Matumizi ya derivative. Kupanga njama na Viingilio

2024 Mwandishi: Angel Austin | [email protected]. Mwisho uliobadilishwa: 2023-12-17 05:42

Hisabati asili yake ni Mambo ya Kale. Shukrani kwake, usanifu, ujenzi na sayansi ya kijeshi ilitoa mzunguko mpya wa maendeleo, mafanikio ambayo yalipatikana kwa msaada wa hisabati yalisababisha harakati za maendeleo. Hadi leo, hisabati inasalia kuwa sayansi kuu inayopatikana katika matawi mengine yote.

Ili kuelimishwa, watoto kutoka darasa la kwanza huanza kujumuika katika mazingira haya. Ni muhimu sana kuelewa hisabati, kwani, kwa kiwango kimoja au kingine, hutokea kwa kila mtu katika maisha yake yote. Nakala hii itachambua moja ya vipengele muhimu - kutafuta na kutumia derivatives. Sio kila mtu anayeweza kufikiria jinsi dhana hii inatumiwa kwa upana. Zingatia zaidi ya matumizi 10 ya viingilio katika nyanja au sayansi fulani.

Matumizi ya kiingilio katika utafiti wa chaguo za kukokotoa

Derivative ni kikomouwiano wa nyongeza ya chaguo za kukokotoa kwa nyongeza ya hoja yake wakati kipeo cha hoja kinaelekea sifuri. Derivative ni jambo la lazima katika utafiti wa chaguo la kukokotoa. Kwa mfano, inaweza kutumika kuamua kuongezeka na kupungua kwa mwisho, extrema, convexity na concavity. Kokotoo tofauti imejumuishwa katika mtaala wa lazima kwa wanafunzi wa mwaka wa 1 na wa 2 wa vyuo vikuu vya hisabati.

Upeo na sufuri za fomula

Hatua ya kwanza ya utafiti wowote wa grafu huanza na kutafuta kikoa cha ufafanuzi, katika hali nadra zaidi - thamani. Kikoa cha ufafanuzi kimewekwa kando ya mhimili wa abscissa, kwa maneno mengine, hizi ni maadili ya nambari kwenye mhimili wa OX. Mara nyingi wigo umewekwa tayari, lakini ikiwa sivyo, basi thamani ya hoja ya x inapaswa kutathminiwa. Tuseme, ikiwa kwa baadhi ya thamani za hoja utendakazi hauna maana, basi hoja hii haijajumuishwa kwenye upeo.

Sufuri za chaguo za kukokotoa zinapatikana kwa njia rahisi: chaguo za kukokotoa f(x) inapaswa kusawazishwa hadi sufuri na mlinganyo unaotokana unapaswa kutatuliwa kwa kuzingatia kigezo kimoja cha x. Mizizi iliyopatikana ya equation ni sufuri za chaguo za kukokotoa, yaani, katika hizi x kitendakazi ni 0.

Ongeza na punguza

Matumizi ya kinyambulisho kutafiti vitendakazi kwa monotonicity inaweza kuzingatiwa kutoka nafasi mbili. Kitendaji cha monotonic ni kategoria ambayo ina maadili chanya tu ya derivative, au tu maadili hasi. Kwa maneno rahisi, chaguo za kukokotoa huongezeka tu au hupungua kwa muda wote wa masomo:

Ongeza kigezo. Kazif(x) itaongezeka ikiwa kinyago cha f`(x) ni kikubwa kuliko sufuri.
Kigezo cha kushuka. Chaguo za kukokotoa za f(x) zitapungua ikiwa kinyago cha f`(x) ni chini ya sifuri.

Tangent na Mteremko

Utumizi wa kiingilio katika uchunguzi wa chaguo za kukokotoa pia hubainishwa na tanjenti (mstari ulionyooka unaoelekezwa kwa pembe) kwa grafu ya chaguo za kukokotoa katika sehemu fulani. Tangenti katika hatua moja (x₀) - mstari unaopita kwenye ncha na ni ya chaguo za kukokotoa ambazo viwianishi vyake ni (x₀, f(x 0 _{)) na kuwa na mteremko f`(x}0_).).

y=f(x₀) + f`(x₀)(x - x₀) - mlinganyo wa tanjenti hadi sehemu fulani ya grafu ya chaguo la kukokotoa.

