Polyhedra ilivutia umakini wa wanahisabati na wanasayansi hata katika nyakati za zamani. Wamisri walijenga piramidi. Na Wagiriki walisoma "polyhedra ya kawaida". Wakati mwingine huitwa yabisi ya Plato. "Polihedra ya kitamaduni" inajumuisha nyuso bapa, kingo zilizonyooka, na vipeo. Lakini swali kuu daima limekuwa ni sheria gani sehemu hizi tofauti lazima zitimize, na vile vile ni hali gani za ziada za ulimwengu lazima zitimizwe ili kitu kihitimu kuwa polihedron. Jibu la swali hili litawasilishwa katika makala.
Matatizo katika ufafanuzi
Takwimu hii inajumuisha nini? Polyhedron ni umbo gumu lililofungwa ambalo lina nyuso bapa na kingo zilizonyooka. Kwa hiyo, tatizo la kwanza la ufafanuzi wake linaweza kuitwa kwa usahihi pande za takwimu. Sio nyuso zote zilizo kwenye ndege daima ni ishara ya polyhedron. Wacha tuchukue "silinda ya pembetatu" kama mfano. Inajumuisha nini? Sehemu ya uso wake tatu kwa jozindege za wima zinazokatiza haziwezi kuchukuliwa kuwa poligoni. Sababu ni kwamba haina wima. Uso wa sura kama hiyo huundwa kwa msingi wa miale mitatu inayokutana katika hatua moja.
Tatizo moja zaidi - ndege. Katika kesi ya "silinda ya triangular" iko katika sehemu zao zisizo na ukomo. Takwimu inachukuliwa kuwa laini ikiwa sehemu ya mstari inayounganisha alama zozote mbili kwenye seti pia iko ndani yake. Hebu tuwasilishe moja ya mali zao muhimu. Kwa seti za convex, ni kwamba seti ya pointi za kawaida kwa seti ni sawa. Kuna aina nyingine ya takwimu. Hizi ni polihedra za 2D zisizo mbonyeo ambazo ama zina noti au mashimo.
Maumbo ambayo si polihedra
Seti bapa ya pointi inaweza kuwa tofauti (kwa mfano, isiyo ya mbonyeo) na isikidhi ufafanuzi wa kawaida wa polihedroni. Hata kupitia hiyo, imepunguzwa na sehemu za mistari. Mistari ya polihedron ya convex inajumuisha takwimu za convex. Walakini, njia hii ya ufafanuzi haijumuishi takwimu inayoenda kwa infinity. Mfano wa hii itakuwa miale mitatu ambayo haifikii kwa wakati mmoja. Lakini wakati huo huo, wameunganishwa na wima ya takwimu nyingine. Kijadi, ilikuwa muhimu kwa polyhedron ambayo inajumuisha nyuso za gorofa. Lakini baada ya muda, dhana hiyo ilipanuka, ambayo ilisababisha uboreshaji mkubwa katika kuelewa tabaka la awali "nyembamba" la polihedra, pamoja na kuibuka kwa ufafanuzi mpya, mpana zaidi.
Sahihi
Hebu tujulishe ufafanuzi mmoja zaidi. Polyhedron ya kawaida ni moja ambayo kila uso ni mshikamano wa kawaidapolygons convex, na wima zote ni "sawa". Hii ina maana kwamba kila kipeo kina idadi sawa ya poligoni za kawaida. Tumia ufafanuzi huu. Kwa hivyo unaweza kupata polihedra tano za kawaida.
Hatua za kwanza kwa nadharia ya Euler ya polihedra
Wagiriki walijua kuhusu poligoni, ambayo leo inaitwa pentagram. Poligoni hii inaweza kuitwa ya kawaida kwa sababu pande zake zote zina urefu sawa. Pia kuna maelezo mengine muhimu. Pembe kati ya pande mbili mfululizo daima ni sawa. Hata hivyo, inapotolewa kwenye ndege, haifafanui seti ya convex, na pande za polyhedron huingiliana. Walakini, haikuwa hivyo kila wakati. Wanahisabati kwa muda mrefu wamezingatia wazo la "non-convex" polihedra ya kawaida. Pentagram ilikuwa mmoja wao. "Poligoni za nyota" pia ziliruhusiwa. Mifano kadhaa mpya ya "polihedra ya kawaida" imegunduliwa. Sasa wanaitwa Kepler-Poinsot polyhedra. Baadaye, G. S. M. Coxeter na Branko Grünbaum waliongeza sheria na kugundua "polyhedra" nyingine za kawaida.
