Mabadiliko manne ni badiliko linalolinganisha utendakazi wa baadhi ya tofauti halisi. Operesheni hii inafanywa kila wakati tunapogundua sauti tofauti. Sikio hufanya "hesabu" ya moja kwa moja, ambayo ufahamu wetu una uwezo wa kufanya tu baada ya kujifunza sehemu inayofanana ya hisabati ya juu. Kiungo cha kusikia cha binadamu hujenga mabadiliko, kama matokeo ya ambayo sauti (mwendo wa oscillatory wa chembe za masharti katika kati ya elastic ambayo huenea katika fomu ya wimbi katika hali ya imara, kioevu au gesi) hutolewa kwa namna ya wigo wa maadili mfululizo. ya kiwango cha kiasi cha tani za urefu tofauti. Baada ya hapo, ubongo hugeuza taarifa hii kuwa sauti inayofahamika na kila mtu.
Mabadiliko ya Fourier ya Hisabati
Mabadiliko ya mawimbi ya sauti au michakato mingine ya kuzunguka (kutoka mionzi ya mwanga na wimbi la bahari hadi mizunguko ya shughuli za nyota au jua) pia inaweza kufanywa kwa kutumia mbinu za hisabati. Kwa hivyo, kwa kutumia mbinu hizi, inawezekana kuoza kazi kwa kuwakilisha michakato ya oscillatory kama seti ya vifaa vya sinusoidal, ambayo ni, curves za wavy ambazo.nenda kutoka chini kwenda juu, kisha kurudi chini, kama wimbi la bahari. Fourier kubadilisha - mabadiliko ambayo kazi yake inaeleza awamu au amplitude ya kila sinusoid sambamba na frequency fulani. Awamu ndiyo sehemu ya kuanzia ya curve, na amplitude ni urefu wake.
Mabadiliko ya Fourier (mifano imeonyeshwa kwenye picha) ni zana yenye nguvu sana ambayo inatumika katika nyanja mbalimbali za sayansi. Katika hali nyingine, hutumiwa kama njia ya kutatua hesabu ngumu zaidi ambazo zinaelezea michakato yenye nguvu ambayo hufanyika chini ya ushawishi wa mwanga, mafuta au nishati ya umeme. Katika hali nyingine, inakuwezesha kuamua vipengele vya kawaida katika ishara changamano za oscillatory, shukrani ambayo unaweza kutafsiri kwa usahihi uchunguzi mbalimbali wa majaribio katika kemia, dawa na astronomy.
Usuli wa kihistoria
Mtu wa kwanza kutumia mbinu hii alikuwa mwanahisabati Mfaransa Jean Baptiste Fourier. Mabadiliko hayo, ambayo baadaye yaliitwa baada yake, yalitumiwa awali kuelezea utaratibu wa uendeshaji wa joto. Fourier alitumia maisha yake yote ya watu wazima kusoma sifa za joto. Alitoa mchango mkubwa kwa nadharia ya hisabati ya kuamua mizizi ya milinganyo ya algebra. Fourier alikuwa profesa wa uchambuzi katika Shule ya Polytechnic, katibu wa Taasisi ya Egyptology, alikuwa katika huduma ya kifalme, ambapo alijitofautisha wakati wa ujenzi wa barabara ya Turin (chini ya uongozi wake, zaidi ya kilomita za mraba 80,000 za malaria.mabwawa). Hata hivyo, shughuli hii yote yenye nguvu haikuzuia mwanasayansi kufanya uchambuzi wa hisabati. Mnamo 1802, alipata equation ambayo inaelezea uenezi wa joto katika yabisi. Mnamo 1807, mwanasayansi aligundua njia ya kutatua equation hii, ambayo iliitwa "Mabadiliko ya Nne".
Uchambuzi wa Uendeshaji wa Joto
Mwanasayansi alitumia mbinu ya hisabati kuelezea utaratibu wa upitishaji joto. Mfano unaofaa, ambao hakuna shida katika hesabu, ni uenezi wa nishati ya joto kupitia pete ya chuma iliyoingizwa katika sehemu moja kwenye moto. Ili kufanya majaribio, Fourier alipasha moto sehemu ya pete hii ya moto-moto na kuizika kwenye mchanga safi. Baada ya hapo, alichukua vipimo vya joto upande wa kinyume chake. Hapo awali, usambazaji wa joto sio wa kawaida: sehemu ya pete ni baridi na nyingine ni moto; gradient kali ya joto inaweza kuzingatiwa kati ya maeneo haya. Hata hivyo, katika mchakato wa uenezi wa joto juu ya uso mzima wa chuma, inakuwa sare zaidi. Kwa hiyo, hivi karibuni mchakato huu unachukua fomu ya sinusoid. Mara ya kwanza, grafu huongezeka vizuri na pia hupungua vizuri, hasa kulingana na sheria za mabadiliko ya kazi ya cosine au sine. Wimbi hushuka polepole na matokeo yake halijoto inakuwa sawa kwenye uso mzima wa pete.