Maana ya kijiometri ya toleo la kukokotoa: kinyago cha chaguo za kukokotoa f(x) ni sawa na mteremko wa tanjenti iliyoundwa hadi grafu ya chaguo hili la kukokotoa katika sehemu fulani x. Mgawo wa angular, kwa upande wake, ni sawa na tangent ya angle ya mwelekeo wa tangent kwa mhimili wa OX (abscissa) katika mwelekeo mzuri. Ufuataji huu ni msingi katika utumiaji wa kiingilio kwenye grafu ya chaguo za kukokotoa.

Alama za juu

Kutumia kiingilio kwenye utafiti kunahusisha kupata pointi za juu na za chini.

Ili kupata na kubainisha pointi za chini kabisa na za juu zaidi, lazima:

Tafuta toleo la kukokotoa la chaguo za kukokotoa f(x).
Weka mlingano unaotokana kuwa sufuri.
Tafuta mizizi ya mlingano.
Tafuta pointi za juu na za chini.

Ili kupata uliokithirivipengele:

Tafuta pointi za chini na za juu zaidi ukitumia mbinu iliyo hapo juu.
Badilisha pointi hizi kwenye mlingano asilia na ukokote y_max na y_min

Kipeo cha juu cha chaguo za kukokotoa ni thamani kubwa zaidi ya chaguo za kukokotoa f(x) kwenye muda, kwa maneno mengine x_max.

Kipengele cha chini cha chaguo za kukokotoa ni thamani ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa f(x) kwenye muda, kwa maneno mengine x_jina

Alama za juu ni sawa na alama za juu na za chini zaidi, na upeo wa chaguo za kukokotoa (y_{max. na} y_{chini zaidi}) - thamani za utendakazi zinazolingana na alama za juu zaidi.

Convexity na concavity

Unaweza kubaini mnyauko na upenyo kwa kuamua kutumia kinyambulisho kupanga kupanga:

Kitendakazi cha f(x) kinachochunguzwa kwenye muda (a, b) kinabadilika ikiwa chaguo hili la kukokotoa liko chini ya viambajengo vyake vyote ndani ya muda huu.
Kitendakazi cha f(x) kilichochunguzwa kwenye muda (a, b) ni laini ikiwa chaguo za kukokotoa ziko juu ya viambajengo vyake vyote ndani ya muda huu.

Njia inayotenganisha unyambulishaji na upenyo inaitwa sehemu ya kugeuza ya chaguo za kukokotoa.

Ili kupata alama za inflection:

Tafuta pointi muhimu za aina ya pili (derivative ya pili).
Njia za mkato ni zile nukta muhimu zinazotenganisha ishara mbili tofauti.
Kokotoa thamani za chaguo za kukokotoa katika sehemu za mkao wa kukokotoa.

Vitengo vingine

Maombikuna derivatives ya aina hii katika matatizo ambapo variable zaidi ya moja haijulikani hutumiwa. Mara nyingi, derivatives vile hukutana wakati wa kupanga grafu ya kazi, kwa usahihi zaidi, nyuso katika nafasi, ambapo badala ya shoka mbili kuna tatu, kwa hiyo, kiasi tatu (vigezo viwili na moja ya mara kwa mara).

Kanuni ya msingi wakati wa kukokotoa baadhi ya viingilio ni kuchagua kigezo kimoja na kuchukulia vingine kama viunga. Kwa hivyo, wakati wa kuhesabu derivative ya sehemu, mara kwa mara inakuwa kama thamani ya nambari (katika jedwali nyingi za derivatives, zinaonyeshwa kama C=const). Maana ya derivative kama hiyo ni kasi ya mabadiliko ya chaguo za kukokotoa z=f(x, y) kando ya shoka za OX na OY, yaani, inabainisha mwinuko wa miteremko na uvimbe wa uso uliojengwa.

Nyenzo katika fizikia

Matumizi ya derivative katika fizikia yameenea na ni muhimu. Maana ya kimwili: derivative ya njia kwa heshima na wakati ni kasi, na kuongeza kasi ni derivative ya kasi kwa heshima na wakati. Kutokana na maana ya kimwili, matawi mengi yanaweza kuvutwa kwa matawi mbalimbali ya fizikia, huku yakihifadhi kabisa maana ya kiingilizi.

