Sekunde, tanjiti - yote haya yanaweza kusikika mamia ya mara katika masomo ya jiometri. Lakini kuhitimu kutoka shuleni kumekwisha, miaka hupita, na ujuzi huu wote umesahau. Nini kinapaswa kukumbukwa?
Essence
Neno "tangent kwa mduara" labda linajulikana kwa kila mtu. Lakini hakuna uwezekano kwamba kila mtu ataweza kuunda ufafanuzi wake haraka. Wakati huo huo, tangent ni mstari wa moja kwa moja ulio kwenye ndege moja na mduara unaoivuka kwa hatua moja tu. Kunaweza kuwa na aina kubwa yao, lakini wote wana mali sawa, ambayo yatajadiliwa hapa chini. Kama unavyoweza kudhani, mahali pa kuwasiliana ni mahali ambapo mduara na mstari hukutana. Katika kila kisa, ni moja, lakini ikiwa kuna zaidi, basi itakuwa sekunde.
Historia ya ugunduzi na masomo
Dhana ya tanjiti ilionekana zamani. Ujenzi wa mistari hii ya moja kwa moja, kwanza kwa mduara, na kisha kwa ellipses, parabolas na hyperbolas kwa msaada wa mtawala na dira, ulifanyika hata katika hatua za awali za maendeleo ya jiometri. Bila shaka, historia haijahifadhi jina la mvumbuzi, lakinini dhahiri kwamba hata wakati huo, watu walikuwa wakifahamu kabisa sifa za tanjiti kwenye duara.
Katika nyakati za kisasa, kuvutiwa na jambo hili kulipamba moto tena - awamu mpya ya kusoma dhana hii ilianza, pamoja na ugunduzi wa mikondo mipya. Kwa hiyo, Galileo alianzisha dhana ya cycloid, na Fermat na Descartes walijenga tangent yake. Kuhusu miduara, inaonekana kwamba hakuna siri iliyobaki kwa watu wa kale katika eneo hili.
Mali
Radi inayochorwa kwenye sehemu ya makutano itakuwa ya pembeni hadi kwenye mstari. Hii ni
cha msingi, lakini si sifa pekee ambayo tanjiti kwenye mduara inayo. Kipengele kingine muhimu kinajumuisha tayari mistari miwili ya moja kwa moja. Kwa hivyo, kupitia hatua moja iliyo nje ya duara, tangents mbili zinaweza kuchora, wakati sehemu zao zitakuwa sawa. Kuna nadharia nyingine juu ya mada hii, lakini haipatikani sana katika mfumo wa kozi ya kawaida ya shule, ingawa ni rahisi sana kwa kutatua matatizo fulani. Inasikika hivi. Kutoka kwa sehemu moja iko nje ya duara, tangent na secant hutolewa kwake. Sehemu za AB, AC na AD zinaundwa. A ni makutano ya mistari, B ni mahali pa kuwasiliana, C na D ni makutano. Katika kesi hii, usawa ufuatao utakuwa halali: urefu wa tangent kwa duara, mraba, itakuwa sawa na bidhaa ya sehemu za AC na AD.
Kutoka hapo juu kuna matokeo muhimu. Kwa kila hatua ya mduara, unaweza kujenga tangent, lakini moja tu. Uthibitisho wa hii ni rahisi sana: kinadharia kuacha perpendicular kutoka kwa radius ndani yake, tunagundua kuwapembetatu haiwezi kuwepo. Na hii ina maana kwamba tangent ndiyo pekee.
Jengo
Kati ya matatizo mengine katika jiometri, kuna kategoria maalum, kama sheria, si
inapendwa na wanafunzi na wanafunzi. Ili kutatua kazi kutoka kwa kitengo hiki, unahitaji tu dira na mtawala. Hizi ni kazi za ujenzi. Pia kuna mbinu za kuunda tangent.