Mwandishi wa mbinu hii alipendekeza kuwa usambazaji wa awali usio wa kawaida unaweza kugawanywa katika idadi ya sinusoidi msingi. Kila mmoja wao atakuwa na awamu yake (nafasi ya awali) na joto lakeupeo. Zaidi ya hayo, kila sehemu kama hiyo hubadilika kutoka kiwango cha chini hadi cha juu na kurudi kwenye mapinduzi kamili kuzunguka pete idadi kamili ya nyakati. Sehemu yenye kipindi kimoja iliitwa harmonic ya msingi, na thamani yenye vipindi viwili au zaidi iliitwa pili, na kadhalika. Kwa hivyo, kazi ya hisabati inayoelezea kiwango cha juu cha halijoto, awamu au nafasi inaitwa badiliko la Fourier la chaguo la kukokotoa la usambazaji. Mwanasayansi alipunguza kijenzi kimoja, ambacho ni vigumu kukielezea kihisabati, hadi chombo kilicho rahisi kutumia - mfululizo wa cosine na sine, ambao unajumlisha ili kutoa usambazaji asilia.
Kiini cha uchambuzi
Akitumia uchanganuzi huu kwa mabadiliko ya uenezaji wa joto kupitia kitu kigumu ambacho kina umbo la mwaka, mwanahisabati alisababu kuwa kuongeza muda wa sehemu ya sinusoidal kungesababisha kuoza kwake haraka. Hii inaonekana wazi katika harmonics ya msingi na ya pili. Mwishowe, hali ya joto hufikia viwango vya juu na vya chini mara mbili kwa njia moja, na ya zamani, mara moja tu. Inageuka kuwa umbali unaofunikwa na joto katika harmonic ya pili itakuwa nusu ya msingi. Kwa kuongezea, gradient katika ya pili pia itakuwa mwinuko mara mbili kuliko ile ya kwanza. Kwa hivyo, kwa kuwa mtiririko mkali zaidi wa joto husafiri umbali mara mbili mfupi, hali hii ya usawa itaoza mara nne kuliko ile ya kimsingi kama utendaji wa wakati. Katika siku zijazo, mchakato huu utakuwa haraka zaidi. Mwanahisabati aliamini kuwa mbinu hii hukuruhusu kukokotoa mchakato wa usambazaji wa halijoto ya awali baada ya muda.
Changamoto kwa watu wa sasa
Algorithm ya mabadiliko ya Fourier ilipinga misingi ya kinadharia ya hisabati wakati huo. Mwanzoni mwa karne ya kumi na tisa, wanasayansi mashuhuri zaidi, pamoja na Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre na Biot, hawakukubali taarifa yake kwamba usambazaji wa joto la awali hutenganishwa katika vipengele kwa namna ya masafa ya msingi ya usawa na ya juu. Hata hivyo, Chuo cha Sayansi haikuweza kupuuza matokeo yaliyopatikana na mwanahisabati, na kumpa tuzo kwa nadharia ya sheria za uendeshaji wa joto, pamoja na kulinganisha na majaribio ya kimwili. Katika mbinu ya Fourier, pingamizi kuu lilikuwa ukweli kwamba kazi isiyoendelea inawakilishwa na jumla ya kazi kadhaa za sinusoidal ambazo zinaendelea. Baada ya yote, wanaelezea mistari iliyonyooka na iliyopinda. Watu wa wakati wa mwanasayansi hawakuwahi kukutana na hali kama hiyo, wakati kazi zisizoendelea zilielezewa na mchanganyiko wa zile zinazoendelea, kama vile quadratic, linear, sinusoid au exponential. Katika tukio ambalo mwanahisabati alikuwa sahihi katika taarifa zake, basi jumla ya mfululizo usio na mwisho wa kazi ya trigonometric inapaswa kupunguzwa kwa hatua halisi ya hatua. Wakati huo, taarifa kama hiyo ilionekana kuwa ya kipuuzi. Hata hivyo, licha ya mashaka, baadhi ya watafiti (mfano Claude Navier, Sophie Germain) wamepanua wigo wa utafiti na kuuchukua zaidi ya uchambuzi wa usambazaji wa nishati ya joto. Wakati huo huo, wanahisabati waliendelea kutatiza swali la ikiwa jumla ya utendaji kadhaa wa sinusoidal inaweza kupunguzwa hadi uwakilishi kamili wa moja isiyoendelea.
