Katika kozi ya shule ya jiometri thabiti, mojawapo ya takwimu rahisi ambayo ina vipimo visivyo na sufuri pamoja na shoka tatu za anga ni prism ya quadrangular. Fikiria katika makala ni aina gani ya takwimu, inajumuisha vipengele gani, na pia jinsi unavyoweza kuhesabu eneo lake la uso na kiasi.
Dhana ya prism
Katika jiometri, mche ni kielelezo cha anga, ambacho huundwa na besi mbili zinazofanana na nyuso za kando zinazounganisha pande za besi hizi. Kumbuka kuwa besi zote mbili zinabadilishwa kuwa kila mmoja kwa kutumia utafsiri sambamba na vekta fulani. Ugawaji huu wa prism unaongoza kwa ukweli kwamba pande zake zote ni sambamba kila wakati.
Idadi ya pande za besi inaweza kuwa kiholela, kuanzia tatu. Nambari hii inapoelekea kutokuwa na ukomo, prism hubadilika vizuri kuwa silinda, kwa kuwa msingi wake unakuwa mduara, na sambamba za upande, zinazounganishwa, huunda uso wa silinda.
Kama polihedron yoyote, prism ina sifa yakepande (ndege zilizofunga takwimu), kingo (sehemu ambazo pande zote mbili zinaingiliana) na wima (pointi za mkutano wa pande tatu, kwa prism mbili kati yao ni za upande, na ya tatu ni msingi). Idadi ya vipengele vitatu vilivyotajwa vya mchoro vimeunganishwa kwa usemi ufuatao:
P=C + B - 2
Hapa P, C na B ni idadi ya kingo, kando na vipeo, mtawalia. Usemi huu ni nukuu ya hisabati ya nadharia ya Euler.
Picha hapo juu inaonyesha prisms mbili. Chini ya mmoja wao (A) kuna hexagon ya kawaida, na pande za upande ni perpendicular kwa besi. Kielelezo B kinaonyesha prism nyingine. Pande zake hazifanani tena na besi, na msingi ni pentagoni ya kawaida.
Mche wa quadrangular ni nini?
Kama inavyoonekana wazi kutokana na maelezo hapo juu, aina ya prism kimsingi hubainishwa na aina ya poligoni inayounda besi (besi zote mbili ni sawa, kwa hivyo tunaweza kuzungumza juu ya mojawapo). Ikiwa polygon hii ni parallelogram, basi tunapata prism ya quadrangular. Kwa hivyo, pande zote za aina hii ya prism ni parallelograms. Mche wa pembe nne una jina lake mwenyewe - bomba la parallele.
Idadi ya pande za bomba la sambamba ni sita, na kila upande una mlingano sawa nayo. Kwa kuwa besi za kisanduku ni pande mbili, nne zilizobaki ni za upande.
Idadi ya vipeo vya filimbi ya parallele ni nane, ambayo ni rahisi kuona ikiwa tunakumbuka kuwa vipeo vya mche hutengenezwa kwenye vipeo vya poligoni msingi (4x2=8). Kwa kutumia nadharia ya Euler, tunapata idadi ya kingo:
P=C + B - 2=6 + 8 - 2=12
Kati ya mbavu 12, 4 pekee ndizo zimeundwa kwa kujitegemea kwa pande. 8 zilizobaki ziko kwenye ndege za besi za takwimu.
Zaidi katika makala tutazungumza kuhusu prisms za quadrangular pekee.
Aina za parallelepipeds
Aina ya kwanza ya uainishaji ni sifa za parallelogramu msingi. Inaweza kuonekana hivi:
- kawaida, ambayo pembe zake si sawa na 90o;
- mstatili;
- mraba ni sehemu ya pembe nne ya kawaida.
Aina ya pili ya uainishaji ni pembe ambayo upande huvuka msingi. Kesi mbili tofauti zinawezekana hapa:
- pembe hii sio sawa, kisha mche huitwa oblique au oblique;
- pembe ni 90o, kisha mche kama huo ni mstatili au moja kwa moja tu.
Aina ya tatu ya uainishaji inahusiana na urefu wa prism. Ikiwa prism ni mstatili, na msingi ni mraba au mstatili, basi inaitwa cuboid. Ikiwa kuna mraba kwenye msingi, prism ni mstatili, na urefu wake ni sawa na urefu wa upande wa mraba, basi tunapata takwimu inayojulikana ya mchemraba.
