Ili kuiweka kwa urahisi na kwa ufupi, upeo ni thamani ambazo chaguo la kukokotoa lolote linaweza kuchukua. Ili kuchunguza kikamilifu mada hii, unahitaji kusambaza hatua kwa hatua pointi na dhana zifuatazo. Kwanza, hebu tuelewe ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa na historia ya mwonekano wake.
Kitendo ni nini
Sayansi zote haswa hutupatia mifano mingi ambapo viambajengo vinavyohusika vinategemeana kwa njia fulani. Kwa mfano, wiani wa dutu imedhamiriwa kabisa na wingi wake na kiasi. Shinikizo la gesi bora kwa kiasi cha mara kwa mara hutofautiana na joto. Mifano hii inaunganishwa na ukweli kwamba fomula zote zina tegemezi kati ya vigeu, ambavyo huitwa kazi.
Chaguo za kukokotoa ni dhana inayoonyesha utegemezi wa wingi mmoja kwa mwingine. Ina fomu y=f (x), ambapo y ni thamani ya kazi, ambayo inategemea x - hoja. Kwa hivyo, tunaweza kusema kwamba y ni tegemezi la kutofautiana kwa thamani ya x. Thamani ambazo x inaweza kuchukua pamoja nikikoa cha chaguo za kukokotoa (D(y) au D(f)), na ipasavyo, thamani za y huunda seti ya thamani za chaguomsingi (E(f) au E(y)). Kuna matukio wakati kipengele cha kukokotoa kinatolewa na fomula fulani. Katika hali hii, kikoa cha ufafanuzi kinajumuisha thamani ya vigeu hivyo, ambapo nukuu iliyo na fomula inaeleweka.
Kuna vipengele vinavyolingana au sawa. Hizi ni fomula mbili za kukokotoa ambazo zina safu sawa za thamani halali, na vile vile thamani za chaguo za kukokotoa zenyewe ni sawa kwa hoja zote sawa.
Sheria nyingi za sayansi kamili zimepewa jina sawa na hali katika maisha halisi. Kuna ukweli wa kuvutia vile pia kuhusu kazi ya hisabati. Kuna nadharia juu ya kikomo cha chaguo "iliyowekwa" kati ya zingine mbili ambazo zina kikomo sawa - karibu polisi wawili. Wanalieleza hivi: kwa kuwa polisi wawili wanamwongoza mfungwa kwenye seli kati yao, mhalifu analazimishwa kwenda huko, na hana chaguo.
Marejeleo ya kipengele cha kihistoria
Dhana ya chaguo la kukokotoa haikufaulu mara moja kuwa ya mwisho na sahihi, imepitia njia ndefu ya kuwa. Kwanza, Utangulizi na Utafiti wa Fermat wa Ndege na Maeneo Madhubuti, iliyochapishwa mwishoni mwa karne ya 17, ilisema yafuatayo:
Wakati wowote kuna mambo mawili yasiyojulikana katika mlingano wa mwisho, kuna nafasi.
Kwa ujumla, kazi hii inazungumzia utegemezi wa kiutendaji na taswira yake ya nyenzo (mahali=mstari).
Pia, karibu wakati huo huo, Rene Descartes alisoma mistari kwa milinganyo yao katika kazi yake "Jiometri" (1637), ambapo tena ukweli.utegemezi wa kiasi mbili kwa kila mmoja.
Kutajwa sana kwa neno "kazi" kulionekana tu mwishoni mwa karne ya 17 na Leibniz, lakini si katika tafsiri yake ya kisasa. Katika kazi yake ya kisayansi, alizingatia kuwa kipengele cha kukokotoa ni sehemu mbalimbali zinazohusishwa na mstari uliopinda.
Lakini tayari katika karne ya 18, chaguo la kukokotoa lilianza kufafanuliwa kwa usahihi zaidi. Bernoulli aliandika yafuatayo:
Kitendo cha kukokotoa ni thamani inayoundwa na kigezo cha kubadilika na kisichobadilika.
Mawazo ya Euler pia yalikuwa karibu na hili:
Kitendakazi cha wingi unaobadilika ni usemi wa uchanganuzi unaoundwa kwa namna fulani ya wingi na nambari hizi tofauti au kiasi kisichobadilika.
Wakati kiasi fulani kinategemea vingine kwa namna ambayo pindi cha pili kinapobadilika, chenyewe kinabadilika, basi cha kwanza kinaitwa kazi za mwisho.