Kwa hivyo, ukipewa mduara na ncha iliyo nje ya mipaka yake. Na ni muhimu kuteka tangent kupitia kwao. Jinsi ya kufanya hivyo? Kwanza kabisa, unahitaji kuteka sehemu kati ya katikati ya duara O na hatua fulani. Kisha, kwa kutumia dira, ugawanye kwa nusu. Ili kufanya hivyo, unahitaji kuweka radius - kidogo zaidi ya nusu ya umbali kati ya katikati ya mzunguko wa awali na hatua iliyotolewa. Baada ya hayo, unahitaji kujenga arcs mbili za kuingiliana. Zaidi ya hayo, radius ya dira haina haja ya kubadilishwa, na katikati ya kila sehemu ya mduara itakuwa hatua ya awali na O, kwa mtiririko huo. Makutano ya arcs lazima yameunganishwa, ambayo itagawanya sehemu kwa nusu. Weka radius kwenye dira sawa na umbali huu. Ifuatayo, na kituo kwenye sehemu ya makutano, chora mduara mwingine. Pointi ya mwanzo na O zitalala juu yake. Katika kesi hii, kutakuwa na makutano mawili zaidi na mduara uliotolewa kwenye shida. Zitakuwa sehemu za kugusa kwa sehemu uliyopewa mwanzoni.
Inapendeza
Ilikuwa ni ujenzi wa tanjiti kwenye mduara uliopelekea kuzaliwa kwa
kokotoo tofauti. Kazi ya kwanza juu ya mada hii ilikuwailiyochapishwa na mwanahisabati maarufu wa Ujerumani Leibniz. Alitoa uwezekano wa kupata maxima, minima na tangents, bila kujali maadili ya sehemu na isiyo na maana. Naam, sasa inatumika kwa mahesabu mengine mengi pia.
Kando na hilo, tanjenti kwa duara inahusiana na maana ya kijiometri ya tanjenti. Hapo ndipo jina lake linatoka. Ilitafsiriwa kutoka Kilatini, tangens inamaanisha "tangent". Kwa hivyo, dhana hii imeunganishwa sio tu na jiometri na calculus tofauti, lakini pia na trigonometry.
Miduara miwili
Si mara zote tanjenti huathiri umbo moja pekee. Ikiwa idadi kubwa ya mistari ya moja kwa moja inaweza kuchorwa kwenye mduara mmoja, basi kwa nini si kinyume chake? Unaweza. Lakini kazi katika kesi hii ni ngumu sana, kwa sababu tangent kwa miduara miwili inaweza kupita kwa pointi yoyote, na nafasi ya jamaa ya takwimu hizi zote inaweza kuwa sana
tofauti.
Aina na aina
Inapokuja kwa miduara miwili na mstari mmoja au zaidi, hata ikiwa inajulikana kuwa hizi ni tanjiti, haifahamiki mara moja jinsi takwimu hizi zote ziko katika uhusiano na kila mmoja. Kulingana na hili, kuna aina kadhaa. Kwa hivyo, miduara inaweza kuwa na pointi moja au mbili za kawaida au kutokuwa nazo kabisa. Katika kesi ya kwanza, wataingiliana, na kwa pili, watagusa. Na hapa kuna aina mbili. Ikiwa mduara mmoja, kama ilivyokuwa, umeingizwa kwa pili, basi kugusa kunaitwa ndani, ikiwa sio, basi nje. kuelewanaeneo la takwimu linawezekana sio tu kwa kuzingatia kuchora, lakini pia kuwa na habari kuhusu jumla ya radii zao na umbali kati ya vituo vyao. Ikiwa idadi hizi mbili ni sawa, basi miduara inagusa. Ikiwa ya kwanza ni kubwa, huingiliana, na ikiwa ni ndogo, basi hawana pointi za kawaida.
Sawa na mistari iliyonyooka. Kwa miduara miwili yoyote ambayo haina pointi za kawaida, unaweza
unda tanji nne. Wawili kati yao wataingilia kati ya takwimu, wanaitwa ndani. Wengine kadhaa ni wa nje.
