Jiometri ni tawi la hisabati ambalo huchunguza miundo katika nafasi na uhusiano kati yake. Kwa upande wake, pia inajumuisha sehemu, na moja yao ni stereometry. Inatoa kwa ajili ya utafiti wa mali ya takwimu za volumetric ziko katika nafasi: mchemraba, piramidi, mpira, koni, silinda, nk
Koni ni chombo kilicho katika nafasi ya Euclidean ambacho hufunga uso wa koni na ndege ambayo ncha za jenereta zake zimelalia. Muundo wake hutokea katika mchakato wa kuzunguka kwa pembetatu yenye pembe ya kulia karibu na mguu wake wowote, kwa hiyo ni mali ya miili ya mapinduzi.
Vipengee vya koni
Aina zifuatazo za koni zinatofautishwa: oblique (au oblique) na iliyonyooka. Oblique ni yule ambaye mhimili wake unaingiliana na katikati ya msingi wake sio kwa pembe ya kulia. Kwa sababu hii, urefu katika koni kama hiyo hauendani na mhimili, kwani ni sehemu ambayo inashushwa kutoka juu ya mwili hadi ndege yake.msingi katika 90°.
Koni hiyo, ambayo mhimili wake ni sawa na msingi wake, inaitwa koni iliyonyooka. Mhimili na urefu katika mwili kama huo wa kijiometri vinapatana kwa sababu kipeo ndani yake kiko juu ya katikati ya kipenyo cha msingi.
Koni ina vipengele vifuatavyo:
- Mduara ambao ndio msingi wake.
- Upande.
- Eneo ambalo halijalala kwenye ndege ya msingi, inayoitwa sehemu ya juu ya koni.
- Sehemu zinazounganisha pointi za mduara wa msingi wa mwili wa kijiometri na sehemu yake ya juu.
Sehemu hizi zote ni jenereta za koni. Wao huelekea kwenye msingi wa mwili wa kijiometri, na katika kesi ya koni ya kulia makadirio yao ni sawa, kwani vertex ni equidistant kutoka kwa pointi za mzunguko wa msingi. Kwa hivyo, tunaweza kuhitimisha kwamba katika koni ya kawaida (moja kwa moja), jenereta ni sawa, yaani, zina urefu sawa na huunda pembe sawa na mhimili (au urefu) na msingi.
Kwa kuwa katika mwili wa oblique (au ulioelekezwa) wa mapinduzi vertex huhamishwa kulingana na kituo cha ndege ya msingi, jenereta kwenye mwili kama huo zina urefu na makadirio tofauti, kwani kila moja iko katika umbali tofauti. kutoka kwa pointi mbili za mzunguko wa msingi. Kwa kuongeza, pembe kati yao na urefu wa koni pia zitakuwa tofauti.
Urefu wa jenereta katika koni ya kulia
Kama ilivyoandikwa awali, urefu katika mwili ulionyooka wa kijiometri wa mapinduzi ni sawa na ndege ya besi. Kwa hivyo, jenereta, urefu na radius ya msingi huunda pembetatu ya kulia kwenye koni.
Hiyo ni, kujua eneo la msingi na urefu, kwa kutumia fomula kutoka kwa nadharia ya Pythagorean, unaweza kuhesabu urefu wa jenereta, ambayo itakuwa sawa na jumla ya miraba ya radius ya msingi na. urefu:
l2 =r2+ h2 au l=√r 2 + h2
ambapo l ni jenereta;
r - radius;
h – urefu.
Inayozalisha katika koni ya oblique
Kulingana na ukweli kwamba katika koni ya oblique au oblique jenereta hazina urefu sawa, haitawezekana kuzihesabu bila ujenzi na hesabu za ziada.
Kwanza kabisa, unahitaji kujua urefu, urefu wa mhimili na radius ya msingi.
Kwa kuwa na data hii, unaweza kukokotoa sehemu ya radius iliyo kati ya mhimili na urefu, kwa kutumia fomula kutoka kwa nadharia ya Pythagorean:
r1=√k2 - h2
ambapo r1 ni sehemu ya radius kati ya mhimili na urefu;
k - urefu wa ekseli;
h – urefu.
Kama matokeo ya kuongeza kipenyo (r) na sehemu yake iliyo kati ya mhimili na urefu (r1), unaweza kupata upande kamili wa kulia. pembetatu inayoundwa na jenereta ya koni, urefu wake na sehemu ya kipenyo:
R=r + r1
ambapo R ni mguu wa pembetatu unaoundwa na urefu, jenereta na sehemu ya kipenyo cha besi;
r - radius ya msingi;
r1 – sehemu ya kipenyo kati ya mhimili na urefu.
Kwa kutumia fomula sawa kutoka kwa nadharia ya Pythagorean, unaweza kupata urefu wa jenereta ya koni:
l=√h2+ R2
au, bila kukokotoa R kando, changanya fomula hizi mbili kuwa moja:
l=√h2 + (r + r1)2.
Licha ya ikiwa ni koni iliyonyooka au ya oblique na ni aina gani ya data ya ingizo, mbinu zote za kutafuta urefu wa jenereta daima hutegemea tokeo moja - matumizi ya nadharia ya Pythagorean.
