Katika hisabati, hesabu ya moduli ni mfumo wa kukokotoa kwa nambari kamili, kwa usaidizi ambao "hugeuza" zinapofikia thamani fulani - moduli (au wingi wao). Mbinu ya kisasa ya aina hii ya sayansi ilitengenezwa na Carl Friedrich Gauss katika Arithmeticae yake ya Disquisitiones iliyochapishwa mnamo 1801. Wanasayansi wa kompyuta wanapenda sana kutumia njia hii, kwa kuwa inavutia sana na inafungua uwezekano fulani mpya katika utendakazi wa nambari.
Essence
Kwa sababu idadi ya saa huanza tena baada ya kufikia 12, ni modulo ya hesabu ya 12. Kulingana na ufafanuzi hapa chini, 12 inalingana sio tu na 12, lakini pia na 0, hivyo mtu anaweza pia kutaja wakati unaoitwa " 12:00". "0:00". Baada ya yote, 12 ni sawa na 0 modulo 12.
Hesabu ya moduli inaweza kuchakatwa kihisabati kwa kuanzisha uhusiano sawia na nambari kamili unaoendana na utendakazi kwenye nambari kamili.nambari: kuongeza, kutoa na kuzidisha. Kwa nambari kamili n, nambari mbili a na b zinasemekana kuwa modulo mpatano n ikiwa tofauti zao a - b ni kizidishio cha n (hiyo ni, ikiwa kuna nambari k kamili kwamba a - b=kn).
Makato
Katika hisabati ya kinadharia, hesabu ya moduli ni mojawapo ya misingi ya nadharia ya nambari, inayoathiri takriban vipengele vyote vya utafiti wake, na pia hutumiwa sana katika nadharia ya vikundi, pete, mafundo na algebra ya kufikirika. Katika nyanja ya matumizi ya hisabati, inatumika katika aljebra ya kompyuta, kriptografia, sayansi ya kompyuta, kemia, sanaa ya kuona na muziki.
Mazoezi
Utumizi unaotumika sana ni kukokotoa hesabu za hundi katika vitambulishi vya nambari za mfululizo. Kwa mfano, baadhi ya viwango vya kawaida vya vitabu vinatumia modulo ya 11 ya hesabu (ikiwa imetolewa kabla ya Januari 1, 2007) au modulo 10 (ikiwa imetolewa kabla au baada ya Januari 1, 2007). Vile vile, kwa mfano, katika Nambari za Akaunti ya Benki ya Kimataifa (IBANs). Hii hutumia hesabu ya modulo 97 kugundua hitilafu za ingizo za mtumiaji katika nambari za akaunti ya benki.
Katika kemia, tarakimu ya mwisho ya nambari ya usajili ya CAS (nambari ya kipekee ya utambulisho kwa kila mchanganyiko wa kemikali) ni tarakimu ya hundi. Inakokotolewa kwa kuchukua tarakimu ya mwisho ya sehemu mbili za kwanza za nambari ya usajili ya CAS ikizidishwa na 1, tarakimu iliyotangulia mara 2, tarakimu iliyotangulia mara 3, n.k., kuijumlisha yote na kukokotoa jumla modulo 10.
Sikriptografia ni nini? Ukweli ni kwambaina uhusiano mkubwa sana na mada inayojadiliwa. Katika kriptografia, sheria za hesabu za msimu huzingatia moja kwa moja mifumo ya ufunguo wa umma kama vile RSA na Diffie-Hellman. Hapa hutoa sehemu zenye kikomo ambazo zinaweka mikunjo ya duaradufu. Hutumika katika algoriti mbalimbali za funguo za ulinganifu, ikiwa ni pamoja na Kiwango cha Kina cha Usimbaji Fiche (AES), Kanuni za Kimataifa za Usimbaji Data, na RC4.
Maombi
Njia hii inatumika katika maeneo ambayo unahitaji kusoma nambari. Ilianzishwa na wanahisabati, na kila mtu anaitumia, hasa wanasayansi wa kompyuta. Hii imeandikwa vyema katika vitabu kama Modular Hesabu kwa Dummies. Hata hivyo, wataalamu kadhaa wanapendekeza kutochukulia fasihi kama hiyo kwa uzito.
Katika sayansi ya kompyuta, hesabu ya moduli mara nyingi hutumika katika shughuli kidogo na nyinginezo zinazohusisha miundo ya data ya upana usiobadilika. Wachambuzi wanapenda kuitumia. Operesheni ya modulo inatekelezwa katika lugha nyingi za programu na vikokotoo. Katika kesi hii, ni mfano mmoja wa maombi hayo. Ulinganisho wa modulo, mgawanyiko na salio, na hila zingine pia hutumika katika upangaji programu.