Kwa usaidizi wa kiingilio, maadili yafuatayo yanapatikana:

Kasi katika kinematics, ambapo derivative ya umbali uliosafirishwa huhesabiwa. Ikiwa derivative ya pili ya njia au derivative ya kwanza ya kasi hupatikana, basi kuongeza kasi ya mwili hupatikana. Kwa kuongeza, inawezekana kupata kasi ya papo hapo ya hatua ya nyenzo, lakini kwa hili ni muhimu kujua ongezeko ∆t na ∆r.
Katika mienendo ya kielektroniki:hesabu ya nguvu ya papo hapo ya sasa mbadala, pamoja na EMF ya induction ya umeme. Kwa kuhesabu derivative, unaweza kupata nguvu ya juu. Nyingine ya kiasi cha chaji ya umeme ni nguvu ya sasa katika kondakta.

Nyenzo za kemia na baiolojia

Kemia: Nyingine hutumika kubainisha kasi ya mmenyuko wa kemikali. Maana ya kemikali ya derivative: kazi p=p (t), katika kesi hii p ni kiasi cha dutu inayoingia katika mmenyuko wa kemikali kwa wakati t. ∆t - nyongeza ya muda, ∆p - ongezeko la wingi wa dutu. Kikomo cha uwiano wa ∆p hadi ∆t, ambapo ∆t huwa na sifuri, huitwa kiwango cha mmenyuko wa kemikali. Thamani ya wastani ya mmenyuko wa kemikali ni uwiano ∆p/∆t. Wakati wa kuamua kasi, ni muhimu kujua hasa vigezo vyote muhimu, hali, kujua hali ya jumla ya dutu na kati ya mtiririko. Hiki ni kipengele kikubwa sana katika kemia, ambacho kinatumika sana katika tasnia mbalimbali na shughuli za binadamu.

Biolojia: dhana ya derivative hutumika kukokotoa wastani wa kiwango cha uzazi. Maana ya kibayolojia: tunayo kazi y=x(t). ∆t - ongezeko la wakati. Kisha, kwa msaada wa mabadiliko fulani, tunapata kazi y`=P (t)=x` (t) - shughuli muhimu ya idadi ya watu wa wakati t (kiwango cha wastani cha uzazi). Matumizi haya ya kiingilio hukuruhusu kuweka takwimu, kufuatilia kasi ya kuzaliana na kadhalika.

Nyenzo katika jiografia na uchumi

Nyingine huruhusu wanajiografia kuamuakazi kama vile kutafuta idadi ya watu, kuhesabu maadili katika seismografia, kuhesabu mionzi ya viashiria vya kijiofizikia ya nyuklia, kuhesabu tafsiri.

Katika uchumi, sehemu muhimu ya hesabu ni calculus tofauti na hesabu ya derivative. Kwanza kabisa, hii inaruhusu sisi kuamua mipaka ya maadili muhimu ya kiuchumi. Kwa mfano, tija ya juu na ya chini ya kazi, gharama, faida. Kimsingi, thamani hizi hukokotwa kutoka kwa grafu za chaguo za kukokotoa, ambapo hupata kiwango cha juu zaidi, huamua monotonicity ya chaguo za kukokotoa katika eneo linalohitajika.

Hitimisho

Jukumu la kokotoo hili tofauti linahusika, kama ilivyobainishwa katika makala, katika miundo mbalimbali ya kisayansi. Matumizi ya kazi za derivative ni kipengele muhimu katika sehemu ya vitendo ya sayansi na uzalishaji. Sio bure kwamba tulifundishwa katika shule ya upili na chuo kikuu kuunda grafu ngumu, kuchunguza na kufanyia kazi kazi. Kama unaweza kuona, bila derivatives na mahesabu tofauti, haiwezekani kuhesabu viashiria muhimu na kiasi. Mwanadamu amejifunza kuiga michakato mbalimbali na kuichunguza, kutatua matatizo changamano ya hisabati. Hakika, hisabati ndiyo malkia wa sayansi zote, kwa sababu sayansi hii inazingatia taaluma zingine zote za asili na kiufundi.