Mojawapo ya matawi ya hisabati ambayo watoto wa shule hukabiliana nayo na matatizo makubwa zaidi ni trigonometry. Haishangazi: ili kujua kwa uhuru eneo hili la maarifa, unahitaji mawazo ya anga, uwezo wa kupata sines, cosines, tangents, cotangents kwa kutumia fomula, kurahisisha misemo, na kuweza kutumia nambari pi katika mahesabu. Kwa kuongeza, unahitaji kuwa na uwezo wa kutumia trigonometry wakati wa kuthibitisha nadharia, na hii inahitaji kumbukumbu ya hisabati iliyokuzwa au uwezo wa kutambua minyororo changamano ya kimantiki.
Chimbuko la Trigonometry
Utangulizi wa sayansi hii unapaswa kuanza na ufafanuzi wa sine, kosine na tanjiti ya pembe, lakini kwanza unahitaji kufahamu ni nini trigonometry hufanya kwa ujumla.
Kihistoria, pembetatu za kulia zimekuwa kitu kikuu cha utafiti katika sehemu hii ya sayansi ya hisabati. Uwepo wa angle ya digrii 90 hufanya iwezekanavyo kufanya shughuli mbalimbali zinazoruhusu mbilipande na kona moja au pembe mbili na upande mmoja kuamua maadili ya vigezo vyote vya takwimu inayohusika. Hapo awali, watu waliona muundo huu na wakaanza kuutumia kikamilifu katika ujenzi wa majengo, urambazaji, unajimu na hata sanaa.
Kuanzishwa
Hapo awali, watu walizungumza kuhusu uhusiano wa pembe na pande kwa mfano wa pembetatu za kulia. Kisha fomula maalum ziligunduliwa, ambayo ilifanya iwezekane kupanua mipaka ya matumizi katika maisha ya kila siku ya sehemu hii ya hisabati.
Somo la trigonometria shuleni leo huanza na pembetatu za kulia, kisha maarifa yanayopatikana hutumiwa na wanafunzi katika fizikia na kutatua milinganyo ya kidhana ya trigonometric, kazi ambayo huanza nayo katika shule ya upili.
Spherical trigonometry
Baadaye, sayansi ilipofikia kiwango kinachofuata cha maendeleo, fomula zenye sine, kosine, tangent, cotangent zilianza kutumika katika jiometri ya duara, ambapo sheria zingine hutumika, na jumla ya pembe katika pembetatu huwa zaidi kila wakati. zaidi ya digrii 180. Sehemu hii haijasomwa shuleni, lakini ni muhimu kujua kuhusu kuwepo kwake, angalau kwa sababu uso wa dunia, na uso wa sayari nyingine yoyote, ni convex, ambayo ina maana kwamba alama yoyote ya uso itakuwa "umbo la arc. " katika nafasi ya pande tatu.
Chukua globu na mazungumzo. Ambatanisha thread kwa pointi yoyote mbili kwenye dunia ili iwe taut. Makini - imepata sura ya arc. Inahusika na fomu kama hizojiometri ya duara inayotumika katika jiografia, unajimu na nyanja zingine za kinadharia na matumizi.
Pembetatu ya kulia
Baada ya kujifunza kidogo kuhusu njia za kutumia trigonometry, hebu turejee trigonometry ya msingi ili kuelewa zaidi sine, cosine, tangent ni nini, ni mahesabu gani yanaweza kufanywa kwa msaada wao na fomula zipi za kutumia.
Kwanza kabisa, unahitaji kuelewa dhana zinazohusiana na pembetatu sahihi. Kwanza, hypotenuse ni upande ulio kinyume na pembe ya digrii 90. Yeye ndiye mrefu zaidi. Tunakumbuka kwamba kulingana na nadharia ya Pythagorean, thamani yake ya nambari ni sawa na mzizi wa jumla wa miraba ya pande zingine mbili.
Kwa mfano, ikiwa pande mbili ni sentimita 3 na 4 mtawalia, urefu wa hypotenuse utakuwa sentimeta 5. Kwa njia, Wamisri wa kale walijua kuhusu hili kuhusu miaka elfu nne na nusu iliyopita.
Pande mbili zilizobaki zinazounda pembe ya kulia huitwa miguu. Kwa kuongeza, ni lazima tukumbuke kwamba jumla ya pembe katika pembetatu katika mfumo wa kuratibu wa mstatili ni digrii 180.
Ufafanuzi
Mwishowe, kwa kuwa na uelewa thabiti wa msingi wa kijiometri, tunaweza kugeukia fasili ya sine, kosine na tanjiti ya pembe.