Mfumo wa polyhedral
Utafiti wa kimfumo wa takwimu hizi ulianza mapema kiasi katika historia ya hisabati. Leonhard Euler alikuwa wa kwanza kugundua kuwa fomula inayohusiana na idadi ya vipeo, nyuso na kingo zake inashikilia polihedra ya 3D iliyobonyea.
Anaonekana hivi:
V + F - E=2, ambapo V ni nambari ya vipeo vya polihedra, F ni nambari ya kingo za polihedra, na E ni idadi ya nyuso.
Leonhard Euler ni Mswizimwanahisabati ambaye anachukuliwa kuwa mmoja wa wanasayansi wakubwa na wenye tija zaidi wa wakati wote. Amekuwa kipofu kwa muda mrefu wa maisha yake, lakini kupoteza uwezo wake wa kuona kulimpa sababu ya kuwa na matokeo zaidi. Kuna fomula kadhaa zilizopewa jina lake, na ile tuliyoiangalia hivi karibuni inaitwa fomula ya Euler polyhedra.
Kuna ufafanuzi mmoja. Njia ya Euler, hata hivyo, inafanya kazi tu kwa polihedra zinazofuata sheria fulani. Wanalala katika ukweli kwamba fomu haipaswi kuwa na mashimo yoyote. Na haikubaliki kujivuka yenyewe. Polyhedron pia haiwezi kutengenezwa kwa sehemu mbili zilizounganishwa pamoja, kama vile cubes mbili zenye vertex moja. Euler alitaja matokeo ya utafiti wake katika barua kwa Christian Goldbach mnamo 1750. Baadaye, alichapisha karatasi mbili ambamo alieleza jinsi alivyojaribu kupata uthibitisho wa uvumbuzi wake mpya. Kwa kweli, kuna fomu zinazotoa jibu tofauti kwa V + F - E. Jibu la jumla F + V - E=X inaitwa tabia ya Euler. Ana kipengele kingine. Baadhi ya maumbo yanaweza hata kuwa na sifa ya Euler ambayo ni hasi
Nadharia ya Grafu
Wakati mwingine inadaiwa kuwa Descartes aliunda nadharia ya Euler hapo awali. Ingawa mwanasayansi huyu aligundua ukweli kuhusu polihedra zenye sura tatu ambazo zingemruhusu kupata fomula inayohitajika, hakuchukua hatua hii ya ziada. Leo, Euler anapewa sifa ya "baba" wa nadharia ya graph. Alitatua tatizo la daraja la Konigsberg kwa kutumia mawazo yake. Lakini mwanasayansi hakuangalia polihedron katika muktadhanadharia ya grafu. Euler alijaribu kutoa uthibitisho wa fomula kulingana na mtengano wa polihedron katika sehemu rahisi. Jaribio hili linapungukiwa na viwango vya kisasa vya uthibitisho. Ingawa Euler hakutoa uhalali wa kwanza sahihi kwa fomula yake, mtu hawezi kuthibitisha dhana ambazo hazijafanywa. Walakini, matokeo, ambayo yalithibitishwa baadaye, yanawezesha kutumia nadharia ya Euler kwa wakati huu pia. Uthibitisho wa kwanza ulipatikana na mwanahisabati Adrian Marie Legendre.
Uthibitisho wa fomula ya Euler
Euler kwanza alitayarisha fomula ya polihedra kama nadharia ya polihedra. Leo mara nyingi hutibiwa katika muktadha wa jumla wa grafu zilizounganishwa. Kwa mfano, kama miundo inayojumuisha pointi na sehemu za mstari zinazowaunganisha, ambazo ziko katika sehemu moja. Augustin Louis Cauchy alikuwa mtu wa kwanza kupata uhusiano huu muhimu. Ilitumika kama uthibitisho wa nadharia ya Euler. Yeye, kwa asili, aligundua kuwa grafu ya polihedron ya convex (au kile kinachoitwa leo) ni ya juu ya homeomorphic kwa tufe, ina grafu iliyounganishwa kwa mpangilio. Ni nini? Grafu iliyopangwa ni ile ambayo imechorwa kwenye ndege kwa njia ambayo kingo zake hukutana au kukatiza kwenye vertex pekee. Hapa ndipo uhusiano kati ya nadharia ya Euler na grafu ulipatikana.