Uso na eneo la Prism
Seti ya pointi zote ambazo ziko kwenye besi mbili za mche(parallelograms) na pande zake (parallelograms nne) huunda uso wa takwimu. Eneo la uso huu linaweza kuhesabiwa kwa kuhesabu eneo la msingi na thamani hii kwa uso wa upande. Kisha jumla yao itatoa thamani inayotaka. Kihisabati, hii imeandikwa kama ifuatavyo:
S=2So+ Sb
Hapa So na Sb ni eneo la msingi na uso wa upande, mtawalia. Nambari ya 2 kabla ya So inaonekana kwa sababu kuna besi mbili.
Kumbuka kwamba fomula iliyoandikwa ni halali kwa prism yoyote, na si kwa eneo la prism quadrangular pekee.
Ni muhimu kukumbuka kuwa eneo la sambamba la Sp linakokotolewa kwa fomula:
Sp=ah
Ambapo alama a na h huashiria urefu wa moja ya pande zake na urefu unaochorwa upande huu, mtawalia.
Eneo la mche wa mstatili na msingi wa mraba
Katika mche wa kawaida wa quadrangular, msingi ni mraba. Kwa uhakika, tunaashiria upande wake kwa herufi a. Ili kuhesabu eneo la prism ya kawaida ya quadrangular, unapaswa kujua urefu wake. Kwa mujibu wa ufafanuzi wa wingi huu, ni sawa na urefu wa perpendicular imeshuka kutoka msingi mmoja hadi mwingine, yaani, sawa na umbali kati yao. Hebu tuashirie kwa herufi H. Kwa kuwa nyuso zote za kando ni za msingi kwa aina ya mche unaozingatiwa, urefu wa mche wa kawaida wa quadrangular utakuwa sawa na urefu wa ukingo wake wa upande.
BFomula ya jumla ya eneo la uso wa prism ni maneno mawili. Eneo la msingi katika kesi hii ni rahisi kuhesabu, ni sawa na:
So=a2
Ili kukokotoa eneo la uso wa kando, tunabishana kama ifuatavyo: uso huu unaundwa na mistatili 4 inayofanana. Zaidi ya hayo, pande za kila mmoja wao ni sawa na a na h. Hii ina maana kwamba eneo la Sb litakuwa sawa na:
Sb=4ah
Kumbuka kuwa bidhaa 4a ni mzunguko wa msingi wa mraba. Ikiwa tutarekebisha usemi huu kwa kisa cha msingi wa kiholela, basi kwa prism ya mstatili uso wa upande unaweza kuhesabiwa kama ifuatavyo:
Sb=Poh
Ambapo Po ni mzunguko wa msingi.
Tukirejea tatizo la kukokotoa eneo la mche wa kawaida wa quadrangular, tunaweza kuandika fomula ya mwisho:
S=2So+ Sb=2a2+ 4 ah=2a(a+2h)
Eneo la bomba la usawa la oblique
Kuihesabu ni ngumu zaidi kuliko ile ya mstatili. Katika kesi hii, eneo la msingi la prism ya quadrangular huhesabiwa kwa kutumia formula sawa na kwa parallelogram. Mabadiliko haya yanahusu jinsi eneo la kando linavyobainishwa.
Ili kufanya hivyo, tumia fomula sawa kupitia mzunguko kama ilivyotolewa katika aya iliyo hapo juu. Ni sasa tu itakuwa na vizidishi tofauti kidogo. Fomula ya jumla ya Sb katika kesi ya mche oblique ni:
Sb=Psrc
Hapa c ni urefu wa ukingo wa upande wa takwimu. Thamani Psr ni mzunguko wa kipande cha mstatili. Mazingira haya yamejengwa kama ifuatavyo: ni muhimu kuingiliana na nyuso zote za upande na ndege ili iwe ni perpendicular kwa wote. Mstatili utakaotokana utakuwa kata utakalotaka.
Kielelezo hapo juu kinaonyesha mfano wa kisanduku cha oblique. Sehemu yake iliyopigwa msalaba huunda pembe za kulia na pande. Mzunguko wa sehemu ni Psr. Inaundwa na urefu wa nne wa parallelograms za upande. Kwa mche huu wa quadrangular, eneo la uso wa pembeni hukokotolewa kwa kutumia fomula iliyo hapo juu.
