Georg Kantor (picha imetolewa baadaye katika makala) ni mwanahisabati Mjerumani ambaye aliunda nadharia iliyowekwa na kuanzisha dhana ya nambari transfinite, kubwa sana, lakini tofauti kutoka kwa nyingine. Pia alifafanua nambari za kawaida na za kardinali na kuunda hesabu zao.
Georg Kantor: wasifu mfupi
Alizaliwa St. Petersburg tarehe 1845-03-03. Baba yake alikuwa Mdenmark wa imani ya Kiprotestanti, Georg-Valdemar Kantor, ambaye alikuwa akijishughulisha na biashara, ikiwa ni pamoja na kwenye soko la hisa. Mama yake Maria Bem alikuwa Mkatoliki na alitoka katika familia ya wanamuziki mashuhuri. Baba ya Georg alipougua mwaka wa 1856, familia hiyo ilihamia kwanza Wiesbaden na kisha Frankfurt kutafuta hali ya hewa tulivu. Vipaji vya hisabati vya mvulana huyo vilionekana hata kabla ya siku yake ya kuzaliwa ya 15 alipokuwa akisoma katika shule za kibinafsi na ukumbi wa mazoezi huko Darmstadt na Wiesbaden. Hatimaye, Georg Cantor alimshawishi baba yake kuhusu nia yake thabiti ya kuwa mwanahisabati, si mhandisi.
Baada ya utafiti mfupi katika Chuo Kikuu cha Zurich, mnamo 1863 Kantor alihamishiwa Chuo Kikuu cha Berlin ili kusoma fizikia, falsafa na hisabati. Huko kwakealifundisha:
- Karl Theodor Weierstrass, ambaye utaalamu wake katika uchanganuzi pengine ulikuwa na ushawishi mkubwa zaidi kwa Georg;
- Ernst Eduard Kummer, aliyefundisha hesabu za juu;
- Leopold Kronecker, mwananadharia wa nambari ambaye baadaye alimpinga Cantor.
Baada ya kukaa muhula mmoja katika Chuo Kikuu cha Göttingen mnamo 1866, mwaka uliofuata Georg aliandika tasnifu yake ya udaktari yenye kichwa "Katika hisabati sanaa ya kuuliza maswali ni ya thamani zaidi kuliko kutatua matatizo", kuhusu tatizo ambalo Carl Friedrich Gauss alikuwa nalo. iliyoachwa bila kutatuliwa katika Arithmeticae yake ya Disquisitiones (1801). Baada ya kufundisha kwa ufupi katika Shule ya Wasichana ya Berlin, Kantor alianza kufanya kazi katika Chuo Kikuu cha Halle, ambako alikaa hadi mwisho wa maisha yake, kwanza kama mwalimu, kutoka 1872 kama profesa msaidizi, na kutoka 1879 kama profesa.
Utafiti
Mwanzoni mwa mfululizo wa karatasi 10 kutoka 1869 hadi 1873, Georg Cantor alizingatia nadharia ya nambari. Kazi hiyo ilionyesha shauku yake kwa somo, masomo yake ya Gauss na ushawishi wa Kronecker. Kwa pendekezo la Heinrich Eduard Heine, mfanyakazi mwenza wa Cantor huko Halle, ambaye alitambua kipaji chake cha hisabati, aligeukia nadharia ya mfululizo wa trigonometric, ambapo alipanua dhana ya nambari halisi.
Kulingana na kazi ya utendakazi wa kigezo changamano na mwanahisabati Mjerumani Bernhard Riemann mwaka wa 1854, mwaka wa 1870 Kantor alionyesha kuwa utendaji kama huo unaweza kuwakilishwa kwa njia moja pekee - kwa mfululizo wa trigonometric. Kuzingatia seti ya nambari (pointi) ambazohaingepingana na maoni kama haya, ilimpeleka, kwanza, mnamo 1872 kwa ufafanuzi wa nambari zisizo na maana kwa suala la mlolongo wa kuunganika wa nambari za busara (vipande vya nambari) na zaidi hadi mwanzo wa kazi ya kazi ya maisha yake, nadharia iliyowekwa na dhana. ya nambari dhahiri.