Sine ya pembe ni uwiano wa mguu wa kinyume (yaani, upande ulio kinyume na pembe inayotakiwa) na hypotenuse. Kosine ya pembe ni uwiano wa mguu wa karibu na hypotenuse.
Kumbuka kwamba sine wala kosine inaweza kuwa kubwa kuliko moja! Kwa nini?Kwa sababu hypotenuse kwa chaguo-msingi ndio upande mrefu zaidi wa pembetatu ya kulia. Haijalishi mguu ni wa muda gani, utakuwa mfupi zaidi kuliko hypotenuse, ambayo ina maana kwamba uwiano wao daima utakuwa chini ya moja. Kwa hivyo, ukipata sine au kosine yenye thamani kubwa kuliko 1 katika jibu la tatizo, tafuta hitilafu katika hesabu au hoja. Jibu hili si sahihi kabisa.
Hatimaye, tanjiti ya pembe ni uwiano wa upande kinyume na upande unaopakana. Matokeo sawa yatatoa mgawanyiko wa sine na cosine. Angalia: kwa mujibu wa formula, tunagawanya urefu wa upande na hypotenuse, baada ya hapo tunagawanya kwa urefu wa upande wa pili na kuzidisha kwa hypotenuse. Kwa hivyo, tunapata uwiano sawa na katika ufafanuzi wa tanjiti.
Cotangent, mtawalia, ni uwiano wa upande unaopakana na kona na upande wa kinyume. Tunapata matokeo sawa kwa kugawa kitengo kwa tangent.
Kwa hivyo, tumezingatia fasili za sine, kosine, tanjiti na kotangenti, na tunaweza kushughulikia fomula.
Mfumo rahisi
Katika trigonometry mtu hawezi kufanya bila fomula - jinsi ya kupata sine, kosine, tanjiti, cotangent bila hizo? Lakini hii ndiyo hasa inahitajika wakati wa kutatua matatizo.
Fomula ya kwanza unayohitaji kujua unapoanza kusoma trigonometria inasema kuwa jumla ya miraba ya sine na kosine ya pembe ni sawa na moja. Fomula hii ni tokeo la moja kwa moja la nadharia ya Pythagorean, lakini inaokoa muda ikiwa unahitaji kujua thamani ya pembe, si upande.
Wanafunzi wengi hawawezi kukumbuka fomula ya pili, pia sanamaarufu katika kutatua matatizo ya shule: jumla ya moja na mraba wa tangent ya angle ni sawa na moja iliyogawanywa na mraba wa cosine ya pembe. Angalia kwa karibu: baada ya yote, hii ni taarifa sawa na katika fomula ya kwanza, pande zote mbili za utambulisho ziligawanywa na mraba wa cosine. Inatokea kwamba operesheni rahisi ya hisabati hufanya formula ya trigonometric isiyojulikana kabisa. Kumbuka: kujua sine, kosine, tanjiti na kotanjiti ni nini, kanuni za uongofu na kanuni chache za msingi, unaweza wakati wowote kujitegemea kupata fomula ngumu zaidi zinazohitajika kwenye kipande cha karatasi.
Miundo ya pembe mbili na nyongeza ya hoja
Fomula mbili zaidi za kujifunza zinahusiana na thamani za sine na kosine kwa jumla na tofauti ya pembe. Wao huonyeshwa kwenye takwimu hapa chini. Tafadhali kumbuka kuwa katika kesi ya kwanza, sine na kosine huzidishwa mara zote mbili, na katika kesi ya pili, bidhaa ya pande mbili ya sine na kosine huongezwa.
Pia kuna fomula zinazohusishwa na hoja za pembe mbili. Yametokana kabisa na yale yaliyotangulia - kama mazoezi, jaribu kuyapata wewe mwenyewe, ukichukua pembe ya alfa sawa na pembe ya beta.
Mwishowe, kumbuka kuwa fomula za pembe mbili zinaweza kubadilishwa ili kupunguza kiwango cha sine, cosine, tangent alpha.
Nadharia
Nadharia kuu mbili katika trigonometria msingi ni nadharia ya sine na nadharia ya cosine. Kwa msaada wa nadharia hizi, unaweza kuelewa kwa urahisi jinsi ya kupata sine, cosine na tangent, na kwa hivyo eneo la takwimu, na ukubwa.kila upande, n.k.
