Mduara ndio kielelezo kikuu katika jiometri, sifa ambazo huzingatiwa shuleni katika daraja la 8. Moja ya shida za kawaida zinazohusiana na mduara ni kupata eneo la sehemu yake, ambayo inaitwa sekta ya mviringo. Makala hutoa fomula za eneo la sekta na urefu wa arc yake, na pia mfano wa matumizi yao kwa kutatua tatizo fulani.
Dhana ya duara na duara
Kabla ya kutoa fomula ya eneo la sekta ya duara, hebu tuzingatie takwimu iliyoonyeshwa ni nini. Kulingana na ufafanuzi wa hisabati, duara hueleweka kama kielelezo kwenye ndege, pointi zake zote ziko sawa kutoka sehemu fulani (katikati).
Wakati wa kuzingatia mduara, istilahi ifuatayo inatumika:
- Radius - sehemu inayochorwa kutoka sehemu ya kati hadi ukingo wa mduara. Kwa kawaida huashiriwa na herufi R.
- Kipenyo ni sehemu inayounganisha pointi mbili za mduara, lakini pia hupitia katikati ya takwimu. Kwa kawaida huashiriwa kwa herufi D.
- Tao ni sehemu ya mduara uliopindwa. Hupimwa ama kwa vizio vya urefu au kwa kutumia pembe.
Mduara ni kielelezo kingine muhimu cha jiometri, ni mkusanyiko wa pointi ambazo zinafungwa na mduara uliopinda.
Eneo la mduara na mduara
Thamani zilizobainishwa katika kichwa cha kipengee huhesabiwa kwa kutumia fomula mbili rahisi. Zimeorodheshwa hapa chini:
- Mduara: L=2piR.
- Eneo la mduara: S=piR2.
Katika fomula hizi, pi inaitwa Pi isiyobadilika. Haina maana, yaani, haiwezi kuonyeshwa hasa kama sehemu rahisi. Pi ni takriban 3.1416.
Kama unavyoona kutoka kwa vielezi hapo juu, ili kukokotoa eneo na urefu, inatosha kujua tu kipenyo cha duara.
Eneo la sekta ya duara na urefu wa safu yake
Kabla ya kuzingatia fomula zinazolingana, tunakumbuka kwamba pembe katika jiometri kwa kawaida huonyeshwa kwa njia kuu mbili:
- katika digrii za jinsia, na mzunguko kamili kuzunguka mhimili wake ni 360o;
- katika radiani, ikionyeshwa kama sehemu za pi na zinazohusiana na digrii kwa mlinganyo ufuatao: 2pi=360o.
Sekta ya duara ni kielelezo kilichofungwa na mistari mitatu: safu ya duara na radii mbili ziko kwenye ncha za safu hii. Mfano wa sekta ya mduara umeonyeshwa kwenye picha hapa chini.
Kupata wazo la sekta ya mduara ni nini, ni rahisikuelewa jinsi ya kuhesabu eneo lake na urefu wa arc sambamba. Inaweza kuonekana kutoka kwa takwimu hapo juu kwamba arc ya sekta inafanana na angle θ. Tunajua kwamba mduara kamili unalingana na radiani 2pi, kwa hivyo fomula ya eneo la sekta ya duara itachukua fomu: S1=Sθ/(2 pi)=piR 2θ/(2pi)=θR2/2. Hapa pembe θ inaonyeshwa kwa radiani. Fomula sawa ya eneo la sekta, ikiwa pembe θ inapimwa kwa digrii, itaonekana kama hii: S1=piθR2 /360.
Urefu wa safu inayounda sekta huhesabiwa kwa fomula: L1=θ2piR/(2pi)=θR. Na ikiwa θ inajulikana kwa digrii, basi: L1=piθR/180.
Mfano wa utatuzi wa matatizo
Wacha tutumie mfano wa tatizo rahisi kuonyesha jinsi ya kutumia fomula za eneo la sekta ya duara na urefu wa arc yake.
Inajulikana kuwa gurudumu lina spika 12. Wakati gurudumu hufanya mapinduzi moja kamili, inashughulikia umbali wa mita 1.5. Je! ni eneo gani lililofungwa kati ya spika mbili zilizo karibu za gurudumu, na urefu wa safu ni upi kati yao?
Kama unavyoweza kuona kutoka kwa fomula zinazolingana, ili kuzitumia, unahitaji kujua idadi mbili: radius ya duara na pembe ya arc. Radi inaweza kuhesabiwa kutokana na kujua mduara wa gurudumu, kwani umbali uliosafirishwa nayo katika mapinduzi moja inalingana nayo. Tuna: 2Rpi=1.5, kutoka wapi: R=1.5 / (2pi)=0.2387 mita. Pembe kati ya spokes ya karibu inaweza kuamua kwa kujua idadi yao. Kwa kudhani kuwa wasemaji wote 12 wanagawanya mduara sawasawa katika sekta sawa, tunapata sekta 12 zinazofanana. Ipasavyo, kipimo cha angular cha arc kati ya spokes mbili ni: θ=2pi/12=pi/6=0.5236 radian.
Tumepata thamani zote zinazohitajika, sasa zinaweza kubadilishwa kuwa fomula na kukokotoa thamani zinazohitajika kulingana na hali ya tatizo. Tunapata: S1=0.5236(0.2387)2/2=0.0149 m2, au 149cm2; L1=0.52360.2387=0.125 m au cm 12.5.
