Mada "maendeleo ya hesabu" husomwa katika kozi ya jumla ya aljebra katika shule za daraja la 9. Mada hii ni muhimu kwa utafiti wa kina zaidi wa hisabati ya mfululizo wa nambari. Katika makala haya, tutafahamiana na maendeleo ya hesabu, tofauti zake, na pia kazi za kawaida ambazo watoto wa shule wanaweza kukabiliana nazo.
Dhana ya ukuaji wa aljebra
Kuendelea kwa nambari ni mlolongo wa nambari ambapo kila kipengele kinachofuata kinaweza kupatikana kutoka kwa kilichotangulia, ikiwa sheria fulani ya hisabati itatumika. Kuna aina mbili rahisi za maendeleo: kijiometri na hesabu, ambayo pia huitwa algebraic. Wacha tukae juu yake kwa undani zaidi.
Hebu tuwazie nambari fulani ya kimantiki, ionyeshe kwa ishara a1, ambapo faharasa huonyesha nambari yake ya kawaida katika mfululizo unaozingatiwa. Hebu tuongeze nambari nyingine kwa1 , hebu tuiashiria d. Kisha ya pilikipengele cha mfululizo kinaweza kuakisiwa kama ifuatavyo: a2=a1+d. Sasa ongeza d tena, tunapata: a3=a2+d. Ukiendelea na operesheni hii ya hisabati, unaweza kupata mfululizo mzima wa nambari, ambao utaitwa kuendelea kwa hesabu.
Kama inavyoweza kueleweka kutoka hapo juu, ili kupata kipengele cha n-th cha mfuatano huu, lazima utumie fomula: a =a1+ (n -1)d. Hakika, tukibadilisha n=1 kwenye usemi, tunapata 1=a1, ikiwa n=2, basi fomula ina maana: a2=a1 + 1d, na kadhalika.
Kwa mfano, ikiwa tofauti ya mwendelezo wa hesabu ni 5, na a1=1, basi hii ina maana kwamba mfululizo wa nambari za aina inayohusika inaonekana kama: 1, 6, 11, 16, 21, … Kama unavyoona, kila masharti yake ni makubwa kuliko ya awali kwa 5.
Mfumo wa tofauti ya maendeleo ya hesabu
Kutoka kwa ufafanuzi hapo juu wa safu inayozingatiwa ya nambari, inafuata kwamba ili kuibainisha, unahitaji kujua nambari mbili: a1 na d. Mwisho unaitwa tofauti ya maendeleo haya. Huamua kipekee tabia ya mfululizo mzima. Hakika, ikiwa d ni chanya, basi mfululizo wa nambari utaongezeka mara kwa mara, kinyume chake, katika kesi ya hasi d, nambari katika mfululizo zitaongeza tu modulo, wakati thamani yao kamili itapungua kwa kuongezeka kwa nambari n.
Ni tofauti gani ya maendeleo ya hesabu? Zingatia fomula kuu mbili zinazotumika kukokotoa thamani hii:
- d=an+1-a , fomula hii inafuata moja kwa moja kutoka kwa ufafanuzi wa mfululizo wa nambari unaohusika.
- d=(-a1+a)/(n-1), usemi huu unapatikana kwa kueleza d kutoka kwa fomula iliyotolewa. katika aya iliyotangulia ya kifungu hicho. Kumbuka kuwa usemi huu unakuwa usio na kipimo (0/0) ikiwa n=1. Hii ni kutokana na ukweli kwamba ni muhimu kujua angalau vipengele 2 vya mfululizo ili kuamua tofauti yake.
Fomula hizi mbili za kimsingi hutumika kutatua tatizo lolote la kupata tofauti ya uendelezaji. Hata hivyo, kuna fomula nyingine ambayo pia unahitaji kujua kuihusu.
Jumla ya vipengele vya kwanza
Mchanganyiko unaoweza kutumika kubainisha jumla ya idadi yoyote ya wanachama wa maendeleo ya aljebra, kulingana na ushahidi wa kihistoria, ilipatikana kwa mara ya kwanza na "mkuu" wa hisabati wa karne ya 18, Carl Gauss. Mwanasayansi wa Ujerumani, akiwa bado mvulana katika darasa la msingi la shule ya kijiji, aligundua kuwa ili kuongeza nambari za asili katika safu kutoka 1 hadi 100, lazima kwanza ujumuishe kipengele cha kwanza na cha mwisho (thamani inayotokana itakuwa sawa. kwa jumla ya vipengele vya mwisho na vya pili, vya mwisho na vya tatu, na kadhalika), na kisha nambari hii inapaswa kuzidishwa na idadi ya kiasi hiki, yaani, na 50.
