Jiometri ni nzuri kwa sababu, tofauti na aljebra, ambapo haijulikani kila mara unachofikiria na kwa nini, inatoa mwonekano wa kitu. Ulimwengu huu wa ajabu wa miili mbalimbali umepambwa kwa polihedra ya kawaida.
Maelezo ya jumla kuhusu polihedra za kawaida
Kulingana na nyingi, polihedra za kawaida, au kama zinavyoitwa pia vitu vikali vya Plato, vina sifa za kipekee. Dhana kadhaa za kisayansi zinahusishwa na vitu hivi. Unapoanza kusoma miili hii ya kijiometri, unaelewa kuwa haujui chochote juu ya dhana kama polihedra ya kawaida. Uwasilishaji wa vitu hivi shuleni sio wa kuvutia kila wakati, kwa hivyo wengi hawakumbuki hata kile wanachoitwa. Watu wengi wanakumbuka mchemraba tu. Hakuna mwili wowote katika jiometri ulio kamili kama polihedra ya kawaida. Majina yote ya miili hii ya kijiometri yalitoka Ugiriki ya Kale. Wanamaanisha idadi ya nyuso: tetrahedron - nne-upande, hexahedron - sita-upande, octahedron - octahedral, dodecahedron - kumi na mbili upande, icosahedron - ishirini upande. Miili hii yote ya kijiometriilichukua nafasi muhimu katika dhana ya Plato ya ulimwengu. Wanne kati yao walielezea vitu au vyombo: tetrahedron - moto, icosahedron - maji, mchemraba - dunia, octahedron - hewa. Dodekahedron ilijumuisha kila kitu kilichopo. Ilizingatiwa kuwa ndiyo kuu, kwa sababu ilikuwa ishara ya ulimwengu.
Ujumla wa dhana ya polihedroni
Polihedron ni mkusanyo wa idadi isiyo na kikomo ya poligoni kama vile:
- kila pande za poligoni kwa wakati mmoja ni upande wa poligoni moja tu katika upande huo huo;
- kutoka kwa kila poligoni unaweza kupata nyingine kwa kupitisha poligoni zilizo kando yake.
Poligoni zinazounda polihedroni ni nyuso zake, na ubavu wake ni kingo. Vipeo vya polihedra ni vipeo vya poligoni. Ikiwa dhana ya poligoni inaeleweka kama mistari iliyovunjika bapa iliyofungwa, basi mtu hufikia ufafanuzi mmoja wa polihedroni. Katika kesi wakati dhana hii ina maana ya sehemu ya ndege ambayo imepunguzwa na mistari iliyovunjika, basi uso unaojumuisha vipande vya polygonal unapaswa kueleweka. Polihedroni mbonyeo ni mwili uliolala upande mmoja wa ndege unaopakana na uso wake.
Ufafanuzi mwingine wa polihedroni na vipengele vyake
Polihedron ni uso unaojumuisha poligoni ambazo huweka kikomo mwili wa kijiometri. Wao ni:
- non-convex;
- convex (sahihi na si sahihi).
Polihedroni ya kawaida ni polihedroni mbonyeo yenye ulinganifu wa juu zaidi. Vipengele vya polihedra ya kawaida:
- tetrahedron: kingo 6, nyuso 4, wima 5;
- hexahedron (mchemraba): 12, 6, 8;
- dodekahedron: 30, 12, 20;
- oktahedron: 12, 8, 6;
- ikosahedron: 30, 20, 12.
Nadharia ya Euler
Inaanzisha uhusiano kati ya idadi ya kingo, vipeo na nyuso ambazo ni sawa kitopolojia na duara. Kwa kuongeza idadi ya vipeo na nyuso (B + D) za polihedra mbalimbali za kawaida na kuzilinganisha na idadi ya kingo, muundo mmoja unaweza kuanzishwa: jumla ya idadi ya nyuso na wima ni sawa na idadi ya kingo (P) iliyoongezeka. kwa 2. Unaweza kupata fomula rahisi:
B + D=R + 2
Mfumo huu ni kweli kwa polihedra zote za convex.
Maelezo ya kimsingi
Dhana ya polihedroni ya kawaida haiwezi kuelezewa katika sentensi moja. Ina maana zaidi na yenye wingi. Ili shirika litambuliwe hivyo, ni lazima lifikie idadi ya ufafanuzi. Kwa hivyo, mwili wa kijiometri utakuwa polihedron ya kawaida ikiwa masharti yafuatayo yatatimizwa:
- ni laini;
- idadi sawa ya kingo huungana katika kila wima;
- nyuso zake zote ni poligoni za kawaida, zinazofanana;
- pembe zake zote za dihedral ni sawa.
Sifa za polihedra za kawaida
Kuna aina 5 tofauti za polihedra za kawaida:
- Mchemraba (hexahedron) - ina pembe bapa juu ni 90°. Ina pembe 3-upande. Jumla ya pembe bapa juu ni 270°.
- Tetrahedron - pembe bapa juu - 60°. Ina pembe 3-upande. Jumla ya pembe bapa juu ni 180°.
- Oktahedron - pembe ya kipeo bapa - 60°. Ina kona ya pande 4. Jumla ya pembe bapa juu ni 240°.
- Dodekahedron - pembe bapa kwenye kipeo 108°. Ina pembe 3-upande. Jumla ya pembe bapa juu ni 324°.
- Icosahedron - ina pembe bapa juu - 60°. Ina pembe ya 5-upande. Jumla ya pembe bapa juu ni 300°.