Ikiwa tunazungumza kuhusu miduara ambayo ina nukta moja ya kawaida, basi kazi hurahisishwa sana. Ukweli ni kwamba kwa mpangilio wowote wa pamoja katika kesi hii, watakuwa na tangent moja tu. Na itapita kwenye sehemu ya makutano yao. Kwa hivyo ujenzi wa ugumu hautasababisha.
Ikiwa takwimu zina sehemu mbili za makutano, basi mstari wa moja kwa moja unaweza kujengwa kwa ajili yao, tangent kwa mduara, moja na ya pili, lakini moja tu ya nje. Suluhisho la tatizo hili ni sawa na litakalojadiliwa hapa chini.
Utatuzi wa matatizo
Tengenti za ndani na nje kwa miduara miwili si rahisi sana kuunda, ingawa tatizo hili linaweza kutatuliwa. Ukweli ni kwamba takwimu msaidizi hutumiwa kwa hili, kwa hivyo fikiria njia hii mwenyewe
tatizo kabisa. Kwa hiyo, kutokana na miduara miwili yenye radii tofauti na vituo vya O1 na O2. Kwao, unahitaji kuunda jozi mbili za tangenti.
Kwanza kabisa, karibu na katikati ya kubwa zaidimiduara inahitaji kujengwa msaidizi. Katika kesi hii, tofauti kati ya radii ya takwimu mbili za awali lazima ianzishwe kwenye dira. Tangenti kwa mduara msaidizi hujengwa kutoka katikati ya duara ndogo. Baada ya hayo, kutoka kwa O1 na O2, perpendiculars hutolewa kwa mistari hii mpaka kuingiliana na takwimu za awali. Kama ifuatavyo kutoka kwa mali kuu ya tangent, vidokezo vinavyohitajika kwenye miduara yote miwili hupatikana. Tatizo limetatuliwa, angalau sehemu yake ya kwanza.
Ili kuunda tanjiti za ndani, itabidi utatue kivitendo
jukumu sawa. Tena, takwimu ya msaidizi inahitajika, lakini wakati huu radius yake itakuwa sawa na jumla ya zile za asili. Tangenti hujengwa kwake kutoka katikati ya moja ya duru zilizopewa. Njia zaidi ya suluhisho inaweza kueleweka kutoka kwa mfano uliopita.
Kuweka mduara au hata miwili au zaidi sio kazi ngumu sana. Bila shaka, wataalamu wa hisabati wameacha kwa muda mrefu kutatua matatizo hayo kwa mikono na kuamini mahesabu kwa programu maalum. Lakini usifikiri kwamba sasa si lazima kuwa na uwezo wa kufanya hivyo mwenyewe, kwa sababu ili kuunda kwa usahihi kazi kwa kompyuta, unahitaji kufanya na kuelewa mengi. Kwa bahati mbaya, kuna hofu kwamba baada ya mpito wa mwisho kwa aina ya mtihani wa udhibiti wa maarifa, kazi za ujenzi zitasababisha ugumu zaidi na zaidi kwa wanafunzi.
Kuhusu kutafuta tanjiti za kawaida kwa miduara zaidi, haiwezekani kila wakati, hata kama ziko kwenye ndege moja. Lakini katika hali zingine unaweza kupata mstari ulionyooka.
Mifano ya maisha
Tanjenti ya kawaida kwa miduara miwili mara nyingi hupatikana kwa vitendo, ingawa haionekani kila wakati. Conveyors, mifumo ya kuzuia, mikanda ya maambukizi ya pulley, mvutano wa thread katika mashine ya kushona, na hata mlolongo wa baiskeli tu - yote haya ni mifano kutoka kwa maisha. Kwa hivyo usifikiri kwamba matatizo ya kijiometri yanabaki katika nadharia tu: katika uhandisi, fizikia, ujenzi na maeneo mengine mengi, hupata matumizi ya vitendo.