miaka 200historia
Nadharia hii imebadilika zaidi ya karne mbili, leo hatimaye imeundwa. Kwa msaada wake, kazi za anga au za muda zimegawanywa katika vipengele vya sinusoidal, ambavyo vina mzunguko wao, awamu na amplitude. Mabadiliko haya hupatikana kwa njia mbili tofauti za hisabati. Ya kwanza yao hutumiwa wakati kazi ya awali inaendelea, na ya pili - inapowakilishwa na seti ya mabadiliko ya mtu binafsi. Ikiwa usemi unapatikana kutoka kwa maadili ambayo yamefafanuliwa na vipindi tofauti, basi inaweza kugawanywa katika misemo kadhaa ya sinusoidal na masafa ya wazi - kutoka chini kabisa na kisha mara mbili, mara tatu na kadhalika juu kuliko moja kuu. Jumla kama hiyo inaitwa safu ya Fourier. Ikiwa usemi wa awali unapewa thamani kwa kila nambari halisi, basi inaweza kugawanywa katika sinusoidal kadhaa ya masafa yote iwezekanavyo. Inajulikana kama kiunga cha Fourier, na suluhisho linamaanisha mabadiliko kamili ya kazi. Bila kujali jinsi uongofu unapatikana, nambari mbili lazima zielezwe kwa kila mzunguko: amplitude na mzunguko. Thamani hizi zinaonyeshwa kama nambari moja changamano. Nadharia ya usemi wa viambishi changamano, pamoja na ugeuzaji wa Fourier, ilifanya iwezekane kufanya mahesabu katika muundo wa saketi mbalimbali za umeme, uchanganuzi wa mitetemo ya mitambo, uchunguzi wa utaratibu wa uenezaji wa wimbi, na zaidi.
Mageuzi Nne Leo
Leo, utafiti wa mchakato huu umepunguzwa hadi kupatikana kwa ufanisinjia za mpito kutoka kwa chaguo za kukokotoa hadi kwa umbo lake lililobadilishwa na kinyume chake. Suluhisho hili linaitwa ubadilishaji wa moja kwa moja na kinyume wa Fourier. Ina maana gani? Ili kuamua muhimu na kuzalisha mabadiliko ya moja kwa moja ya Fourier, mtu anaweza kutumia mbinu za hisabati, au za uchambuzi. Licha ya ukweli kwamba shida fulani hutokea wakati wa kuzitumia katika mazoezi, viungo vingi tayari vimepatikana na vimejumuishwa katika vitabu vya kumbukumbu vya hisabati. Mbinu za nambari zinaweza kutumika kukokotoa vielezi ambavyo umbo lake linatokana na data ya majaribio, au vitendakazi ambavyo viambajengo vyake havipatikani katika majedwali na ni vigumu kuwasilisha katika mfumo wa uchanganuzi.
Kabla ya ujio wa kompyuta, mahesabu ya mabadiliko hayo yalikuwa ya kuchosha sana, yalihitaji utekelezaji wa mwongozo wa idadi kubwa ya shughuli za hesabu, ambayo ilitegemea idadi ya pointi zinazoelezea kazi ya wimbi. Ili kuwezesha mahesabu, leo kuna mipango maalum ambayo imefanya iwezekanavyo kutekeleza mbinu mpya za uchambuzi. Kwa hiyo, mwaka wa 1965, James Cooley na John Tukey waliunda programu ambayo ilijulikana kama "Fast Fourier Transform". Inakuruhusu kuokoa muda wa mahesabu kwa kupunguza idadi ya kuzidisha katika uchambuzi wa curve. Mbinu ya kubadilisha Fourier ya haraka inategemea kugawanya mkunjo katika idadi kubwa ya thamani za sampuli zinazofanana. Ipasavyo, idadi ya kuzidisha imepunguzwa kwa nusu na kupungua sawa kwa idadi ya pointi.
Kutumia kigeuzi cha Fourier
Hiimchakato hutumiwa katika nyanja mbalimbali za sayansi: katika nadharia ya idadi, fizikia, usindikaji wa ishara, combinatorics, nadharia ya uwezekano, cryptography, takwimu, oceanology, optics, acoustics, jiometri na wengine. Uwezekano mkubwa wa matumizi yake unategemea idadi ya vipengele muhimu, vinavyoitwa "Mali ya kubadilisha Nne". Zizingatie.
