Mojawapo ya mada ngumu na isiyoeleweka zaidi ya hisabati ya chuo kikuu ni ujumuishaji na calculus tofauti. Unahitaji kujua na kuelewa dhana hizi, na pia kuweza kuzitumia. Taaluma nyingi za kiufundi za vyuo vikuu zimefungamanishwa na tofauti na viunganishi.
Maelezo mafupi kuhusu milinganyo
Milingano hii ni mojawapo ya dhana muhimu za hisabati katika mfumo wa elimu. Mlinganyo wa kutofautisha ni mlinganyo unaohusiana na vigeu vinavyojitegemea, chaguo za kukokotoa zitakazopatikana, na viambajengo vya chaguo za kukokotoa kwa vigeu vinavyodhaniwa kuwa huru. Calculus tofauti ya kutafuta kitendakazi cha kigezo kimoja inaitwa kawaida. Ikiwa kitendakazi unachotaka kinategemea vigeu kadhaa, basi kimoja kinazungumza kuhusu mlinganyo wa kutofautisha wa sehemu.
Kwa hakika, kupata jibu fulani kwa mlinganyo kunatokana na kuunganishwa, na mbinu ya suluhu hubainishwa na aina ya mlingano.
Milingano ya mpangilio wa kwanza
Mlingano wa tofauti wa mpangilio wa kwanza ni mlinganyo unaoweza kuelezea kigezo, chaguo la kukokotoa linalotakikana, na kinyambulisho chake cha kwanza. Milinganyo kama hii inaweza kutolewa kwa namna tatu: wazi, wazi, tofauti.
Dhana zinazohitajika kutatua
Hali ya awali - kuweka thamani ya chaguo za kukokotoa zinazotakikana kwa thamani fulani ya kigeuzi ambacho kinajitegemea.
Suluhisho la mlinganyo wa kutofautisha - chaguo lolote la kukokotoa linaloweza kutofautishwa, ambalo limebadilishwa haswa kuwa mlingano wa asili, huigeuza kuwa sawa sawa. Suluhisho lililopatikana, ambalo si wazi, ni kiungo cha mlinganyo.
Suluhisho la jumla la milinganyo tofauti ni chaguo za kukokotoa y=y(x;C), ambayo inaweza kukidhi hukumu zifuatazo:
- Kitendo cha kukokotoa kinaweza kuwa na kipengele kimoja tu kisichobadilika С.
- Kitendo cha kukokotoa kinachotokana lazima kiwe suluhu la mlinganyo kwa thamani zozote za kiholela za kibadilishaji kiholela.
- Kwa hali fulani ya awali, kibadilishaji kiholela kinaweza kubainishwa kwa njia ya kipekee ili suluhu mahususi litakalotokana lilingane na hali ya awali iliyotolewa.
Kwa vitendo, tatizo la Cauchy hutumiwa mara nyingi - kutafuta suluhu mahususi na linaweza kulinganishwa na hali iliyowekwa mwanzoni.
Nadharia ya Cauchy ni nadharia inayosisitiza kuwepo na upekee wa suluhu fulani katika kalkulasi tofauti.
hisia ya kijiometri:
- Suluhisho la jumla y=y(x;C)equation ni jumla ya idadi ya mikondo muhimu.
- Kokotoo tofauti hukuruhusu kuunganisha viwianishi vya ncha katika ndege ya XOY na tanjiti inayochorwa kwenye mkunjo muhimu.
- Kuweka sharti la awali kunamaanisha kuweka mahali kwenye ndege.
- Ili kutatua tatizo la Cauchy inamaanisha kuwa kutoka kwa seti nzima ya mikondo muhimu inayowakilisha suluhu sawa la mlinganyo, ni muhimu kuchagua moja tu inayopita kwenye sehemu inayowezekana tu.
- Utimilifu wa masharti ya nadharia ya Cauchy katika hatua fulani ina maana kwamba mkunjo muhimu (zaidi ya hayo, moja tu) lazima hupitia sehemu iliyochaguliwa kwenye ndege.
Mlingano tofauti unaoweza kutenganishwa
Kwa ufafanuzi, mlinganyo tofauti ni mlinganyo ambapo upande wake wa kulia unaeleza au unaakisiwa kama bidhaa (wakati fulani uwiano) wa vitendaji viwili, moja ikitegemea tu "x", na nyingine - kwa "y" pekee. ". Mfano wazi wa aina hii: y'=f1(x)f2(y).
Ili kutatua milinganyo ya fomu mahususi, lazima kwanza ubadilishe derivative y'=dy/dx. Kisha, kwa kuendesha equation, unahitaji kuleta kwa fomu ambapo unaweza kuunganisha sehemu mbili za equation. Baada ya mabadiliko yanayohitajika, tunaunganisha sehemu zote mbili na kurahisisha matokeo.
Milingano sawa
Kwa ufafanuzi, mlinganyo tofauti unaweza kuitwa kuwa sawa ikiwa una fomu ifuatayo: y'=g(y/x).
Katika hali hii, kibadala y/x=hutumiwa mara nyingi zaidit(x).
Ili kutatua milinganyo kama hii, ni muhimu kupunguza mlingano wa homogeneous hadi fomu yenye viambajengo vinavyoweza kutenganishwa. Ili kufanya hivyo, lazima ufanye shughuli zifuatazo:
- Onyesha, ikionyesha kitokeo cha chaguo la kukokotoa asili, kutoka kwa chaguo la kukokotoa asilia kama mlingano mpya.
