Mojawapo ya takwimu zinazotokea wakati wa kutatua matatizo ya kijiometri angani ni koni. Ni, tofauti na polihedra, ni ya darasa la takwimu za mzunguko. Wacha tuzingatie katika kifungu kile kinachomaanishwa nayo katika jiometri, na tuchunguze sifa za sehemu mbalimbali za koni.
Koni katika jiometri
Chukulia kuwa kuna mkunjo kwenye ndege. Inaweza kuwa parabola, duara, duaradufu, na kadhalika. Chukua hatua ambayo si ya ndege maalum, na uunganishe pointi zote za curve kwake. Sehemu inayotokana inaitwa koni au koni kwa urahisi.
Ikiwa curve ya asili imefungwa, basi uso wa koni unaweza kujazwa mada. Takwimu iliyopatikana kwa njia hii ni mwili wa tatu-dimensional. Pia inaitwa koni. Koni kadhaa za karatasi zimeonyeshwa hapa chini.
Uso wa koni hupatikana katika maisha ya kila siku. Kwa mfano, koni ya ice cream au koni ya trafiki yenye milia ina sura hii, ambayo imeundwa kuvutia umakini wa madereva na.watembea kwa miguu.
Aina za koni
Kama unavyoweza kukisia, takwimu zinazozingatiwa hutofautiana kulingana na aina ya mkunjo ambapo zimeundwa. Kwa mfano, kuna koni ya pande zote au moja ya mviringo. Curve hii inaitwa msingi wa takwimu. Hata hivyo, umbo la msingi sio kipengele pekee kinachoruhusu uainishaji wa koni.
Sifa ya pili muhimu ni nafasi ya urefu ikilinganishwa na msingi. Urefu wa koni ni sehemu ya mstari wa moja kwa moja, ambayo hupunguzwa kutoka juu ya takwimu hadi ndege ya msingi na ni perpendicular kwa ndege hii. Ikiwa urefu unaingilia msingi katika kituo cha kijiometri (kwa mfano, katikati ya mduara), basi koni itakuwa sawa, ikiwa sehemu ya perpendicular itaanguka kwa hatua nyingine yoyote ya msingi au zaidi yake, basi takwimu itakuwa. oblique.
Zaidi katika makala tutazingatia tu koni iliyonyooka ya mviringo kama kiwakilishi angavu cha tabaka linalozingatiwa la takwimu.
Majina ya kijiometri ya vipengele vya koni
Ilisemekana hapo juu kuwa koni ina msingi. Imefungwa na mduara, unaoitwa mwongozo wa koni. Sehemu zinazounganisha mwongozo kwa hatua ambayo haipo kwenye ndege ya msingi huitwa jenereta. Seti ya pointi zote za jenereta inaitwa conical au lateral uso wa takwimu. Kwa koni ya pande zote ya kulia, jenereta zote zina urefu sawa.
Mahali ambapo jenereta hukatiza inaitwa sehemu ya juu ya kielelezo. Tofauti na polihedra, koni ina vertex moja na hakunaukingo.
Mstari ulionyooka unaopita sehemu ya juu ya kielelezo na katikati ya duara huitwa mhimili. Mhimili una urefu wa koni moja kwa moja, kwa hiyo huunda pembe ya kulia na ndege ya msingi. Taarifa hii ni muhimu wakati wa kuhesabu eneo la sehemu ya axial ya koni.
Koni iliyonyooka ya mviringo - kielelezo cha mzunguko
Koni inayozingatiwa ni kielelezo cha ulinganifu, ambacho kinaweza kupatikana kutokana na mzunguko wa pembetatu. Tuseme tuna pembetatu yenye pembe ya kulia. Ili kupata koni, inatosha kuzungusha pembetatu hii kuzunguka mguu mmoja kama inavyoonyeshwa kwenye mchoro ulio hapa chini.
Inaweza kuonekana kuwa mhimili wa mzunguko ni mhimili wa koni. Moja ya miguu itakuwa sawa na urefu wa takwimu, na mguu wa pili utakuwa radius ya msingi. Hypotenuse ya pembetatu kama matokeo ya kuzunguka itaelezea uso wa conical. Itakuwa jenereta ya koni.
Njia hii ya kupata koni iliyonyooka ya duara ni rahisi kutumia kusoma uhusiano wa kihisabati kati ya vigezo vya mstari wa takwimu: urefu h, radius ya msingi wa pande zote r na mwongozo g. Fomu inayolingana inafuata kutoka kwa sifa za pembetatu ya kulia. Imeorodheshwa hapa chini:
g2=h2+ r2.
Kwa kuwa tuna mlinganyo mmoja na vigeu vitatu, hii ina maana kwamba ili kuweka vigezo vya koni ya duara kwa njia ya kipekee, unahitaji kujua idadi zozote mbili.
Sehemu za koni kwa ndege ambayo haina kipeo cha mchoro
Swali la kuunda sehemu za takwimu sioyasiyo na maana. Ukweli ni kwamba sura ya sehemu ya koni kwa uso inategemea nafasi ya jamaa ya takwimu na secant.
Chukulia kuwa tunakatiza koni na ndege. Je, itakuwa matokeo ya operesheni hii ya kijiometri? Chaguo za umbo la sehemu zimeonyeshwa kwenye mchoro ulio hapa chini.
Sehemu ya waridi ni mduara. Inaundwa kama matokeo ya makutano ya takwimu na ndege ambayo ni sawa na msingi wa koni. Hizi ni sehemu za perpendicular kwa mhimili wa takwimu. Kielelezo kilichoundwa juu ya ndege ya kukata ni koni inayofanana na ile ya awali, lakini ina mduara mdogo chini.