1. Ubadilishaji wa chaguo za kukokotoa ni waendeshaji wa mstari na, pamoja na urekebishaji unaofaa, ni wa umoja. Sifa hii inajulikana kama nadharia ya Parseval, au kwa ujumla nadharia ya Plancherel, au uwili wa Pontryagin.
2. Mabadiliko yanaweza kutenduliwa. Zaidi ya hayo, matokeo ya kinyume yana karibu umbo sawa na katika suluhu ya moja kwa moja.
3. Vielezi vya msingi vya sinusoidal ni kazi tofauti tofauti. Hii ina maana kwamba uwakilishi kama huu hubadilisha milinganyo ya mstari yenye mgawo thabiti kuwa aljebra za kawaida.
4. Kulingana na nadharia ya "convolution", mchakato huu hugeuza utendakazi changamano kuwa uzidishaji msingi.
5. Kigeuzi mahususi cha Fourier kinaweza kukokotwa kwa haraka kwenye kompyuta kwa kutumia mbinu ya "haraka".
Aina za kigeuzi cha Fourier
1. Mara nyingi, neno hili hutumika kuashiria mageuzi endelevu ambayo hutoa usemi wowote unaoweza kuunganishwa mraba kama jumla ya vielezi vya kielelezo changamani vilivyo na masafa mahususi ya angular na amplitudo. Aina hii ina aina kadhaa tofauti, ambayo inawezatofauti na coefficients mara kwa mara. Njia inayoendelea inajumuisha meza ya uongofu, ambayo inaweza kupatikana katika vitabu vya kumbukumbu vya hisabati. Kesi ya jumla ni mabadiliko ya sehemu, ambayo kwayo mchakato uliotolewa unaweza kupandishwa hadi kwa nguvu halisi inayohitajika.
2. Hali ya kuendelea ni ujumuishaji wa mbinu ya awali ya mfululizo wa Fourier unaofafanuliwa kwa vitendaji au vielezi mbalimbali vya muda ambavyo vipo katika eneo pungufu na vinawakilisha kama mfululizo wa sinusoidi.
3. Mabadiliko ya Discrete Fourier. Njia hii hutumiwa katika teknolojia ya kompyuta kwa mahesabu ya kisayansi na usindikaji wa ishara za digital. Ili kutekeleza aina hii ya hesabu, inahitajika kuwa na utendakazi zinazofafanua pointi za kibinafsi, maeneo ya mara kwa mara au yenye mipaka kwenye seti ya pekee badala ya viunganishi vya Fourier vinavyoendelea. Mabadiliko ya ishara katika kesi hii yanawakilishwa kama jumla ya sinusoids. Wakati huo huo, matumizi ya mbinu ya "haraka" hufanya iwezekane kutumia masuluhisho ya kipekee kwa shida zozote za vitendo.
4. Ubadilishaji wa madirisha wa Fourier ni aina ya jumla ya mbinu ya kitamaduni. Tofauti na suluhisho la kawaida, wakati wigo wa ishara unatumiwa, ambao unachukuliwa katika safu kamili ya kuwepo kwa kutofautiana fulani, hapa tu usambazaji wa mzunguko wa ndani ni wa maslahi fulani, ikiwa ni pamoja na kwamba kutofautiana kwa asili (wakati) kuhifadhiwa..
5. Mabadiliko ya Fourier ya pande mbili. Njia hii hutumiwa kufanya kazi na safu za data za pande mbili. Katika kesi hii, kwanza mabadiliko yanafanywa kwa mwelekeo mmoja, na kisha ndaninyingine.
Hitimisho
Leo, mbinu ya Fourier imekita mizizi katika nyanja mbalimbali za sayansi. Kwa mfano, mnamo 1962 umbo la helix mbili la DNA liligunduliwa kwa uchanganuzi wa Fourier pamoja na diffraction ya X-ray. Mwisho huo ulizingatia fuwele za nyuzi za DNA, kwa sababu hiyo, picha ambayo ilipatikana kwa diffraction ya mionzi ilirekodi kwenye filamu. Picha hii ilitoa taarifa kuhusu thamani ya amplitude wakati wa kutumia kigeuzi cha Fourier hadi muundo fulani wa fuwele. Data ya awamu ilipatikana kwa kulinganisha ramani ya mtengano wa DNA na ramani zilizopatikana kutokana na uchanganuzi wa miundo sawa ya kemikali. Kwa sababu hiyo, wanabiolojia wamerejesha muundo wa kioo - utendakazi asilia.
Mabadiliko manne huwa na jukumu kubwa katika utafiti wa anga, semiconductor na plasma fizikia, microwave acoustics, oceanography, rada, seismology na tafiti za kimatibabu.
