Nadhani tunapaswa kuanza na historia ya zana adhimu ya hisabati kama milinganyo tofauti. Kama hesabu zote tofauti na muhimu, milinganyo hii ilivumbuliwa na Newton mwishoni mwa karne ya 17. Alizingatia ugunduzi huu wake muhimu sana hata akaandika ujumbe, ambao leo unaweza kutafsiriwa kitu kama hiki: "Sheria zote za asili zinaelezewa na hesabu tofauti." Hii inaweza kuonekana kama kutia chumvi, lakini ni kweli. Sheria yoyote ya fizikia, kemia, baiolojia inaweza kuelezewa na milinganyo hii.
Wataalamu wa Hisabati Euler na Lagrange walitoa mchango mkubwa katika ukuzaji na uundaji wa nadharia ya milinganyo tofauti. Tayari katika karne ya 18, waligundua na kuendeleza kile wanachosoma sasa katika kozi kuu za vyuo vikuu.
Hatua mpya katika utafiti wa milinganyo tofauti ilianza kutokana na Henri Poincare. Aliunda "nadharia ya ubora wa equations tofauti", ambayo, pamoja na nadharia ya kazi ya kutofautiana tata, ilitoa mchango mkubwa kwa msingi wa topolojia - sayansi ya nafasi na yake.mali.
Milinganyo tofauti ni nini?
Watu wengi wanaogopa neno moja "differential equation". Walakini, katika nakala hii tutaelezea kwa undani kiini kizima cha kifaa hiki muhimu cha hesabu, ambacho kwa kweli sio ngumu kama inavyoonekana kutoka kwa jina. Ili kuanza kuzungumza juu ya milinganyo ya mpangilio wa kwanza, unapaswa kwanza kufahamiana na dhana za kimsingi ambazo zinahusiana kwa asili na ufafanuzi huu. Na tutaanza na utofautishaji.
Tofauti
Wengi wanajua dhana hii wakiwa shuleni. Hata hivyo, hebu tuangalie kwa karibu zaidi. Hebu wazia grafu ya chaguo za kukokotoa. Tunaweza kuiongeza kwa kiasi kwamba sehemu yoyote ya sehemu zake zitachukua fomu ya mstari wa moja kwa moja. Juu yake tunachukua pointi mbili ambazo ziko karibu sana kwa kila mmoja. Tofauti kati ya viwianishi vyao (x au y) itakuwa thamani isiyo na kikomo. Inaitwa tofauti na inaonyeshwa na ishara dy (tofauti na y) na dx (tofauti na x). Ni muhimu sana kuelewa kwamba tofauti si thamani ya kikomo, na hii ndiyo maana yake na kazi kuu.
Na sasa tunahitaji kuzingatia kipengele kinachofuata, ambacho kitakuwa na manufaa kwetu katika kuelezea dhana ya mlingano wa tofauti. Hii ni derivative.
Derivative
Huenda sote tulisikia shuleni na dhana hii. Nyingine inasemekana kuwa kasi ya ukuaji au kupungua kwa chaguo la kukokotoa. Walakini, kutoka kwa ufafanuzi huumengi huwa hayaeleweki. Wacha tujaribu kuelezea derivative kwa suala la tofauti. Wacha turudi kwenye sehemu isiyo na kikomo ya chaguo za kukokotoa iliyo na alama mbili ambazo ziko umbali wa chini kutoka kwa kila mmoja. Lakini hata kwa umbali huu, kazi itaweza kubadilika kwa kiasi fulani. Na ili kuelezea mabadiliko haya, walikuja na derivative, ambayo inaweza kuandikwa vinginevyo kama uwiano wa tofauti: f(x)'=df/dx.
Sasa inafaa kuzingatia sifa za kimsingi za kiingilio. Kuna tatu tu kati yao:
- Nyeto ya jumla au tofauti inaweza kuwakilishwa kama jumla au tofauti ya viingilio: (a+b)'=a'+b' na (a-b)'=a'-b'.