Mchanganyiko unaoakisi matokeo yaliyotajwa kwenye mfano mahususi unaweza kujumuishwa katika kesi isiyo ya kawaida. Itakuwa hivi: S =n/2(a +a1). Kumbuka kuwa ili kupata thamani maalum, ujuzi wa tofauti d hauhitajiki,ikiwa masharti mawili ya mwendelezo yanajulikana (a na1).
).
Mfano 1. Amua tofauti, ukijua masharti mawili ya safu a1 na
Hebu tuonyeshe jinsi ya kutumia kanuni zilizotajwa hapo juu kwenye makala. Hebu tutoe mfano rahisi: tofauti ya maendeleo ya hesabu haijulikani, ni muhimu kuamua itakuwa sawa na ikiwa 13=-5, 6 na1 =-12, 1.
Kwa kuwa tunajua thamani za vipengele viwili vya mfuatano wa nambari, na mojawapo ni nambari ya kwanza, tunaweza kutumia fomula Na. 2 ili kubainisha tofauti d. Tunayo: d=(-1(-12, 1)+(-5, 6))/12=0. 54167. Katika usemi huo, tulitumia thamani n=13, kwani mjumbe aliye na nambari hii ya mfululizo ni inajulikana.
Tofauti inayotokana inaonyesha kuwa maendeleo yanaongezeka, licha ya ukweli kwamba vipengele vilivyotolewa katika hali ya tatizo vina thamani hasi. Inaweza kuonekana kuwa 13>a1, ingawa |a13|<|a 1 |.
Mfano 2. Wanachama chanya wa mwendelezo katika mfano 1
Wacha tutumie tokeo lililopatikana katika mfano uliopita kutatua tatizo jipya. Imeundwa kama ifuatavyo: kutoka kwa nambari gani ya mfuatano ambapo vipengele vya mwendelezo katika mfano 1 huanza kuchukua maadili chanya?
Kama inavyoonyeshwa, mwendelezo ambapo a1=-12, 1 na d=0. 54167 inaongezeka, kwa hivyo kutoka nambari fulani nambari zitaanza kuchukua chanya pekee. maadili. Kuamua nambari hii n, mtu anapaswa kutatua usawa rahisi, ambao niimeandikwa kimahesabu kama ifuatavyo: a >0 au, kwa kutumia fomula ifaayo, tunaandika upya ukosefu wa usawa: a1 + (n-1)d>0. Inahitajika kupata isiyojulikana n, wacha tuielezee: n>-1a1/d + 1. Sasa inabakia kuchukua nafasi ya maadili yanayojulikana ya tofauti na mwanachama wa kwanza. ya mlolongo. Tunapata: n>-1(-12, 1) /0, 54167 + 1=23, 338 au n>23, 338. Kwa kuwa n inaweza kuchukua tu maadili kamili, inafuata kutokana na usawa unaotokana na kwamba wanachama wowote wa mfululizo kuwa na nambari kubwa kuliko 23 itakuwa chanya.
Angalia jibu lako kwa kutumia fomula iliyo hapo juu ili kukokotoa vipengele vya 23 na 24 vya mwendelezo huu wa hesabu. Tunayo: a23=-12, 1 + 220, 54167=-0, 18326 (nambari hasi); a24=-12, 1 + 230. 54167=0. 3584 (thamani chanya). Kwa hivyo, matokeo yaliyopatikana ni sahihi: kuanzia n=24, wanachama wote wa mfululizo wa nambari watakuwa wengi kuliko sifuri.
Mfano 3. Je, kumbukumbu ngapi zitatoshea?
Hebu tupe tatizo moja la ajabu: wakati wa ukataji miti, iliamuliwa kurundika mbao zilizokatwa juu ya nyingine kama inavyoonyeshwa kwenye mchoro ulio hapa chini. Je, ni kumbukumbu ngapi zinaweza kupangwa kwa njia hii, ukijua kuwa safu mlalo 10 zitatoshea kwa jumla?
Kwa njia hii ya kuweka kumbukumbu, unaweza kugundua jambo moja la kuvutia: kila safu mlalo inayofuata itakuwa na kumbukumbu moja ndogo kuliko ile ya awali, yaani, kuna mwendelezo wa aljebra, tofauti ambayo ni d=1. Kwa kudhani kuwa idadi ya magogo katika kila safu ni mwanachama wa mwendelezo huu,na pia ikizingatiwa kuwa a1=1 (logi moja tu itatoshea juu kabisa), tunapata nambari a10. Tunayo: a10=1 + 1(10-1)=10. Hiyo ni, katika safu ya 10, ambayo iko chini, kutakuwa na magogo 10.
Jumla ya kiasi cha ujenzi huu wa "piramidi" kinaweza kupatikana kwa kutumia fomula ya Gauss. Tunapata: S10=10/2(10+1)=kumbukumbu 55.