Sehemu ya kijani ni duaradufu. Inapatikana ikiwa ndege ya kukata hailingani na msingi, lakini inaingilia tu uso wa upande wa koni. Kielelezo kilichokatwa juu ya ndege kinaitwa koni ya elliptical oblique.
Sehemu za bluu na chungwa ni za kimfano na piambano, mtawalia. Kama unavyoona kutoka kwa takwimu, zinapatikana ikiwa ndege ya kukata wakati huo huo inaingilia uso wa upande na msingi wa takwimu.
Ili kubainisha maeneo ya sehemu za koni ambazo zilizingatiwa, ni muhimu kutumia fomula za takwimu inayolingana kwenye ndege. Kwa mfano, kwa mduara, hii ndiyo nambari ya Pi iliyozidishwa na mraba wa radius, na kwa duaradufu, hii ni zao la Pi na urefu wa semiaksi ndogo na kuu:
mduara: S=pir2;
duaradufu: S=piab.
Sehemu zilizo na sehemu ya juu ya koni
Sasa zingatia chaguo za sehemu zitakazotokea ikiwa ndege ya kukata nikupita juu ya koni. Kesi tatu zinawezekana:
- Sehemu ni sehemu moja. Kwa mfano, ndege inayopita kwenye kipeo na sambamba na msingi inatoa sehemu kama hiyo.
- Sehemu ni mstari ulionyooka. Hali hii hutokea wakati ndege ni tangent kwa uso conical. Mstari wa moja kwa moja wa sehemu katika kesi hii itakuwa jenereta ya koni.
- sehemu ya Axial. Inaundwa wakati ndege haina tu juu ya takwimu, lakini pia mhimili wake wote. Katika hali hii, ndege itakuwa perpendicular kwa msingi wa pande zote na itagawanya koni katika sehemu mbili sawa.
Ni wazi, maeneo ya aina mbili za kwanza za sehemu ni sawa na sufuri. Kuhusu eneo la sehemu ya msalaba ya koni kwa aina ya 3, suala hili linajadiliwa kwa undani zaidi katika aya inayofuata.
sehemu ya Axial
Ilibainishwa hapo juu kuwa sehemu ya mhimili wa koni ni kielelezo kinachoundwa wakati koni inakatizwa na ndege inayopita kwenye mhimili wake. Ni rahisi kukisia kuwa sehemu hii itawakilisha kielelezo kilichoonyeshwa kwenye mchoro ulio hapa chini.
Hii ni pembetatu ya isosceles. Upeo wa sehemu ya axial ya koni ni vertex ya pembetatu hii, iliyoundwa na makutano ya pande zinazofanana. Mwisho ni sawa na urefu wa jenereta ya koni. Msingi wa pembetatu ni kipenyo cha msingi wa koni.
Kuhesabu eneo la sehemu ya mhimili wa koni hupunguzwa hadi kupata eneo la pembetatu inayotokea. Ikiwa eneo la msingi r na urefu wa h wa koni hujulikana hapo awali, basi eneo S la sehemu inayozingatiwa litakuwa:
S=hr.
Hiiusemi huo ni tokeo la kutumia fomula ya kawaida ya eneo la pembetatu (nusu ya bidhaa ya urefu mara ya msingi).
Kumbuka kwamba ikiwa jenereta ya koni ni sawa na kipenyo cha msingi wake wa pande zote, basi sehemu ya axial ya koni ni pembetatu iliyo equilateral.
Sehemu ya pembetatu huundwa wakati ndege ya kukata iko pembeni mwa msingi wa koni na kupita kwenye mhimili wake. Ndege nyingine yoyote iliyo sambamba na iliyotajwa itatoa hyperbola katika sehemu. Hata hivyo, ikiwa ndege ina kipeo cha koni na inakatiza msingi wake si kupitia kipenyo, basi sehemu itakayotokea pia itakuwa pembetatu ya isosceles.
Tatizo la kubainisha vigezo vya mstari wa koni
Hebu tuonyeshe jinsi ya kutumia fomula iliyoandikwa kwa eneo la sehemu ya axial kutatua tatizo la kijiometri.
Inajulikana kuwa eneo la sehemu ya axial ya koni ni 100 cm2. Pembetatu inayotokana ni usawa. Je, urefu wa koni na sehemu ya msingi wake ni nini?
Kwa kuwa pembetatu ni sawa, urefu wake h unahusiana na urefu wa upande a kama ifuatavyo:
h=√3/2a.
Ikizingatiwa kuwa upande wa pembetatu ni kipenyo mara mbili cha msingi wa koni, na kubadilisha usemi huu katika fomula ya eneo la sehemu-mgawanyiko, tunapata:
S=hr=√3/22rr=>
r=√(S/√3).
Kisha urefu wa koni ni:
h=√3/22r=√3√(S/√3)=√(√3S).
Inabaki kuchukua nafasi ya thamani ya eneo kutokana na hali ya tatizona upate jibu:
r=√(100/√3) ≈ sentimita 7.60;
h=√(√3100) ≈ 13, 16 cm.
Ni katika maeneo gani ni muhimu kujua vigezo vya sehemu zinazozingatiwa?
Utafiti wa aina mbalimbali za sehemu za koni sio tu wa maslahi ya kinadharia, bali pia una matumizi ya vitendo.
Kwanza, ni lazima ieleweke eneo la aerodynamics, ambapo kwa msaada wa sehemu za conic inawezekana kuunda maumbo bora ya laini ya miili imara.
Pili, sehemu za koni ni mapito ambayo vitu vya anga husogea katika sehemu za mvuto. Ni aina gani maalum ya sehemu inayowakilisha trajectory ya harakati ya miili ya ulimwengu ya mfumo imedhamiriwa na uwiano wa wingi wao, kasi kamili na umbali kati yao.