- Sifa ya pili inahusiana na kuzidisha. Kinyume cha bidhaa ni jumla ya bidhaa za kitendakazi kimoja na kinyago cha nyingine: (ab)'=a'b+ab'.
- Nyego ya tofauti inaweza kuandikwa kama usawa ufuatao: (a/b)'=(a'b-ab')/b2.
Sifa hizi zote zitakuwa muhimu kwa kutafuta suluhu za milinganyo ya mpangilio wa kwanza.
Pia kuna baadhi ya baadhi ya sehemu. Wacha tuseme tunayo chaguo la kukokotoa z ambalo linategemea vigeuzo x na y. Ili kukokotoa derivati ya sehemu ya chaguo hili la kukokotoa, tuseme, kuhusiana na x, tunahitaji kuchukua kibadilishi y kama kitofautisho thabiti na kwa urahisi.
Muhimu
Dhana nyingine muhimu ni muhimu. Kwa kweli, hii ni kinyume cha moja kwa moja cha derivative. Kuna aina kadhaa za viambatanisho, lakini ili kutatua milinganyo rahisi zaidi ya utofautishaji, tunahitaji viambatanisho visivyo na kikomo zaidi.
Kwa hivyo kiungo muhimu ni nini? Wacha tuseme tuna utegemezi fkutoka kwa x. Tunachukua muhimu kutoka kwayo na kupata kazi F (x) (mara nyingi huitwa antiderivative), derivative ambayo ni sawa na kazi ya awali. Kwa hivyo F(x)'=f(x). Pia inafuata kutokana na hili kwamba kiunganishi cha derivati ni sawa na chaguo la kukokotoa asilia.
Wakati wa kusuluhisha milinganyo tofauti, ni muhimu sana kuelewa maana na kazi ya kiunganishi, kwani itabidi uzichukue mara nyingi sana ili kupata suluhu.
Milingano ni tofauti kulingana na asili yao. Katika sehemu inayofuata, tutazingatia aina za milinganyo ya mpangilio wa kwanza, na kisha kujifunza jinsi ya kuzitatua.
Aina za milinganyo tofauti
"Diffury" imegawanywa kulingana na mpangilio wa derivatives inayohusika nayo. Kwa hiyo, kuna utaratibu wa kwanza, wa pili, wa tatu na zaidi. Pia zinaweza kugawanywa katika madarasa kadhaa: derivatives ya kawaida na sehemu.
Katika makala haya tutazingatia milinganyo ya kawaida ya mpangilio wa kwanza. Pia tutajadili mifano na njia za kuyatatua katika sehemu zifuatazo. Tutazingatia ODE pekee, kwa sababu hizi ni aina za kawaida za milinganyo. Kawaida imegawanywa katika aina ndogo: na vigezo vinavyoweza kutenganishwa, homogeneous na heterogeneous. Kisha, utajifunza jinsi zinavyotofautiana, na ujifunze jinsi ya kuzitatua.
Kwa kuongeza, milinganyo hii inaweza kuunganishwa, ili baada ya kupata mfumo wa milinganyo tofauti ya mpangilio wa kwanza. Pia tutazingatia mifumo kama hii na kujifunza jinsi ya kuisuluhisha.
Kwa nini tunazingatia agizo la kwanza pekee? Kwa sababu unahitaji kuanza na rahisi, na ueleze kila kitu kinachohusiana na tofautimilinganyo, katika makala moja haiwezekani.
