Pythagoras aliteta kuwa nambari hiyo ni msingi wa ulimwengu pamoja na vipengele vya msingi. Plato aliamini kwamba nambari inaunganisha jambo na noumenoni, kusaidia kutambua, kupima na kufikia hitimisho. Hesabu hutoka kwa neno "arithmos" - nambari, mwanzo wa mwanzo katika hisabati. Inaweza kuelezea kitu chochote - kutoka kwa tufaha la msingi hadi nafasi dhahania.
Inahitaji kama kipengele cha ukuzaji
Katika hatua za awali za malezi ya jamii, mahitaji ya watu yalipunguzwa kwa hitaji la kuweka hesabu - gunia moja la nafaka, magunia mawili ya nafaka, n.k. Nambari za asili zilitosha kwa hii, seti ambayo ni mfuatano chanya usio na kikomo wa nambari kamili N.
Baadaye, pamoja na maendeleo ya hisabati kama sayansi, kulikuwa na haja ya uwanja tofauti wa nambari Z - inajumuisha maadili hasi na sifuri. Kuonekana kwake katika ngazi ya kaya kulikasirishwa na ukweli kwamba katika uhasibu wa msingi ilikuwa ni lazima kwa namna fulani kurekebisha.madeni na hasara. Katika kiwango cha kisayansi, nambari hasi zimewezesha kutatua milinganyo rahisi zaidi ya mstari. Miongoni mwa mambo mengine, taswira ya mfumo mdogo wa kuratibu sasa imewezekana, kwa kuwa sehemu ya kumbukumbu imeonekana.
Hatua iliyofuata ilikuwa hitaji la kutambulisha nambari za sehemu, kwa kuwa sayansi haikusimama tuli, uvumbuzi zaidi na zaidi ulihitaji msingi wa kinadharia kwa msukumo mpya wa ukuaji. Hivi ndivyo sehemu ya nambari za mantiki ilionekana Q.
Mwishowe, busara ilikoma kukidhi maombi, kwa sababu hitimisho zote mpya zilihitaji uhalali. Ilionekana uwanja wa nambari halisi R, kazi za Euclid juu ya kutoweza kulinganishwa kwa idadi fulani kwa sababu ya kutokuwa na akili. Hiyo ni, wanahisabati wa zamani wa Uigiriki waliweka nambari sio tu kama ya mara kwa mara, lakini pia kama idadi ya kufikirika, ambayo inaonyeshwa na uwiano wa idadi isiyoweza kulinganishwa. Kwa sababu ya ukweli kwamba nambari halisi zilionekana, idadi kama vile "pi" na "e" "iliona mwanga", bila ambayo hisabati ya kisasa haikuweza kuchukua.
Ubunifu wa mwisho ulikuwa nambari changamano C. Ilijibu maswali kadhaa na kukanusha machapisho yaliyoletwa hapo awali. Kutokana na maendeleo ya haraka ya algebra, matokeo yalikuwa ya kutabirika - kuwa na idadi halisi, kutatua matatizo mengi haiwezekani. Kwa mfano, kutokana na nambari changamano, nadharia ya tungo na fujo ilijitokeza wazi, na milinganyo ya hidrodynamics ilipanuka.
Weka nadharia. Cantor
Dhana ya kutokuwa na mwisho kila wakatiilisababisha mabishano, kwani haikuweza kuthibitishwa wala kukanushwa. Katika muktadha wa hisabati, ambao ulifanya kazi kwa maandishi yaliyothibitishwa kabisa, hili lilijidhihirisha wazi zaidi, hasa kwa vile kipengele cha kitheolojia bado kilikuwa na uzito katika sayansi.
Hata hivyo, kutokana na kazi ya mwanahisabati Georg Kantor, kila kitu kilifanyika kwa muda. Alithibitisha kuwa kuna idadi isiyo na kikomo ya seti zisizo na kikomo, na kwamba sehemu ya R ni kubwa kuliko shamba N, hata ikiwa zote mbili hazina mwisho. Katikati ya karne ya 19, mawazo yake yaliitwa kwa sauti kubwa upuuzi na uhalifu dhidi ya kanuni za kitamaduni zisizotikisika, lakini wakati uliweka kila kitu mahali pake.
Sifa za kimsingi za uga R
Nambari halisi hazina sifa sawa tu na vikundi vidogo ambavyo vimejumuishwa ndani yake, lakini pia huongezwa na vingine kutokana na ukubwa wa vipengele vyake:
- Sifuri ipo na ni ya uga R. c + 0=c kwa c yoyote kutoka R.
- Sifuri ipo na ni ya uga R. c x 0=0 kwa c yoyote kutoka R.
- Uhusiano c: d kwa d ≠ 0 upo na ni halali kwa c yoyote, d kutoka R.