Grafu ya Kazi
Grafu ya chaguo za kukokotoa ina nukta zote zinazomilikiwa na shoka za ndege iliyoratibu, abscissas ambayo huchukua maadili ya hoja, na maadili ya chaguo za kukokotoa katika sehemu hizi ni ratibu.
Upeo wa chaguo za kukokotoa unahusiana moja kwa moja na grafu yake, kwa sababu ikiwa abscissa yoyote haijajumuishwa na anuwai ya thamani halali, basi unahitaji kuchora alama tupu kwenye grafu au kuchora grafu ndani ya mipaka fulani. Kwa mfano, ikiwa grafu ya fomu y=tgx inachukuliwa, basi thamani x=pi / 2 + pin, n∉R haijatengwa kutoka kwa eneo la ufafanuzi, katika kesi ya grafu ya tangent, unahitaji kuchora.mistari wima sambamba na mhimili wa y (zinaitwa asymptotes) kupita kwenye pointi ±pi/2.
Utafiti wowote wa kina na makini wa utendaji unajumuisha tawi kubwa la hisabati linaloitwa calculus. Katika hisabati ya msingi, maswali ya msingi kuhusu utendakazi pia yanaguswa, kwa mfano, kuunda grafu rahisi na kubainisha sifa za kimsingi za chaguo la kukokotoa.
Ni kipengele gani cha kukokotoa kinaweza kuwekwa
Fundo linaweza:
- kuwa fomula, kwa mfano: y=cos x;
- imewekwa na jedwali lolote la jozi za fomu (x; y);
- mara moja iwe na mwonekano wa mchoro, kwa hili jozi kutoka kwa kipengee cha awali cha fomu (x; y) lazima zionyeshwe kwenye shoka za kuratibu.
Kuwa mwangalifu unaposuluhisha baadhi ya matatizo ya kiwango cha juu, takriban usemi wowote unaweza kuzingatiwa kama fomula inayohusiana na baadhi ya hoja ya thamani ya chaguo za kukokotoa y (x). Kupata kikoa cha ufafanuzi katika majukumu kama haya kunaweza kuwa ufunguo wa suluhisho.
Upeo ni wa nini?
Jambo la kwanza unalohitaji kujua kuhusu kipengele cha kukokotoa ili kusoma au kuijenga ni upeo wake. Grafu inapaswa kuwa na vidokezo tu ambapo chaguo la kukokotoa linaweza kuwepo. Kikoa cha ufafanuzi (x) kinaweza pia kurejelewa kama kikoa cha thamani zinazokubalika (kwa kifupi kama ODZ).
Ili kuunda grafu ya utendaji kwa usahihi na haraka, unahitaji kujua kikoa cha chaguo hili la kukokotoa, kwa sababu mwonekano wa grafu na uaminifu hutegemea hilo.ujenzi. Kwa mfano, ili kuunda chaguo za kukokotoa y=√x, unahitaji kujua kwamba x inaweza tu kuchukua maadili chanya. Kwa hivyo, imejengwa katika roboduara ya kwanza tu ya kuratibu.
Upeo wa ufafanuzi kwenye mfano wa vitendaji vya msingi
Katika ghala lake, hisabati ina idadi ndogo ya vitendaji rahisi, vilivyobainishwa. Wana upeo mdogo. Suluhisho la suala hili halitasababisha ugumu hata ikiwa una kazi inayoitwa ngumu mbele yako. Ni mchanganyiko wa kadhaa rahisi.
- Kwa hivyo, chaguo la kukokotoa linaweza kuwa la sehemu, kwa mfano: f(x)=1/x. Kwa hivyo, kigeugeu (hoja yetu) iko kwenye dhehebu, na kila mtu anajua kwamba kiashiria cha sehemu hakiwezi kuwa sawa na 0, kwa hivyo, hoja inaweza kuchukua thamani yoyote isipokuwa 0. Nukuu itaonekana kama hii: D(y)=x∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞). Ikiwa kuna usemi fulani wenye kutofautisha katika dhehebu, basi unahitaji kutatua equation ya x na kuwatenga maadili ambayo yanageuza dhehebu kuwa 0. Kwa uwakilishi wa kimkakati, alama 5 zilizochaguliwa vizuri zinatosha. Grafu ya chaguo hili la kukokotoa itakuwa hyperbola na asymptote wima kupita kwenye uhakika (0; 0) na, kwa pamoja, shoka za Ox na Oy. Ikiwa picha ya mchoro itaingiliana na asymptotes, basi hitilafu kama hiyo itazingatiwa kuwa mbaya zaidi.