Milingano tofauti zinazoweza kutenganishwa
Hizi labda ndizo milinganyo rahisi zaidi ya mpangilio wa kwanza. Hii ni pamoja na mifano inayoweza kuandikwa hivi: y'=f(x)f(y). Ili kutatua mlingano huu, tunahitaji fomula ya kuwakilisha kiingilio kama uwiano wa tofauti: y'=dy/dx. Kuitumia, tunapata equation ifuatayo: dy/dx=f(x)f(y). Sasa tunaweza kurejea kwa njia ya kutatua mifano ya kawaida: tutagawanya vigezo katika sehemu, i.e. tutahamisha kila kitu na y kutofautisha hadi sehemu ambayo dy iko, na tutafanya vivyo hivyo na kutofautisha kwa x. Tunapata mlinganyo wa fomu: dy/f(y)=f(x)dx, ambayo hutatuliwa kwa kuchukua viambatanisho vya sehemu zote mbili. Usisahau kuhusu thabiti ambayo lazima iwekwe baada ya kuchukua kiungo.
Suluhisho la "tofauti" lolote ni kitendakazi cha utegemezi wa x kwa y (kwa upande wetu) au, ikiwa kuna hali ya nambari, basi jibu liko katika mfumo wa nambari. Wacha tuchambue njia nzima ya suluhisho kwa kutumia mfano maalum:
y'=2ydhambi(x)
Sogeza vigeu katika pande tofauti:
dy/y=2dhambi(x)dx
Sasa tunachukua viungo muhimu. Zote zinaweza kupatikana katika meza maalum ya viungo. Na tunapata:
ln(y)=-2cos(x) + C
Ikihitajika, tunaweza kueleza "y" kama chaguo la kukokotoa la "x". Sasa tunaweza kusema kwamba equation yetu ya kutofautisha inatatuliwa ikiwa hakuna hali iliyotolewa. Sharti linaweza kutolewa, kwa mfano, y(n/2)=e. Kisha tunabadilisha tu thamani ya vigezo hivi kwenye suluhisho nakupata thamani ya mara kwa mara. Katika mfano wetu, ni sawa na 1.
Agizo la kwanza la milinganyo tofauti ya homogeneous
Sasa endelea kwa sehemu ngumu zaidi. Milinganyo ya kutofautisha ya mpangilio wa kwanza inaweza kuandikwa kwa namna ya jumla kama ifuatavyo: y'=z(x, y). Ikumbukwe kwamba kazi sahihi ya vigezo viwili ni homogeneous, na haiwezi kugawanywa katika tegemezi mbili: z juu ya x na z juu ya y. Kuangalia kama mlinganyo ni sawa au la ni rahisi sana: tunabadilisha x=kx na y=ky. Sasa tunaghairi yote k. Ikiwa barua hizi zote zimepunguzwa, basi equation ni homogeneous na unaweza kuendelea kwa usalama kutatua. Kuangalia mbele, tuseme: kanuni ya kutatua mifano hii pia ni rahisi sana.
Tunahitaji kubadilisha: y=t(x)x, ambapo t ni chaguo la kukokotoa ambalo pia linategemea x. Kisha tunaweza kueleza derivative: y'=t'(x)x+t. Kubadilisha haya yote kwenye mlinganyo wetu wa asili na kuirahisisha, tunapata mfano wenye viambishi vinavyoweza kutenganishwa t na x. Tunatatua na kupata utegemezi t(x). Tulipoipata, tunabadilisha y=t(x)x kwa uingizwaji wetu wa awali. Kisha tunapata utegemezi wa y kwa x.
Ili kuifanya iwe wazi zaidi, hebu tuangalie mfano: xy'=y-xey/x.
Unapoangalia na uwekaji, kila kitu hupunguzwa. Hivyo equation ni kweli homogeneous. Sasa tunafanya kibadala kingine ambacho tulizungumzia: y=t(x)x na y'=t'(x)x+t(x). Baada ya kurahisisha, tunapata mlinganyo ufuatao: t'(x)x=-et. Tunatatua mfano unaotokana na vigezo vilivyotenganishwa na kupata: e-t=ln(Cx). Tunahitaji tu kubadilisha t na y/x (baada ya yote, ikiwa y=tx, basi t=y/x), na tunapatajibu: e-y/x=ln(xC).