Nadharia ya sine inasema kwamba kama matokeo ya kugawanya urefu wa kila pande za pembetatu kwa thamani ya pembe kinyume, tunapata nambari sawa. Zaidi ya hayo, nambari hii itakuwa sawa na radii mbili za mduara uliozingirwa, yaani mduara ulio na pointi zote za pembetatu iliyotolewa.
Nadharia ya cosine inaleta nadharia ya Pythagorean kwa ujumla, na kuionyesha kwenye pembetatu zozote. Inatokea kwamba kutoka kwa jumla ya mraba wa pande mbili, toa bidhaa zao, kuzidishwa na cosine mara mbili ya pembe iliyo karibu nao - thamani inayotokana itakuwa sawa na mraba wa upande wa tatu. Kwa hivyo, nadharia ya Pythagorean inageuka kuwa kesi maalum ya theorem ya cosine.
Makosa kutokana na kutokuwa makini
Hata kujua sine, kosine na tangent ni nini, ni rahisi kufanya makosa kwa sababu ya kutokuwa na akili au hitilafu katika hesabu rahisi zaidi. Ili kuepuka makosa kama haya, hebu tuangalie yale maarufu zaidi.
Kwanza kabisa, usibadilishe sehemu za kawaida kuwa desimali kabla ya kupata tokeo la mwisho - unaweza kuacha jibu kama sehemu ya kawaida, isipokuwa kama ibainishwe vinginevyo katika hali. Mabadiliko hayo hayawezi kuitwa kosa, lakini ikumbukwe kwamba katika kila hatua ya kazi, mizizi mpya inaweza kuonekana, ambayo, kulingana na wazo la mwandishi, inapaswa kupunguzwa. Katika kesi hii, utapoteza muda kwa shughuli zisizohitajika za hisabati. Hii ni kweli hasa kwa maadili kama vile mzizi wa tatu au mbili, kwa sababu hutokea katika kazi katika kila hatua. Vile vile huenda kwa kuzunguka. Nambari "mbaya".
Inayofuata, kumbuka kuwa nadharia ya cosine inatumika kwa pembetatu yoyote, lakini si nadharia ya Pythagorean! Ikiwa umesahau kimakosa kuondoa mara mbili bidhaa za pande zilizozidishwa na cosine ya pembe kati yao, hautapata tu matokeo mabaya kabisa, lakini pia unaonyesha kutokuelewana kamili kwa mada. Hii ni mbaya zaidi kuliko kosa la kutojali.
Tatu, usichanganye thamani za pembe za digrii 30 na 60 za sine, kosini, tanjenti, kotangenti. Kumbuka maadili haya, kwa sababu sine ya digrii 30 ni sawa na cosine ya 60, na kinyume chake. Ni rahisi kuzichanganya, na bila shaka utapata matokeo yenye makosa.
Maombi
Wanafunzi wengi hawana haraka ya kuanza kusoma trigonometry, kwa sababu hawaelewi maana yake inayotumika. Sine, kosine, tanjenti ni nini kwa mhandisi au mwanaastronomia? Hizi ni dhana za shukrani ambazo unaweza kuhesabu umbali wa nyota za mbali, kutabiri kuanguka kwa meteorite, kutuma uchunguzi wa utafiti kwenye sayari nyingine. Bila yao, haiwezekani kujenga jengo, kubuni gari, kuhesabu mzigo juu ya uso au trajectory ya kitu. Na hii ni mifano ya wazi zaidi! Baada ya yote, trigonometry kwa namna moja au nyingine inatumika kila mahali, kuanzia muziki hadi dawa.
Kwa kumalizia
Kwa hivyo, unajua sine, kosine, tangent ni nini. Unaweza kuzitumia katika kukokotoa na kutatua matatizo ya shule kwa mafanikio.
Suala zimatrigonometry imepunguzwa kwa ukweli kwamba kwa mujibu wa vigezo vinavyojulikana vya pembetatu, ni muhimu kuhesabu haijulikani. Kuna vigezo sita kwa jumla: urefu wa pande tatu na ukubwa wa pembe tatu. Tofauti nzima katika majukumu iko katika ukweli kwamba data tofauti za ingizo hutolewa.
Jinsi ya kupata sine, kosine, tanjiti kulingana na urefu unaojulikana wa miguu au hypotenuse, sasa unajua. Kwa kuwa maneno haya hayamaanishi chochote zaidi ya uwiano, na uwiano ni sehemu, lengo kuu la tatizo la trigonometric ni kupata mizizi ya equation ya kawaida au mfumo wa equations. Na hapa hisabati ya kawaida ya shule itakusaidia.