Ashirio moja la umuhimu wa matokeo ni kwamba David Epstein aliweza kukusanya vipande kumi na saba tofauti vya ushahidi. Kuna njia nyingi za kuhalalisha fomula ya polyhedral ya Euler. Kwa maana fulani, uthibitisho ulio wazi zaidi ni njia zinazotumia uingizaji wa hisabati. Matokeo yanaweza kuthibitishwakuichora pamoja na nambari ya kingo, nyuso au vipeo vya grafu.
Ushahidi wa Rademacher na Toeplitz
Cha kuvutia zaidi ni uthibitisho ufuatao wa Rademacher na Toeplitz, kulingana na mbinu ya Von Staudt. Ili kuhalalisha nadharia ya Euler, chukulia kuwa G ni grafu iliyounganishwa iliyopachikwa kwenye ndege. Ikiwa ina schemas, inawezekana kuwatenga makali moja kutoka kwa kila mmoja wao kwa njia ya kuhifadhi mali ambayo inabaki kushikamana. Kuna mawasiliano ya moja kwa moja kati ya sehemu zilizoondolewa kwa kwenda kwenye grafu iliyounganishwa bila kufungwa na wale ambao sio makali yasiyo na kipimo. Utafiti huu ulipelekea kuainisha "nyuso zinazoweza kuelekezwa" kulingana na sifa inayoitwa Euler.
Mviringo wa Yordani. Nadharia
Tasnifu kuu, ambayo inatumika moja kwa moja au isivyo moja kwa moja katika uthibitisho wa fomula ya polihedra ya nadharia ya Euler kwa grafu, inategemea mkunjo wa Yordani. Wazo hili linahusiana na jumla. Inasema kwamba curve yoyote rahisi iliyofungwa inagawanya ndege katika seti tatu: pointi juu yake, ndani na nje yake. Kupendezwa na fomula ya polihedra ya Euler kulivyositawi katika karne ya kumi na tisa, majaribio mengi yalifanywa kuifanya jumla. Utafiti huu uliweka msingi wa ukuzaji wa topolojia ya aljebra na kuiunganisha na nadharia ya aljebra na nambari.
Kikundi cha Moebius
Iligunduliwa hivi karibuni kuwa baadhi ya nyuso zinaweza tu "kuelekezwa" kwa njia thabiti ndani ya nchi, si kimataifa. Kikundi kinachojulikana cha Möbius kinatumika kama kielelezo cha vilenyuso. Iligunduliwa mapema na Johann Listing. Dhana hii inajumuisha dhana ya jenasi ya grafu: idadi ndogo ya vifafanuzi g. Ni lazima iongezwe kwenye uso wa nyanja, na inaweza kuingizwa kwenye uso uliopanuliwa kwa njia ambayo kando hukutana tu kwenye wima. Inabadilika kuwa uso wowote unaoweza kuelekezwa katika nafasi ya Euclidean unaweza kuzingatiwa kama tufe yenye idadi fulani ya vipini.
Mchoro wa Euler
Mwanasayansi aligundua ugunduzi mwingine, ambao bado unatumika hadi leo. Mchoro huu unaoitwa Euler ni uwakilishi wa picha wa miduara, kwa kawaida hutumiwa kuonyesha uhusiano kati ya seti au vikundi. Chati kawaida hujumuisha rangi zinazochanganyika katika maeneo ambayo miduara inapishana. Seti zinawakilishwa kwa usahihi na miduara au ovari, ingawa takwimu zingine pia zinaweza kutumika kwao. Ujumuishaji unawakilishwa na mwingiliano wa duaradufu unaoitwa miduara ya Euler.