Agizo la Kwanza Milinganyo ya Tofauti ya Linear
Ni wakati wa mada nyingine kubwa. Tutachambua milinganyo isiyo ya kawaida ya mpangilio wa kwanza. Je, ni tofauti gani na mbili zilizopita? Hebu tufikirie. Milinganyo ya tofauti ya mstari ya mpangilio wa kwanza katika umbo la jumla inaweza kuandikwa kama ifuatavyo: y' + g(x)y=z(x). Inafaa kufafanua kuwa z(x) na g(x) zinaweza kuwa za kudumu.
Na sasa mfano: y' - yx=x2.
Kuna njia mbili za kulitatua, na tutashughulikia zote mbili kwa mpangilio. Ya kwanza ni mbinu ya utofautishaji wa viunga kiholela.
Ili kutatua mlinganyo kwa njia hii, lazima kwanza usawazishe upande wa kulia hadi sifuri na utatue mlinganyo unaotokana, ambao baada ya kusonga sehemu zitachukua fomu:
y'=yx;
dy/dx=yx;
dy/y=xdx;
ln|y|=x2/2 + C;
y=ex2/2yC=C1e x2/2.
Sasa tunahitaji kubadilisha C1 na chaguo za kukokotoa v(x) ambazo tunapaswa kupata.
y=vex2/2.
Hebu tubadilishe derivative:
y'=v'ex2/2-xvex2/2.
Na ubadilishe usemi huu kwenye mlingano asilia:
v'ex2/2 - xvex2/2 + xvex2 /2 =x2.
Unaweza kuona kuwa maneno mawili yameghairiwa katika upande wa kushoto. Ikiwa kwa mfano fulani hii haikutokea, basi ulifanya kitu kibaya. Endelea:
v'ex2/2 =x2.
Sasa tunatatua mlingano wa kawaida ambapo tunahitaji kutenganisha viambajengo:
dv/dx=x2/ex2/2;
dv=x2e-x2/2dx.
Ili kutoa muunganisho, tunapaswa kutumia ujumuishaji kwa sehemu hapa. Walakini, hii sio mada ya nakala yetu. Ikiwa una nia, unaweza kujifunza jinsi ya kufanya vitendo vile mwenyewe. Sio ngumu, na kwa ustadi na umakini wa kutosha hauchukui muda mwingi.
Hebu tugeukie mbinu ya pili ya kutatua milinganyo isiyo ya kawaida: mbinu ya Bernoulli. Ni njia gani iliyo haraka na rahisi zaidi kwako.
Kwa hivyo, tunaposuluhisha mlinganyo kwa mbinu hii, tunahitaji kubadilisha: y=kn. Hapa k na n ni baadhi ya vipengele tegemezi vya x. Kisha derivative itaonekana kama hii: y'=k'n+kn'. Badilisha vibadala vyote viwili kwenye mlinganyo:
k'n+kn'+xkn=x2.
Kundi:
k'n+k(n'+xn)=x2.
Sasa tunahitaji kulinganisha na sufuri kile kilicho kwenye mabano. Sasa, ukichanganya milinganyo miwili inayotokana, unapata mfumo wa milinganyo ya mpangilio wa kwanza ambayo unahitaji kutatua:
n'+xn=0;
k'n=x2.
Sawa ya kwanza inatatuliwa kama mlingano wa kawaida. Ili kufanya hivyo, unahitaji kutenganisha vigezo:
dn/dx=xv;
dn/n=xdx.
Chukua kiungo muhimu na upate: ln(n)=x2/2. Kisha, ikiwa tutaeleza n:
n=ex2/2.
Sasa tunabadilisha usawa unaotokana na mlingano wa pili wa mfumo:
k'ex2/2=x2.
Na kubadilisha, tunapata usawa sawa na katika mbinu ya kwanza:
dk=x2/ex2/2.