- Hatua inayofuata ni kubadilisha chaguo la kukokotoa linalotokana na kuwa f(x;y)=g(y/x). Kwa maneno rahisi, fanya mlinganyo kuwa na uwiano y/x na viunga pekee.
- Fanya mbadala ufuatao: y/x=t(x); y=t(x)x; y'=t'x + t. Ubadilishaji utakaofanywa utasaidia kugawanya viambajengo katika mlinganyo, hatua kwa hatua kukileta katika umbo rahisi zaidi.
Milingano ya mstari
Ufafanuzi wa milinganyo kama hii ni kama ifuatavyo: mlinganyo wa tofauti wa mstari ni mlinganyo ambapo upande wake wa kulia unaonyeshwa kama usemi wa mstari kuhusiana na chaguo la kukokotoa asilia. Chaguo za kukokotoa zinazohitajika katika kesi hii: y'=a(x)y + b(x).
Hebu tufafanue upya ufafanuzi kama ifuatavyo: mlingano wowote wa mpangilio wa 1 utakuwa wa mstari katika umbo lake ikiwa chaguo za kukokotoa asilia na kinyambulisho chake zitajumuishwa katika mlingano wa shahada ya kwanza na hazitazidishwa kwa kila moja. "Umbo la kitamaduni" la mlingano wa tofauti za mstari una muundo ufuatao: y' + P(x)y=Q(x).
Kabla ya kusuluhisha mlingano kama huo, unapaswa kubadilishwa kuwa "umbo la kitamaduni". Hatua inayofuata itakuwa chaguo la njia ya suluhisho: mbinu ya Bernoulli au njia ya Lagrange.
Kutatua mlingano kwakwa kutumia mbinu iliyoletwa na Bernoulli, inamaanisha ubadilishaji na upunguzaji wa mlinganyo wa tofauti za mstari hadi milinganyo miwili yenye viambatisho tofauti vinavyohusiana na chaguo za kukokotoa U(x) na V(x), ambazo zilitolewa katika umbo lao asili.
Mbinu ya Lagrange ni kutafuta suluhu la jumla la mlingano asilia.
- Ni muhimu kupata suluhu sawa la mlingano wa homogeneous. Baada ya kutafuta, tuna chaguo za kukokotoa y=y(x, C), ambapo C ni hali isiyobadilika kiholela.
- Tunatafuta suluhu la mlingano asilia katika muundo sawa, lakini tunazingatia C=C(x). Tunabadilisha chaguo za chaguo za kukokotoa y=y(x, C(x)) hadi mlinganyo asilia, tutafute chaguo za kukokotoa C(x) na tuandike suluhu la mlinganyo asilia wa jumla.
Mlinganyo wa Bernoulli
Mlinganyo wa Bernoulli - ikiwa upande wa kulia wa calculus utachukua fomu f(x;y)=a(x)y + b(x)yk, ambapo k ni thamani yoyote ya kimantiki inayowezekana, bila kuchukuliwa kama nambari. kesi za mfano wakati k=0 na k=1.
Kama k=1, basi calculus inakuwa inaweza kutenganishwa, na wakati k=0, mlinganyo unasalia kuwa mstari.
Hebu tuzingatie kisa cha jumla cha kutatua aina hii ya mlinganyo. Tunayo mlingano wa kawaida wa Bernoulli. Lazima ipunguzwe kwa mstari, kwa hili unahitaji kugawanya equation na yk. Baada ya operesheni hii, badilisha z(x)=y1-k. Baada ya msururu wa mabadiliko, mlinganyo utapunguzwa hadi mstari, mara nyingi kwa njia ya kubadilisha z=UV.
Milinganyo katika tofauti za jumla
Ufafanuzi. Mlinganyo wenye muundo P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0 unaitwa mlinganyo kamili.tofauti, ikiwa hali ifuatayo inatimizwa (katika hali hii, "d" ni tofauti kidogo): dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx.
Milingano zote tofauti za mpangilio wa kwanza zilizozingatiwa hapo awali zinaweza kuonyeshwa kama tofauti.
Hesabu kama hizi hutatuliwa kwa njia kadhaa. Lakini, hata hivyo, wote huanza na ukaguzi wa hali. Hali ikiridhika, basi eneo la kushoto kabisa la mlinganyo ni tofauti kamili ya chaguo za kukokotoa U(x;y) ambazo bado hazijulikani. Kisha, kwa mujibu wa equation, dU (x; y) itakuwa sawa na sifuri, na kwa hiyo kiungo sawa cha equation katika tofauti za jumla zitaonyeshwa kwa fomu U (x; y) u003d C. Kwa hiyo, suluhisho la mlinganyo limepunguzwa hadi kupata chaguo za kukokotoa U (x; y).
Kipengele cha kuunganisha
Ikiwa sharti dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx halijaridhishwa katika mlinganyo, basi mlinganyo huo hauna umbo ambalo tulizingatia hapo juu. Lakini wakati mwingine inawezekana kuchagua chaguo za kukokotoa M(x;y), ikizidishwa ambayo equation huchukua umbo la mlinganyo kwa "diffurs" kamili. Chaguo za kukokotoa M (x;y) hurejelewa kama kipengele cha kuunganisha.
Kiunganishi kinaweza kupatikana tu kinapokuwa kitendakazi cha kigeu kimoja pekee.
