Derivative ya kosine hupatikana kwa mlinganisho na derivative ya sine, msingi wa uthibitisho ni ufafanuzi wa kikomo cha chaguo la kukokotoa. Unaweza kutumia njia nyingine, kwa kutumia fomula za kupunguza trigonometriki kwa kosine na sine ya pembe. Onyesha kitendakazi kimoja kulingana na kingine - kosine kulingana na sine, na utofautishe sine kwa hoja changamano.
Zingatia mfano wa kwanza wa kupata fomula (Cos(x))'
Toa nyongeza ndogo kidogo Δx kwa hoja x ya chaguo za kukokotoa y=Cos(x). Kwa thamani mpya ya hoja х+Δх, tunapata thamani mpya ya kazi Cos(х+Δх). Kisha nyongeza ya chaguo la kukokotoa Δy itakuwa sawa na Cos(х+Δx)-Cos(x).
Uwiano wa nyongeza ya chaguo la kukokotoa kwa Δх itakuwa: (Cos(х+Δx)-Cos(x)) /Δх. Wacha tufanye mabadiliko sawa katika nambari ya sehemu inayosababisha. Kumbuka formula ya tofauti katika cosines ya pembe, matokeo yatakuwa bidhaa -2Sin (Δx / 2) mara Sin (x + Δx / 2). Tunapata kikomo cha kikomo cha mgawo wa bidhaa hii kwenye Δx kwani Δx huelekea sifuri. Inajulikana kuwa ya kwanza(inaitwa ajabu) kikomo lim(Dhambi(Δx/2)/(Δx/2)) ni sawa na 1, na kikomo -Sin(x+Δx/2) ni sawa na -Sin(x) kama Δx inaelekea sifuri. Andika tokeo: kinyago cha (Cos(x))' ni sawa na - Sin(x).
Baadhi ya watu wanapendelea njia ya pili ya kupata fomula sawa
Inajulikana kutoka kwa mwendo wa trigonometria: Cos(x) ni sawa na Sin(0, 5 ∏-x), vile vile Sin(x) ni sawa na Cos(0, 5 ∏-x). Kisha tunatofautisha kazi changamano - sine ya pembe ya ziada (badala ya cosine x).
Tunapata bidhaa Cos(0, 5 ∏-x) (0, 5 ∏-x)', kwa sababu derivative ya sine x ni sawa na kosine X. Tunageukia fomula ya pili Sin(x)=Cos(0.5 ∏-x) ya kubadilisha cosine na sine, kwa kuzingatia kwamba (0.5 ∏-x)'=-1. Sasa tunapata -Sin(x). Kwa hivyo, kitokeo cha kosine kinapatikana, y'=-Sin(x) kwa chaguo la kukokotoa y=Cos(x).
Derivative ya kosine yenye mraba
Mfano unaotumika sana ambapo derivative ya kosine inatumiwa. Chaguo za kukokotoa y=Cos2(x) ni ngumu. Kwanza tunapata tofauti ya kazi ya nguvu na kipeo 2, itakuwa 2 · Cos(x), kisha tunaizidisha kwa derivative (Cos(x))', ambayo ni sawa na -Sin(x). Tunapata y'=-2 Cos(x) Dhambi(x). Tunapotumia fomula Sin(2x), sine ya pembe mbili, tunapata ya mwisho iliyorahisishwajibu y'=-Sin(2x)
Vitendaji vya Hyperbolic
Zinatumika katika utafiti wa taaluma nyingi za kiufundi: katika hisabati, kwa mfano, hurahisisha hesabu ya viambatanisho, suluhisho la milinganyo tofauti. Wao huonyeshwa kwa suala la kazi za trigonometric na kufikiriahoja, hivyo hyperbolic cosine ch(x)=Cos(i x), ambapo i ni kitengo cha kufikirika, sine hyperbolic sh(x)=Sin(i x).
Nyengo ya kosine ya kilemba imekokotolewa kwa urahisi kabisa.
Zingatia chaguo la kukokotoa y=(ex+e-x) /2, hii na ni hyperbolic cosine ch(x). Tunatumia sheria kutafuta derivative ya jumla ya misemo miwili, kanuni ya kuchukua sababu ya mara kwa mara (Const) nje ya ishara ya derivative. Neno la pili 0.5 e-x ni chaguo za kukokotoa changamani (chini yake ni -0.5 e-x), 0.5 eх - muhula wa kwanza. (ch(x)) '=((ex+e-x)/2)' inaweza kuandikwa kwa njia nyingine: (0, 5 ex+0, 5 e-x)'=0, 5 e x-0, 5 e-x, kwa sababu derivative (e - x)' ni sawa na -1 mara e--x. Matokeo yake ni tofauti, na hii ni sine sh(x).Pato: (ch(x))'=sh(x).
Hebu tuangalie mfano wa jinsi ya kokotoa toleo la kukokotoa la chaguo za kukokotoa y=ch(x
3+1).Kulingana na kanuni ya upambanuzi wa kosine ya hyperbolic yenye hoja changamano y'=sh(x
3+1) (x 3+1)', ambapo (x3+1)'=3 x 2+0. Jibu: toleo la kukokotoa la chaguo hili la kukokotoa ni 3 x
2sh(x3+1).
Vinyago vya jedwali vya chaguo za kukokotoa zinazozingatiwa y=ch(x) na y=Cos(x)
Unaposuluhisha mifano, hakuna haja ya kuitofautisha kila wakati kulingana na mpango uliopendekezwa, inatosha kutumia makisio.
Mfano. Tofautisha kazi y=Cos(x)+Cos2(-x)-Ch(5 x). Rahisi kukokotoa (tumia data ya jedwali), y'=-Sin(x) +Dhambi(2 x)-5 Sh(5 x).