Hatutaingia katika hatua zaidi pia. Inafaa kusema kuwa mwanzoni suluhisho la hesabu za mpangilio wa kwanza husababisha shida kubwa. Hata hivyo, unapoingia ndani zaidi katika mada, inaanza kuwa bora zaidi.
Milinganyo tofauti inatumika wapi?
Milinganyo tofauti hutumika sana katika fizikia, kwa kuwa takriban sheria zote za kimsingi zimeandikwa kwa namna tofauti, na kanuni tunazoziona ndizo suluhu la milinganyo hii. Katika kemia, hutumiwa kwa sababu sawa: sheria za msingi zinatokana nao. Katika biolojia, milinganyo tofauti hutumiwa kuiga tabia ya mifumo, kama vile wanyama wanaowinda wanyama wengine. Zinaweza pia kutumiwa kuunda miundo ya uzazi ya, tuseme, kundi la vijidudu.
Milingano tofauti itasaidia vipi maishani?
Jibu la swali hili ni rahisi: hapana. Ikiwa wewe si mwanasayansi au mhandisi, basi haziwezekani kuwa na manufaa kwako. Walakini, kwa maendeleo ya jumla, hainaumiza kujua ni nini usawa wa kutofautisha na jinsi inavyotatuliwa. Na kisha swali la mwana au binti "ni equation tofauti gani?" haitakuchanganya. Naam, ikiwa wewe ni mwanasayansi au mhandisi, basi wewe mwenyewe unaelewa umuhimu wa mada hii katika sayansi yoyote. Lakini jambo muhimu zaidi ni kwamba sasa swali "jinsi ya kutatua equation ya tofauti ya utaratibu wa kwanza?" unaweza kujibu kila wakati. Kukubaliana, daima ni nzuriunapoelewa kile ambacho watu wanaogopa hata kuelewa.
Matatizo makuu ya kujifunza
Tatizo kuu katika kuelewa mada hii ni ujuzi duni wa kuunganisha na kutofautisha vipengele. Ikiwa wewe ni mbaya katika kuchukua derivatives na viungo, basi unapaswa kujifunza zaidi, bwana mbinu tofauti za ujumuishaji na utofautishaji, na kisha tu kuanza kusoma nyenzo zilizoelezewa katika kifungu.
Watu wengine hushangaa wanapogundua kuwa dx inaweza kuhamishwa, kwa sababu hapo awali (shuleni) ilielezwa kuwa sehemu dy/dx haiwezi kugawanyika. Hapa unahitaji kusoma fasihi juu ya derivative na kuelewa kuwa ni uwiano wa idadi isiyo na kikomo ambayo inaweza kubadilishwa wakati wa kusuluhisha milinganyo.
Wengi hawatambui mara moja kwamba suluhu la milinganyo ya mpangilio wa kwanza mara nyingi ni kazi au kiungo ambacho hakiwezi kuchukuliwa, na udanganyifu huu huwapa shida nyingi.
Ni nini kingine kinachoweza kusomwa kwa uelewa bora?
Ni vyema zaidi kuanza kuzamishwa zaidi katika ulimwengu wa calculus tofauti kwa kutumia vitabu maalum vya kiada, kwa mfano, katika calculus kwa wanafunzi wa taaluma zisizo za hisabati. Kisha unaweza kuendelea na fasihi maalum zaidi.
Inapaswa kusemwa kwamba, pamoja na milinganyo tofauti, pia kuna milinganyo muhimu, kwa hivyo kila wakati utakuwa na kitu cha kujitahidi na cha kusoma.
Hitimisho
Tunatumai hilo baada ya kusomaMakala haya yamekupa wazo la milinganyo tofauti ni nini na jinsi ya kuzitatua kwa usahihi.
Kwa vyovyote vile, hisabati kwa namna fulani itakuwa ya manufaa kwetu maishani. Hukuza mantiki na umakini, bila ambayo kila mtu anakuwa kama bila mikono.