Urefu wa mshazari wa mraba
Ulalo wa filimbi ya parallele ni sehemu inayounganisha wima mbili ambazo hazina pande zinazofanana zinazoziunda. Kuna diagonal nne tu katika prism yoyote ya quadrangular. Kwa cuboid iliyo na mstatili chini yake, urefu wa diagonal zote ni sawa kwa kila mmoja.
Kielelezo hapa chini kinaonyesha takwimu inayolingana. Sehemu nyekundu ni ya ulalo.
Kuhesabu urefu wake ni rahisi sana, ikiwa unakumbuka nadharia ya Pythagorean. Kila mwanafunzi anaweza kupata fomula anayotaka. Ina fomu ifuatayo:
D=√(A2+ B2 + C2)
Hapa D ndio urefu wa mshazari. Vibambo vilivyosalia ni urefu wa pande za kisanduku.
Watu wengi huchanganya ulalo wa bomba la parallele na ulalo wa pande zake. Chini ni picha ambapo rangisehemu zinawakilisha mishororo ya pande za kielelezo.
Urefu wa kila moja yao pia huamuliwa na nadharia ya Pythagorean na ni sawa na mzizi wa mraba wa jumla ya miraba ya urefu wa upande unaolingana.
Kiasi cha prism
Mbali na eneo la prism ya kawaida ya quadrangular au aina nyingine za prism, ili kutatua matatizo fulani ya kijiometri, unapaswa pia kujua kiasi chao. Thamani hii kwa prism yoyote inakokotolewa kwa fomula ifuatayo:
V=Soh
Ikiwa prism ni ya mstatili, basi inatosha kuhesabu eneo la msingi wake na kuzidisha kwa urefu wa ukingo wa upande ili kupata kiasi cha takwimu.
Ikiwa prism ni prism ya kawaida ya quadrangular, basi ujazo wake utakuwa:
V=a2h.
Ni rahisi kuona kwamba fomula hii inabadilishwa kuwa usemi wa ujazo wa mchemraba ikiwa urefu wa ukingo wa upande h ni sawa na upande wa besi a.
Tatizo la cuboid
Ili kuunganisha nyenzo iliyosomwa, tutatatua tatizo lifuatalo: kuna parallelepiped ya mstatili ambayo pande zake ni 3 cm, 4 cm na cm 5. Ni muhimu kuhesabu eneo lake la uso, urefu wa diagonal na kiasi.
Kwa uhakika, tutafikiri kwamba msingi wa takwimu ni mstatili na pande za cm 3 na cm 4. Kisha eneo lake ni 12 cm2, na kipindi ni sentimita 14. Kutumia fomula ya eneo la prism, tunapata:
S=2So+ Sb=212 + 514=24 + 70=94cm2
Ili kubainisha urefu wa mlalo na ujazo wa kielelezo, unaweza kutumia misemo iliyo hapo juu moja kwa moja:
D=√(32+42+52)=7 Sentimita 071;
V=345=60cm3.
Tatizo la bomba la mshazari lenye mshangao
Kielelezo kilicho hapa chini kinaonyesha mche oblique. Pande zake ni sawa: a=10cm, b=8cm, c=12cm. Unahitaji kupata eneo la uso wa takwimu hii.
Kwanza, hebu tubainishe eneo la msingi. Kielelezo kinaonyesha kuwa pembe ya papo hapo ni 50o. Kisha eneo lake ni:
So=ha=dhambi(50o)ba
Ili kubainisha eneo la uso wa kando, unapaswa kupata mzunguko wa mstatili wenye kivuli. Pande za mstatili huu ni dhambi(45o) na bsin(60o). Kisha mzunguko wa mstatili huu ni:
Psr=2(adhambi(45o)+bdhambi(60o))
Jumla ya eneo la kisanduku hiki ni:
S=2So+ Sb=2(dhambi(50o)ba + acdhambi(45o) + bcdhambi(60o))
Tunabadilisha data kutoka kwa hali ya tatizo kwa urefu wa pande za takwimu, tunapata jibu:
S=458, 5496 cm3
Inaweza kuonekana kutokana na ufumbuzi wa tatizo hili kuwa vitendaji vya trigonometriki hutumiwa kubainisha maeneo ya tarakimu za oblique.
