapata milinganyo ya vekta ya mstari ulionyooka kwenye ndege.
Kwa kazi gani ni muhimu kujua vekta ya mwelekeo ?
Kama sheria, haya ni majukumu ya kubainisha ulinganifu na uelekeo wa mistari. Pia, vekta ya moja kwa moja ambayo huamua mwelekeo hutumika wakati wa kuhesabu umbali kati ya mistari iliyonyooka na ncha na mstari ulionyooka, kuelezea tabia ya mstari ulionyooka unaohusiana na ndege.
Mbilimistari itakuwa sambamba ikiwa veta zao za mwelekeo ni. Ipasavyo, perpendicularity ya mistari inathibitishwa kwa kutumia perpendicularity ya vekta zao. Katika aina hizi za matatizo, inatosha kukokotoa bidhaa ya scalar ya vekta zinazozingatiwa ili kupata jibu.
Katika kesi ya majukumu ya kukokotoa umbali kati ya mistari na pointi, vekta ya mwelekeo inajumuishwa kwa uwazi katika fomula inayolingana. Hebu tuandike:
d=|[P1P2¯ × v¯] | / |v¯|
Hapa P1P2¯ - imejengwa kwa pointi P1 na P 2 sehemu iliyoelekezwa. Pointi P2 ni ya kiholela, iko kwenye mstari na vekta v¯, huku sehemu P1 ndiyo ambayo umbali unapaswa kufikiwa. kuamuliwa. Inaweza kuwa huru au ya mstari au ndege nyingine.
Kumbuka kwamba inaleta maana kukokotoa umbali kati ya mistari ikiwa tu ni sambamba au inakatishana. Zikipishana, basi d ni sifuri.
Mchanganyiko ulio hapo juu wa d pia ni halali kwa kukokotoa umbali kati ya ndege na mstari ulionyooka sambamba nayo, katika kesi hii pekee P1inapaswa kuwa ya ndege.
Hebu tutatue matatizo kadhaa ili kuonyesha vyema jinsi ya kutumia vekta inayozingatiwa.
Tatizo la Mlingano wa Vekta
Inajulikana kuwa mstari ulionyooka unafafanuliwa kwa mlingano ufuatao:
y=3 × x - 4
Unapaswa kuandika usemi unaofaafomu ya vekta.
Hii ni mlingano wa kawaida wa mstari mnyoofu, unaojulikana kwa kila mtoto wa shule, ulioandikwa kwa fomu ya jumla. Hebu tuonyeshe jinsi ya kuiandika upya katika umbo la vekta.
Neno hili linaweza kuwakilishwa kama:
(x; y)=(x; 3 × x - 4)
Inaweza kuonekana kuwa ukiifungua, utapata usawa asili. Sasa tunagawanya upande wake wa kulia katika vekta mbili ili moja tu yao iwe na x, tunayo:
(x; y)=(x; 3 × x) + (0; -4)
Inasalia kuchukua x nje ya mabano, kuiweka kwa alama ya Kigiriki na kubadilishana vekta za upande wa kulia:
(x; y)=(0; -4) + λ × (1; 3)
Tumepata aina ya vekta ya usemi asili. Viwianishi vya vekta ya mwelekeo wa mstari ulionyooka ni (1; 3).
Jukumu la kubainisha nafasi linganishi ya mistari
Mistari miwili imetolewa kwenye nafasi:
(x; y; z)=(1; 0; -2) + λ × (-1; 3; 1);
(x; y; z)=(3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)
Je, zinalingana, kuvuka au kukatiza?