Katika muziki, modulo ya 12 ya hesabu hutumika wakati wa kuzingatia mfumo wa halijoto sawa wa toni kumi na mbili, ambapo oktava na enharmonic ni sawa. Kwa maneno mengine, funguo katika uwiano 1-2 au 2-1 ni sawa. Katika muziki na wanadamu wengine, hesabu ina jukumu kubwa, lakini katika vitabu vya kiadawanasayansi wa kompyuta huwa hawaandiki kuihusu.
Njia ya kupunguza tisa
Njia ya ubadilishaji ya 9s inatoa hundi ya haraka ya hesabu za desimali za mikono. Inategemea modulo ya 9 ya hesabu ya kawaida na haswa juu ya sifa ya uamuzi 10 10 1.
kuna mifano mingine. Moduli ya 7 ya hesabu hutumiwa katika kanuni zinazobainisha siku ya juma kwa tarehe fulani. Hasa, muunganiko wa Zeller na algoriti ya Siku ya Kiyama hutumia sana modulo ya 7 ya hesabu.
Programu zingine
Tayari imesemwa kuhusu hesabu za moduli katika kriptografia. Katika eneo hili, yeye ni mtu asiyeweza kubadilishwa. Kwa ujumla zaidi, hesabu za msimu pia hupata matumizi katika taaluma kama vile sheria, uchumi (kama vile nadharia ya mchezo), na maeneo mengine ya sayansi ya kijamii. Kwa maneno mengine, ambapo mgawanyo sawia na usambazaji wa rasilimali unachukua jukumu kubwa.
Kwa sababu hesabu ya moduli ina anuwai ya matumizi, ni muhimu kujua jinsi ilivyo ngumu kutatua mfumo wa ulinganishi. Mfumo wa mstari wa muunganisho unaweza kutatuliwa katika muda wa polinomia kwa njia ya uondoaji wa Gaussian. Hii inaelezewa kwa undani zaidi na nadharia ya upatanishi ya mstari. Algoriti kama vile kupunguza Montgomery pia zipo ili kuruhusu shughuli rahisi za hesabu kufanywa kwa ufanisi. Kwa mfano, kuzidisha na upanuzi modulo n, kwa idadi kubwa. Hii ni muhimu sana kujua ili kuelewa ninikriptografia. Baada ya yote, inafanya kazi na utendakazi sawa.
Muungano
Baadhi ya shughuli, kama vile kutafuta logariti tofauti au upatanishi wa quadratic, inaonekana kuwa ngumu kama uwekaji nambari kamili na kwa hivyo ndio mahali pa kuanzia kwa algoriti na usimbaji fiche. Matatizo haya yanaweza kuwa NP-kati.
Mifano
Zifuatazo ni chaguo tatu za kukokotoa za C - mbili kwa ajili ya kuzidisha moduli na moja kwa ajili ya kuongeza nambari za moduli kwa nambari kamili ambazo hazijasainiwa hadi biti 63, bila kufurika kwa muda mfupi.
Muda mfupi baada ya ugunduzi wa nambari kamili (1, 2, 3, 4, 5…) inakuwa dhahiri kwamba zimegawanywa katika vikundi viwili:
- Hata: inaweza kugawanywa na 2 (0, 2, 4, 6..).
- Isiyo ya kawaida: haiwezi kugawanywa na 2 (1, 3, 5, 7…).
Kwa nini tofauti hii ni muhimu? Huu ni mwanzo wa kujiondoa. Tunaona sifa za nambari (k.m., hata au isiyo ya kawaida) na sio nambari yenyewe ("37") pekee.
Hii huturuhusu kuchunguza hesabu kwa kiwango cha ndani zaidi na kupata uhusiano kati ya aina za nambari badala ya zile mahususi.
Sifa za nambari
Kuwa "tatu" ni sifa nyingine ya nambari. Labda sio muhimu mara moja kama hata / isiyo ya kawaida, lakini iko hapo. Tunaweza kuunda sheria kama "kumi na tatu x tatu mshipa=kumi na tatu" na kadhalika. Lakini ni wazimu. Hatuwezi kutengeneza maneno mapya kila wakati.
Operesheni ya modulo (modi ya kifupi au "%" katika lugha nyingi za programu) ndiyo inayosalia wakatimgawanyiko. Kwa mfano, "5 mod 3=2", ambayo ina maana 2 ndiyo salio unapogawanya 5 kwa 3.