Weka Nadharia
Georg Cantor, ambaye nadharia yake kamili ilitokana na mawasiliano na mwanahisabati wa Taasisi ya Kiufundi ya Braunschweig Richard Dedekind, alikuwa rafiki yake tangu utotoni. Walihitimisha kuwa seti, ziwe na kikomo au zisizo na kikomo, ni mkusanyo wa vipengele (km nambari, {0, ±1, ±2…}) ambavyo vina sifa fulani huku vikihifadhi umoja wao. Lakini Georg Cantor alipotumia mawasiliano ya mmoja-mmoja (kwa mfano, {A, B, C} hadi {1, 2, 3}) ili kuchunguza sifa zao, alitambua haraka kwamba wanatofautiana katika kiwango chao cha uanachama, hata. ikiwa vilikuwa seti zisizo na kikomo., yaani seti, sehemu au kikundi kidogo ambacho kinajumuisha vitu vingi kama yenyewe. Mbinu yake ilitoa matokeo ya kushangaza hivi karibuni.
Mnamo 1873, Georg Cantor (mwanahisabati) alionyesha kwamba nambari za kimantiki, ingawa hazina kikomo, zinaweza kuhesabika kwa sababu zinaweza kuwekwa katika mawasiliano ya moja kwa moja na nambari asilia (yaani 1, 2, 3, n.k.). d.). Alionyesha kuwa seti ya nambari halisi, inayojumuisha zile zisizo na akili na za busara, haina mwisho na haiwezi kuhesabika. Kwa kushangaza zaidi, Cantor alithibitisha kuwa seti ya nambari zote za aljebra ina vipengele vingi kama vileseti ya nambari zote ni ngapi, na kwamba nambari zinazopita maumbile, ambazo si aljebra, ambazo ni kikundi kidogo cha nambari zisizo na mantiki, hazihesabiki na, kwa hivyo, idadi yao ni kubwa kuliko nambari kamili, na inapaswa kuzingatiwa kuwa isiyo na kikomo.
Wapinzani na wafuasi
Lakini karatasi ya Kantor, ambayo alitoa matokeo haya mara ya kwanza, haikuchapishwa katika Krell, kwa vile mmoja wa wakaguzi, Kronecker, alipingwa vikali. Lakini baada ya uingiliaji wa Dedekind, ilichapishwa mnamo 1874 chini ya kichwa "Juu ya sifa za nambari zote za algebraic."
Sayansi na maisha ya kibinafsi
Mwaka huohuo, akiwa kwenye fungate na mkewe Wally Gutman huko Interlaken, Uswizi, Kantor alikutana na Dedekind, ambaye alizungumza vyema kuhusu nadharia yake mpya. Mshahara wa George ulikuwa mdogo, lakini kwa pesa za baba yake, aliyekufa mwaka wa 1863, alijenga nyumba kwa ajili ya mke wake na watoto watano. Nyaraka zake nyingi zilichapishwa nchini Uswidi katika jarida jipya la Acta Mathematica, lililohaririwa na kuanzishwa na Gesta Mittag-Leffler, ambaye alikuwa miongoni mwa watu wa kwanza kutambua kipawa cha mwanahisabati huyo wa Ujerumani.
Muunganisho na metafizikia
Nadharia ya Cantor ikawa somo jipya kabisa la masomo kuhusu hisabati ya isiyo na kikomo (km mfululizo wa 1, 2, 3, n.k., na seti changamano zaidi), ambayo ilitegemea pakubwa mawasiliano ya mtu mmoja-mmoja. Maendeleo ya Kantor ya mbinu mpya za upangajimaswali kuhusu kuendelea na kutokuwa na mwisho, yaliupa utafiti wake tabia yenye utata.
Alipobishana kwamba idadi isiyo na kikomo kweli ipo, aligeukia falsafa ya kale na ya zama za kati kuhusu kutokuwa na ukomo halisi na unaowezekana, pamoja na elimu ya awali ya kidini ambayo wazazi wake walimpa. Mnamo 1883, katika kitabu chake Foundations of General Set Theory, Kantor alichanganya dhana yake na metafizikia ya Plato.
Kronecker, ambaye alidai kwamba nambari kamili pekee ndizo "zilizopo" ("Mungu aliumba nambari kamili, zilizosalia ni kazi ya mwanadamu"), kwa miaka mingi alikataa vikali mawazo yake na kuzuia uteuzi wake katika Chuo Kikuu cha Berlin.