Zinawakilisha seti na vikundi vidogo. Isipokuwa ni miduara isiyoingiliana. Michoro ya Euler inahusiana kwa karibu na uwakilishi mwingine wa picha. Mara nyingi huchanganyikiwa. Uwakilishi huu wa picha unaitwa michoro ya Venn. Kulingana na seti zinazohusika, matoleo yote mawili yanaweza kuonekana sawa. Walakini, katika michoro ya Venn, miduara inayoingiliana haimaanishi kufanana kati ya seti, lakini tu uhusiano wa kimantiki unaowezekana ikiwa lebo zao hazipo.mduara unaokatiza. Chaguzi zote mbili zilikubaliwa kwa ufundishaji wa nadharia ya seti kama sehemu ya harakati mpya ya hisabati ya miaka ya 1960.
Nadharia za Fermat na Euler
Euler aliacha alama inayoonekana katika sayansi ya hisabati. Nadharia ya nambari ya aljebra iliboreshwa na nadharia iliyopewa jina lake. Pia ni matokeo ya ugunduzi mwingine muhimu. Hii ndio inayoitwa nadharia ya jumla ya algebraic Lagrange. Jina la Euler pia linahusishwa na nadharia ndogo ya Fermat. Inasema kwamba ikiwa p ni nambari kuu na a ni nambari kamili isiyoweza kugawanywa na p, basi:
ap-1 - 1 inaweza kugawanywa kwa p.
Wakati mwingine uvumbuzi uleule huwa na jina tofauti, mara nyingi hupatikana katika fasihi ya kigeni. Inaonekana kama nadharia ya Krismasi ya Fermat. Jambo ni kwamba ugunduzi huo ulijulikana shukrani kwa barua kutoka kwa mwanasayansi iliyotumwa usiku wa kuamkia Desemba 25, 1640. Lakini taarifa yenyewe imekutana hapo awali. Ilitumiwa na mwanasayansi mwingine aitwaye Albert Girard. Fermat alijaribu tu kuthibitisha nadharia yake. Mwandishi anadokeza katika barua nyingine kwamba aliongozwa na mbinu ya asili isiyo na kikomo. Lakini hakutoa ushahidi wowote. Baadaye, Eider pia aligeukia njia hiyo hiyo. Na baada yake - wanasayansi wengine wengi maarufu, ikiwa ni pamoja na Lagrange, Gauss na Minkosky.
Vipengele vya utambulisho
Nadharia Ndogo ya Fermat pia inaitwa kisa maalum cha nadharia kutoka kwa nadharia ya nambari kutokana na Euler. Katika nadharia hii, chaguo za kukokotoa za utambulisho wa Euler huhesabu nambari kamili hadi nambari n. Wao ni coprime kwa heshima nan. Nadharia ya Euler katika nadharia ya nambari imeandikwa kwa kutumia herufi ya Kigiriki φ na inaonekana kama φ(n). Inaweza kufafanuliwa kirasmi zaidi kuwa idadi ya nambari kamili k katika safu 1 ≦ k ≦ n ambayo kigawanyo kikuu cha kawaida cha gcd(n, k) ni 1. Nukuu φ(n) pia inaweza kuitwa kitendakazi cha Euler cha phi. Nambari k za fomu hii wakati mwingine huitwa jumla. Katika moyo wa nadharia ya nambari, kazi ya utambulisho wa Euler ni ya kuzidisha, ikimaanisha kwamba ikiwa nambari mbili m na n ni za msingi, basi φ(mn)=φ(m)φ(n). Pia ina jukumu muhimu katika kufafanua mfumo wa usimbaji fiche wa RSA.
Hifadhi ya Euler ilianzishwa mwaka wa 1763. Hata hivyo, wakati huo mwanahisabati hakuchagua alama yoyote maalum kwa ajili yake. Katika uchapishaji wa 1784, Euler alisoma kazi hii kwa undani zaidi na akachagua herufi ya Kigiriki π ili kuiwakilisha. James Sylvester aliunda neno "jumla" kwa kipengele hiki. Kwa hivyo, pia inajulikana kama jumla ya Euler. Jumla ya φ(n) ya nambari kamili n kubwa kuliko 1 ni idadi ya nambari kamili chanya chini ya n ambayo ni kuu kwa kiasi hadi n.φ(1) inafafanuliwa kama 1. Chaguo za kukokotoa za Euler au phi(φ) ni nadharia ya nambari muhimu sana kipengele kinachohusiana kwa kina na nambari kuu na kinachojulikana kama mpangilio wa nambari kamili.