Sehemu ya koni
Sehemu ya axial ya koni ni ndege inayopita kwenye mhimili au urefu wake. Katika koni ya kulia, sehemu hiyo ni pembetatu ya isosceles, ambayo urefu wa pembetatu ni urefu wa mwili, pande zake ni jenereta, na msingi ni kipenyo cha msingi. Katika mwili wa kijiometri wa usawa, sehemu ya axial ni pembetatu ya usawa, kwa kuwa katika koni hii kipenyo cha msingi na jenereta ni sawa.
Ndege ya sehemu ya axia katika koni iliyonyooka ndiyo ndege ya ulinganifu wake. Sababu ya hii ni kwamba juu yake iko juu ya katikati ya msingi wake, yaani, ndege ya sehemu ya axial inagawanya koni katika sehemu mbili zinazofanana.
Kwa kuwa urefu na mhimili hazilingani katika kingo iliyoinama, ndege ya sehemu ya axial inaweza isijumuishe urefu. Ikiwezekana kujenga seti ya sehemu za axial katika koni hiyo, kwa kuwa hali moja tu inapaswa kuzingatiwa kwa hili - lazima ipite tu kupitia mhimili, basi sehemu moja tu ya axial ya ndege, ambayo itakuwa ya urefu wa koni hii, inaweza kuchorwa, kwa sababu idadi ya hali huongezeka, na, kama inavyojulikana, mistari miwili (pamoja) inaweza kuwa yandege moja tu.
Eneo la sehemu
Sehemu ya axial ya koni iliyotajwa hapo awali ni pembetatu. Kulingana na hili, eneo lake linaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula ya eneo la pembetatu:
S=1/2dh au S=1/22rh
ambapo S ni eneo la sehemu-mbali;
d – kipenyo cha msingi;
r - radius;
h – urefu.
Katika koni ya oblique, au oblique, sehemu iliyo kando ya mhimili pia ni pembetatu, kwa hivyo eneo la sehemu ya msalaba ndani yake linahesabiwa vivyo hivyo.
Volume
Kwa kuwa koni ni mchoro wa pande tatu katika nafasi ya pande tatu, tunaweza kukokotoa sauti yake. Kiasi cha koni ni nambari inayoonyesha mwili huu katika kitengo cha sauti, ambayo ni, katika m3. Hesabu haitegemei ikiwa imenyooka au ya oblique (iliyojipinda), kwani fomula za aina hizi mbili za miili hazitofautiani.
Kama ilivyoelezwa awali, uundaji wa koni ya kulia hutokea kutokana na kuzungushwa kwa pembetatu ya kulia kwenye mguu wake mmoja. Koni iliyoelekezwa au ya oblique huundwa kwa njia tofauti, kwani urefu wake huhamishwa kutoka katikati ya ndege ya msingi ya mwili. Hata hivyo, tofauti hizo katika muundo haziathiri mbinu ya kuhesabu kiasi chake.
Hesabu ya sauti
Mchanganyiko wa ujazo wa koni yoyote inaonekana kama hii:
V=1/3πhr2
ambapo V ni ujazo wa koni;
h – urefu;
r - radius;
π - mara kwa mara sawa na 3, 14.
Ili kukokotoa kiasi cha koni, unahitaji kuwa na data juu ya urefu na radius ya msingi wa mwili.
Ili kukokotoa urefu wa mwili, unahitaji kujua radius ya besi na urefu wa jenereta yake. Kwa kuwa kipenyo, urefu na jenereta vimeunganishwa kuwa pembetatu ya kulia, urefu unaweza kukokotwa kwa kutumia fomula kutoka kwa nadharia ya Pythagorean (a2+ b2=c 2 au kwa upande wetu h2+ r2=l2 , ambapo l - jenereta). Katika kesi hii, urefu utahesabiwa kwa kutoa mzizi wa mraba wa tofauti kati ya miraba ya hypotenuse na mguu mwingine:
a=√c2- b2
Yaani urefu wa koni utakuwa sawa na thamani itakayopatikana baada ya kutoa mzizi wa mraba kutoka kwa tofauti kati ya mraba wa urefu wa jenereta na mraba wa kipenyo cha msingi:
h=√l2 - r2
Kuhesabu urefu kwa kutumia njia hii na kujua radius ya msingi wake, unaweza kuhesabu kiasi cha koni. Katika kesi hii, jenereta ina jukumu muhimu, kwa kuwa hutumika kama kipengele msaidizi katika hesabu.
Vile vile, ikiwa unajua urefu wa mwili na urefu wa jenereta yake, unaweza kupata radius ya msingi wake kwa kutoa mzizi wa mraba wa tofauti kati ya mraba wa jenereta na mraba wa urefu.:
r=√l2 - h2
Kisha, kwa kutumia fomula iliyo hapo juu, hesabu kiasi cha koni.
Ujazo wa koni iliyoinuliwa
Kwa vile fomula ya ujazo wa koni ni sawa kwa aina zote za mwili wa mapinduzi, tofauti katika hesabu yake ni utafutaji wa urefu.
Ili kujua urefu wa koni iliyoinamishwa, data ya ingizo lazima ijumuishe urefu wa jenereta, radius ya besi na umbali kati ya kituo.msingi na makutano ya urefu wa mwili na ndege ya msingi wake. Kujua hili, unaweza kuhesabu kwa urahisi sehemu hiyo ya kipenyo cha msingi, ambayo itakuwa msingi wa pembetatu ya kulia (iliyoundwa na urefu, jenereta na ndege ya msingi). Kisha, tena kwa kutumia nadharia ya Pythagorean, hesabu urefu wa koni, na kisha ujazo wake.