Nambari zisizo na kikomo
Mwaka 1895-97. Georg Cantor aliunda kikamilifu wazo lake la mwendelezo na kutokuwa na kikomo, ikijumuisha nambari zisizo na kikomo za ordinal na kardinali, katika kazi yake maarufu zaidi, iliyochapishwa kama Michango kwa Uanzishwaji wa Nadharia ya Nambari Zisizo na Ukomo (1915). Insha hii ina dhana yake, ambayo aliongozwa kwa kuonyesha kwamba seti isiyo na kikomo inaweza kuwekwa katika mawasiliano ya mtu-mmoja na mojawapo ya sehemu zake ndogo.
Chini ya nambari ya kadinali isiyo na kikomo kabisa, alimaanisha ukadinali wa seti yoyote inayoweza kuwekwa katika mawasiliano ya mtu-mmoja na nambari asilia. Cantor aliiita aleph-null. Seti kubwa za transfinite zinaashiria aleph-one, aleph-mbili, n.k. Aliendeleza zaidi hesabu ya nambari bainifu, ambayo ilikuwa sawa na hesabu kikomo. hivyo, yeyeiliboresha dhana ya kutokuwa na mwisho.
Upinzani aliokumbana nao na muda uliochukua kwa mawazo yake kukubalika kikamilifu ni kutokana na ugumu wa kutathmini upya swali la kale la nambari ni nini. Cantor alionyesha kuwa seti ya pointi kwenye mstari ina kadinali ya juu kuliko aleph-sifuri. Hii ilisababisha shida inayojulikana ya nadharia ya kuendelea - hakuna nambari za kardinali kati ya aleph-zero na nguvu ya alama kwenye mstari. Tatizo hili katika nusu ya kwanza na ya pili ya karne ya 20 liliamsha shauku kubwa na lilichunguzwa na wanahisabati wengi, kutia ndani Kurt Gödel na Paul Cohen.
Mfadhaiko
Wasifu wa Georg Kantor tangu 1884 uligubikwa na ugonjwa wake wa akili, lakini aliendelea kufanya kazi kwa bidii. Mnamo 1897 alisaidia kufanya kongamano la kwanza la hisabati la kimataifa huko Zurich. Kwa kiasi fulani kwa sababu alipingwa na Kronecker, mara nyingi aliwahurumia vijana wenye ujuzi wa hesabu na kutafuta njia ya kuwaokoa kutokana na kunyanyaswa na walimu waliohisi kutishiwa na mawazo mapya.
Utambuzi
Mwanzoni mwa karne hii, kazi yake ilitambuliwa kikamilifu kama msingi wa nadharia ya utendakazi, uchanganuzi na topolojia. Kwa kuongezea, vitabu vya Cantor Georg vilitumika kama kichocheo cha maendeleo zaidi ya shule za intuitionist na rasmi za misingi ya kimantiki ya hisabati. Hii ilibadilisha sana mfumo wa ufundishaji na mara nyingi huhusishwa na "hisabati mpya".
Mnamo 1911, Kantor alikuwa miongoni mwa walioalikwamaadhimisho ya miaka 500 ya Chuo Kikuu cha St. Andrews huko Scotland. Alikwenda huko kwa matumaini ya kukutana na Bertrand Russell, ambaye, katika kazi yake iliyochapishwa hivi karibuni Principia Mathematica, alirejea mara kwa mara kwa mtaalamu wa hisabati wa Ujerumani, lakini hii haikutokea. Chuo kikuu kilimtunuku Kantor shahada ya heshima, lakini kutokana na ugonjwa hakuweza kupokea tuzo hiyo ana kwa ana.
Kantor alistaafu mwaka wa 1913, aliishi katika umaskini na njaa wakati wa Vita vya Kwanza vya Ulimwengu. Sherehe za kuheshimu siku yake ya kuzaliwa ya 70 mnamo 1915 zilifutwa kwa sababu ya vita, lakini sherehe ndogo ilifanyika nyumbani kwake. Alikufa mnamo 1918-06-01 huko Halle, katika hospitali ya magonjwa ya akili, ambapo alikaa miaka ya mwisho ya maisha yake.
Georg Kantor: wasifu. Familia
Agosti 9, 1874, mwanahisabati Mjerumani alimuoa Wally Gutmann. Wenzi hao walikuwa na wana 4 na binti 2. Mtoto wa mwisho alizaliwa mnamo 1886 katika nyumba mpya iliyonunuliwa na Kantor. Urithi wa baba yake ulimsaidia kutunza familia yake. Afya ya Kantor iliathiriwa pakubwa na kifo cha mwanawe mdogo mnamo 1899, na huzuni haijamwacha tangu wakati huo.