Vekta zisizo sifuri (-1; 3; 1) na (1; 2; 0) zitakuwa miongozo ya mistari hii. Wacha tueleze hesabu hizi kwa fomu ya parametric na tubadilishe kuratibu za kwanza hadi za pili. Tunapata:
x=1 - λ;
y=3 × λ;
z=-2 + λ;
x=3 + γ=1 - λ=>γ=-2 - λ;
y=2 + 2 × γ=3 × λ=> γ=3 / 2 × λ - 1;
z=2=-2 + λ=> λ=4
Badilisha kigezo kilichopatikana λ kwenye milinganyo miwili hapo juu, tunapata:
γ=-2 - λ=-6;
γ=3 / 2 × λ - 1=5
Kigezo γ hakiwezi kuchukua thamani mbili tofauti kwa wakati mmoja. Hii ina maana kwamba mistari haina pointi moja ya kawaida, yaani, wanaingiliana. Hazifanani, kwa kuwa vekta zisizo za sifuri haziwiani kwa kila mmoja (kwa usawa wao, lazima kuwe na nambari ambayo, kwa kuzidisha kwa vector moja, itasababisha kuratibu za pili).
Maelezo ya hisabati ya ndege
Ili kuweka ndege angani, tunatoa mlingano wa jumla:
A × x + B × y + C × z + D=0
Hapa herufi kubwa za Kilatini huwakilisha nambari mahususi. Watatu wa kwanza wao hufafanua kuratibu za vector ya kawaida ya ndege. Ikiwa imeashiriwa na n¯, basi:
n¯=(A; B; C)
Vekta hii ni sawa na ndege, kwa hivyo inaitwa mwongozo. Maarifa yake, pamoja na viwianishi vinavyojulikana vya sehemu yoyote inayomilikiwa na ndege, huamua ndege hii kwa njia ya kipekee.
Ikiwa pointi P(x1; y1; z1) ni ya ndege, kisha kukatiza D huhesabiwa kama ifuatavyo:
D=-1 × (A × x1+ B × y1 + C × z1)
Hebu tusuluhishe matatizo kadhaa kwa kutumia mlingano wa jumla wa ndege.
Jukumu lakupata vekta ya kawaida ya ndege
Ndege imefafanuliwa kama ifuatavyo:
(y - 3) / 2 + (x + 1) / 3 - z / 4=1
Jinsi ya kumtafutia kivekta mwelekeo?
Kutokana na nadharia iliyo hapo juu, inafuata kwamba viwianishi vya vekta ya kawaida n¯ ni viambajengo vilivyo mbele ya viambajengo. Katika suala hili, kupata n¯, equation inapaswa kuandikwa kwa fomu ya jumla. Tuna:
1 / 3 × x + 1 / 2 × y - 1 / 4 × z - 13 / 6=0
Kisha kivekta cha kawaida cha ndege ni:
n¯=(1/3; 1/2; -1/4)
Tatizo la kuchora mlinganyo wa ndege
Viratibu vya pointi tatu vimetolewa:
M1(1; 0; 0);
M2(2; -1; 5);
M3(0; -2; -2)
Mlinganyo wa ndege iliyo na pointi hizi zote itakuwaje.
Kupitia pointi tatu ambazo haziko kwenye mstari mmoja, ni ndege moja pekee inaweza kuchorwa. Ili kupata mlinganyo wake, kwanza tunahesabu kivekta cha mwelekeo wa ndege n¯. Ili kufanya hivyo, tunaendelea kama ifuatavyo: tunapata vekta mbili za kiholela za ndege, na kuhesabu bidhaa zao za vector. Itatoa vekta ambayo itakuwa perpendicular kwa ndege hii, yaani, n¯. Tuna:
M1M2¯=(1; -1; 5); M1M3¯=(-1; -2; -2);
n¯=[M1M2¯ × M1M 3¯]=(12; -3; -3)
Chukua pointi M1kuchoramaneno ya ndege. Tunapata:
D=-1 × (12 × 1 + (-3) × 0 + (-3) × 0)=-12;
12 × x - 3 × y - 3 × z - 12=0=>
4 × x - y - z - 4=0
Tumepata usemi wa aina ya jumla wa ndege iliyoko angani kwa kufafanua kwanza vekta ya mwelekeo wake.
Sifa ya bidhaa mtambuka inapaswa kukumbukwa wakati wa kutatua matatizo na ndege, kwa kuwa hukuruhusu kuamua viwianishi vya vekta ya kawaida kwa njia rahisi.