Unapobadilisha maneno ya kila siku kuwa hesabu, "nambari sawa" ni "0 mod 2", ikimaanisha kuwa salio ni 0 ikigawanywa na 2. Nambari isiyo ya kawaida ni "1 mod 2" (ina salio ya 1)
Nambari sawa na zisizo za kawaida
Ni nini hata x hata x isiyo ya kawaida x isiyo ya kawaida? Vema, ni 0 x 0 x 1 x 1=0. Kwa kweli, unaweza kuona ikiwa nambari sawia itazidishwa popote, ambapo matokeo yote yatakuwa sifuri.
Ujanja wa hesabu ya moduli ni kwamba tayari tumeitumia kuhifadhi wakati - wakati mwingine huitwa "hesabu ya saa".
Kwa mfano: 7:00 asubuhi (am/pm - haijalishi). Je, saa itakuwa wapi baada ya saa 7?
Marekebisho
(7 + 7) mod 12=(14) mod 12=2 mod 12 [2 ni salio wakati 14 inagawanywa na 12. Equation 14 mod 12=2 mod 12 inamaanisha saa 14 na saa 2 angalia sawa kwenye saa ya saa 12. Ni mshikamano, unaoonyeshwa kwa ishara sawa mara tatu: 14 ≡ 2 mod 12.
Mfano mwingine: ni 8:00 asubuhi. Mkono mkubwa utakuwa wapi baada ya saa 25?
Badala ya kuongeza 25 hadi 8, unaweza kuelewa kuwa saa 25 ni "siku 1 + saa 1". Jibu ni rahisi. Kwa hivyo, saa itaisha saa 1 mbele - saa 9:00.
(8 + 25) mod 12 ≡ (8) mod 12 + (25) mod 12 ≡ (8) mod 12 + (1) mod 12 ≡ 9 mod 12. Kwa intuitively ulibadilisha 25 hadi 1 na kuongeza hii hadi 8.
Kwa kutumia saa kama mlinganisho, tunaweza kubaini kamakanuni za hesabu za msimu, na zinafanya kazi.
Ongeza/Utoaji
Tuseme mara mbili zinafanana kwenye saa yetu ("2:00" na "14:00"). Ikiwa tutaongeza saa x sawa kwa zote mbili, nini kitatokea? Kweli, wanabadilisha kwa kiasi sawa kwenye saa! 2:00 + saa 5 ≡ 14:00 + saa 5 - zote mbili zitaonyesha 7:00.
Kwanini? Tunaweza tu kuongeza 5 kwa masalio 2 ambayo wote wanayo na wanasonga mbele kwa njia ile ile. Kwa nambari zote mfuatano (2 na 14), kujumlisha na kutoa kuna matokeo sawa.
Ni vigumu zaidi kujua ikiwa kuzidisha kutaendelea kuwa sawa. Ikiwa 14 ≡ 2 (mod 12), tunaweza kuzidisha nambari zote mbili na kupata matokeo sawa? Hebu tuone kitakachotokea tunapozidisha kwa 3.
Sawa, 2:003 × 6:00. Lakini 14:003 ni nini?
Kumbuka, 14=12 + 2. Kwa hivyo tunaweza kusema
143=(12 + 2)3=(123) + (23)
Sehemu ya kwanza (123) inaweza kupuuzwa! Kufurika kwa masaa 12 ambayo hubeba 14 inajirudia mara kadhaa. Lakini ni nani anayejali? Tunapuuza kufurika hata hivyo.
Kuzidisha
Wakati wa kuzidisha, masalio pekee ndiyo yanahusika, yaani, saa 2 sawa za 14:00 na 2:00. Kwa angavu, hivi ndivyo ninavyoona kuzidisha haibadilishi uhusiano na hesabu ya kawaida (unaweza kuzidisha pande zote mbili za uhusiano wa kawaida na kupata matokeo sawa).
Tunaifanya kwa angavu, lakini ni vizuri kuipa jina. Una ndege inayowasili saa 3 usiku. Yeyekucheleweshwa kwa masaa 14. Itatua saa ngapi?
14 ≡ 2 mod 12. Kwa hivyo, ifikirie kama saa 2, kwa hivyo ndege itatua saa 5 asubuhi. Suluhisho ni rahisi: 3 + 2=5 asubuhi. Hii ni ngumu zaidi kuliko utendakazi rahisi wa modulo, lakini kanuni ni sawa.