- Sehemu R imepangwa, yaani, ikiwa c ≦ d, d ≦ c, kisha c=d kwa c yoyote, d kutoka R.
- Ongeza katika sehemu ya R ni ya kubadilika, yaani c + d=d + c kwa c yoyote, d kutoka R.
- Kuzidisha katika sehemu R ni kubadilika, yaani c x d=d x c kwa c yoyote, d kutoka R.
- Ongezeko katika uga R ni shirikishi, yaani (c + d) + f=c + (d + f) kwa c yoyote, d, f kutoka R.
- Kuzidisha katika sehemu R ni shirikishi, yaani (c x d) x f=c x (d x f) kwa c yoyote, d, f kutoka R.
- Kwa kila nambari katika sehemu ya R, kuna kinyume, kama vile c + (-c)=0, ambapo c, -c inatoka R.
- Kwa kila nambari kutoka kwa shamba R kuna kinyume chake, kama vile c x c-1 =1, ambapo c, c-1 kutoka kwa R.
- Kipimo kipo na ni cha R, kwa hivyo c x 1=c, kwa c yoyote kutoka R.
- Sheria ya usambazaji ni halali, kwa hivyo c x (d + f)=c x d + c x f, kwa c, d, f yoyote kutoka R.
- Katika sehemu ya R, sufuri si sawa na moja.
- Sehemu R inabadilika: ikiwa c ≦ d, d ≦ f, kisha c ≦ f kwa c yoyote, d, f kutoka R.
- Katika sehemu ya R, mpangilio na nyongeza zinahusiana: ikiwa c ≦ d, basi c + f ≦ d + f kwa c yoyote, d, f kutoka R.
- Katika sehemu ya R, kuagiza na kuzidisha kunahusiana: ikiwa 0 ≦ c, 0 ≦ d, basi 0 ≦ c x d kwa c yoyote, d kutoka R.
- Nambari hasi na chanya halisi ni endelevu, yaani, kwa c yoyote, d kutoka R, kuna f kutoka kwa R vile c ≦ f ≦ d.
Moduli katika sehemu R
Nambari halisi ni pamoja na moduli.
Imebainishwa kama |f| kwa f yoyote kutoka kwa R. |f|=f ikiwa 0 ≦ f na |f|=-f ikiwa 0 > f. Ikiwa tutazingatia moduli kama kiasi cha kijiometri, basi ni umbali uliosafiri - haijalishi "ulipitisha" sifuri hadi kutoa au mbele kwa plus.
Nambari tata na halisi. Je, ni mambo gani yanayofanana na yana tofauti gani?
Kwa ujumla, nambari changamano na halisi ni moja na sawa, isipokuwa hiyokitengo cha kufikiria i, ambacho mraba wake ni -1. Vipengele vya sehemu R na C vinaweza kuwakilishwa kama fomula ifuatayo:
c=d + f x i, ambapo d, f ni sehemu ya R na mimi ni kitengo cha kufikiria
Ili kupata c kutoka kwa R katika kesi hii, f imewekwa sawa na sufuri, yaani, sehemu halisi pekee ya nambari inasalia. Kwa sababu ya ukweli kwamba sehemu ya nambari changamano ina seti sawa ya sifa kama sehemu ya nambari halisi, f x i=0 ikiwa f=0.
Kuhusu tofauti za kiutendaji, kwa mfano, katika sehemu ya R, mlinganyo wa quadratic hautatuliwi ikiwa kibaguzi ni hasi, ilhali uga wa C hauweki kizuizi kama hicho kutokana na kuanzishwa kwa kitengo cha kuwazia i.
matokeo
"matofali" ya axioms na postulates ambayo hisabati msingi wake haibadilika. Kutokana na ongezeko la habari na kuanzishwa kwa nadharia mpya, "matofali" yafuatayo yanawekwa kwenye baadhi yao, ambayo katika siku zijazo inaweza kuwa msingi wa hatua inayofuata. Kwa mfano, nambari za asili, licha ya ukweli kwamba wao ni sehemu ndogo ya shamba halisi la R, usipoteze umuhimu wao. Ni juu yao kwamba hesabu zote za msingi zinatokana, ambayo maarifa ya mwanadamu ya ulimwengu huanza.
Kwa mtazamo wa vitendo, nambari halisi huonekana kama mstari ulionyooka. Juu yake unaweza kuchagua mwelekeo, mteule asili na hatua. Mstari wa moja kwa moja una idadi isiyo na kikomo ya pointi, ambayo kila moja inalingana na nambari moja halisi, bila kujali ikiwa ni ya busara au la. Ni wazi kutokana na maelezo kwamba tunazungumzia dhana ambayo hisabati kwa ujumla na uchambuzi wa hisabati kwa ujumla hujengwa.hasa.