- Lakini kikoa cha mzizi ni nini? Kikoa cha chaguo za kukokotoa chenye usemi mkali (f(x)=√(2x + 5)), kilicho na kigezo, pia kina nuances yake (inatumika tu kwa mzizi wa digrii sawia). Kamamzizi wa hesabu ni usemi mzuri au sawa na 0, basi usemi wa mizizi lazima uwe mkubwa kuliko au sawa na 0, tunasuluhisha usawa ufuatao: 2x + 5 ≧ 0, x ≧ -2, 5, kwa hivyo, uwanja wa hii. kitendakazi: D(y)=x ∈ (-2, 5; +∞). Grafu ni mojawapo ya matawi ya parabola, inayozungushwa kwa digrii 90, iliyo katika roboduara ya kwanza ya kuratibu.
- Ikiwa tunashughulikia utendakazi wa logarithmic, basi unapaswa kukumbuka kuwa kuna kizuizi kuhusu msingi wa logariti na usemi chini ya ishara ya logariti, katika kesi hii unaweza kupata kikoa cha ufafanuzi kama hufuata. Tuna kipengele cha kukokotoa: y=logia(x + 7), tunatatua ukosefu wa usawa: x + 7 > 0, x > -7. Kisha kikoa cha chaguo hili la kukokotoa ni D(y)=x ∈ (-7; +∞).
- Pia makini na utendakazi wa trigonometriki za fomu y=tgx na y=ctgx, kwani y=tgx=sinx/cos/x na y=ctgx=cosx/sinx, kwa hivyo, unahitaji kuwatenga maadili ambapo denominator inaweza kuwa sawa na sifuri. Ikiwa unafahamu grafu za vitendaji vya trigonometric, kuelewa kikoa chao ni kazi rahisi.
Ni jinsi gani kufanya kazi na vitendaji changamano kunatofautiana
Kumbuka sheria chache za msingi. Ikiwa tunafanya kazi na kazi ngumu, basi hakuna haja ya kutatua kitu, kurahisisha, kuongeza sehemu, kupunguza kwa denominator ya chini kabisa na mizizi ya dondoo. Ni lazima tuchunguze chaguo hili la kukokotoa kwa sababu utendakazi tofauti (hata unaofanana) unaweza kubadilisha upeo wa chaguo za kukokotoa, na hivyo kusababisha jibu lisilo sahihi.
Kwa mfano, tuna fomula changamano: y=(x2 - 4)/(x - 2). Hatuwezi kupunguza nambari na dhehebu la sehemu hiyo, kwani hii inawezekana tu ikiwa x ≠ 2, na hii ni kazi ya kupata kikoa cha kazi, kwa hivyo hatuzingatii nambari na hatusuluhishi usawa wowote, kwa sababu thamani ambayo kazi haipo, inayoonekana kwa jicho uchi. Katika kesi hii, x haiwezi kuchukua thamani 2, kwa kuwa kiashiria hakiwezi kwenda kwa 0, nukuu itaonekana kama hii: D(y)=x ∉ (-∞; 2) ∪ (2; +∞).
vitendaji vya kuheshimiana
Kwa wanaoanza, inafaa kusema kuwa chaguo za kukokotoa zinaweza kutenduliwa tu baada ya muda wa kuongeza au kupungua. Ili kupata kitendakazi kinyume, unahitaji kubadilisha x na y katika nukuu na kutatua mlinganyo wa x. Vikoa vya ufafanuzi na vikoa vya thamani vimebadilishwa kwa urahisi.
Sharti kuu la urejeshaji nyuma ni muda wa toni moja ya chaguo la kukokotoa, ikiwa chaguo za kukokotoa zina vipindi vya ongezeko na kupungua, basi inawezekana kutunga utendakazi kinyume wa muda wowote (kuongezeka au kupungua).
Kwa mfano, kwa chaguo za kukokotoa za kipeo y=exmwiliano ni chaguo la kukokotoa la logarithmic y=logea=lna. Kwa trigonometrics, hizi zitakuwa kazi na kiambishi awali arc-: y=sinx na y=arcsinx na kadhalika. Grafu zitawekwa kwa ulinganifu kwa kuzingatia baadhi ya shoka au dalili.
Hitimisho
Kutafuta anuwai ya thamani zinazokubalika kunatokana na kuchunguza grafu ya chaguo za kukokotoa (ikiwa ipo),kurekodi na kutatua mfumo mahususi unaohitajika wa ukosefu wa usawa.
Kwa hivyo, makala haya yamekusaidia kuelewa ni nini upeo wa chaguo za kukokotoa na jinsi ya kuipata. Tunatumai kwamba itakusaidia kuelewa vizuri kozi ya msingi ya shule.