Eneo la polihedra ya kawaida
Eneo la uso wa miili hii ya kijiometri (S) inakokotolewa kama eneo la poligoni ya kawaida ikizidishwa na idadi ya nyuso zake (G):
S=(a: 2) x 2G ctg π/p
Kiasi cha polihedroni ya kawaida
Thamani hii inakokotolewa kwa kuzidisha ujazo wa piramidi ya kawaida, ambayo chini yake kuna poligoni ya kawaida, kwa idadi ya nyuso, na urefu wake ni radius ya duara iliyoandikwa (r):
V=1: 3rS
Wingi wa polihedra za kawaida
Kama muundo mwingine wowote wa kijiometri, polihedra ya kawaida ina ujazo tofauti. Zifuatazo ni fomula ambazo unaweza kuzihesabu:
- tetrahedron: α x 3√2: 12;
- oktahedron: α x 3√2: 3;
- ikosahedron; α x 3;
- hexahedron (mchemraba): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
- dodekahedron: α x 3 (15 + 7√5): 4.
Vipengele vya polihedra ya kawaida
Hexahedron na octahedron ni miili miwili ya kijiometri. Kwa maneno mengine, zinaweza kupatikana kutoka kwa kila mmoja ikiwa katikati ya mvuto wa uso wa moja inachukuliwa kama vertex ya nyingine, na kinyume chake. Icosahedron na dodecahedron pia ni mbili. Tu tetrahedron ni mbili kwa yenyewe. Kwa mujibu wa njia ya Euclid, unaweza kupata dodecahedron kutoka hexahedron kwa kujenga "paa" kwenye nyuso za mchemraba. Vipeo vya tetrahedron vitakuwa vipeo 4 vya mchemraba ambavyo haviko karibu katika jozi kando ya ukingo. Kutoka kwa hexahedron (mchemraba) unaweza kupata polyhedra nyingine ya kawaida. Licha ya ukweli kwamba kuna poligoni nyingi za kawaida, kuna polihedra 5 tu za kawaida.
Radi ya poligoni za kawaida
Kuna duara 3 makini zinazohusishwa na kila mojawapo ya miili hii ya kijiometri:
- imeelezwa, kupita katika vilele vyake;
- iliyoandikwa, ikigusa kila nyuso zake katikati yake;
- kati, ikigusa kingo zote katikati.
Radi ya duara iliyoelezwa hukokotwa kwa fomula ifuatayo:
R=a: 2 x tg π/g x tg θ: 2
Radi ya duara iliyoandikwa hukokotwa kwa fomula:
R=a: 2 x ctg π/p x tg θ: 2,
ambapo θ ni pembe ya dihedral kati ya nyuso zinazokaribiana.
Radi ya duara ya wastani inaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula ifuatayo:
ρ=a cos π/p: 2 dhambi π/h,
ambapo thamani ya h=4, 6, 6, 10 au 10. Uwiano wa radii iliyokatwa na iliyoandikwa ni linganifu kwa kuzingatia p na q. Niimekokotolewa kwa fomula:
R/r=tg π/p x tg π/q
Ulinganifu wa polihedra
Ulinganifu wa polihedra ya kawaida husababisha shauku kuu katika miili hii ya kijiometri. Inaeleweka kama harakati kama hiyo ya mwili katika nafasi, ambayo huacha idadi sawa ya wima, nyuso na kingo. Kwa maneno mengine, chini ya athari ya mageuzi ya ulinganifu, ukingo, kipeo, uso ama huhifadhi mkao wake wa asili au husogea hadi kwenye nafasi ya asili ya ukingo, kipeo au uso mwingine.
Vipengele vya ulinganifu vya polihedra ya kawaida ni sifa za aina zote za miili kama hiyo ya kijiometri. Hapa tunazungumza juu ya mabadiliko sawa ambayo huacha alama yoyote katika nafasi yake ya asili. Kwa hivyo, unapozunguka prism ya polygonal, unaweza kupata ulinganifu kadhaa. Yoyote kati yao inaweza kuwakilishwa kama bidhaa ya tafakari. Ulinganifu ambao ni zao la idadi sawa ya kutafakari huitwa mstari wa moja kwa moja. Ikiwa ni bidhaa ya idadi isiyo ya kawaida ya kutafakari, basi inaitwa inverse. Kwa hivyo, mizunguko yote kuhusu mstari ni ulinganifu wa moja kwa moja. Uakisi wowote wa polihedron ni ulinganifu kinyume.
Ili kuelewa vyema vipengele vya ulinganifu vya polihedra ya kawaida, tunaweza kuchukua mfano wa tetrahedron. Mstari wowote wa moja kwa moja ambao utapita kwenye moja ya wima na katikati ya takwimu hii ya kijiometri pia itapita katikati ya uso kinyume chake. Kila moja ya 120 ° na 240 ° inazunguka mstari ni wingi.ulinganifu wa tetrahedron. Kwa kuwa ina wima 4 na nyuso 4, kuna ulinganifu nane tu wa moja kwa moja. Yoyote ya mistari inayopita katikati ya makali na katikati ya mwili huu inapita katikati ya makali yake kinyume. Mzunguko wowote wa 180 °, unaoitwa zamu ya nusu, karibu na mstari wa moja kwa moja ni ulinganifu. Kwa kuwa tetrahedron ina jozi tatu za kingo, kuna ulinganifu tatu zaidi wa moja kwa moja. Kulingana na yaliyotangulia, tunaweza kuhitimisha kuwa jumla ya idadi ya ulinganifu wa moja kwa moja, ikiwa ni pamoja na mabadiliko ya kufanana, itafikia kumi na mbili. Tetrahedron haina ulinganifu mwingine wa moja kwa moja, lakini ina ulinganifu 12 wa kinyume. Kwa hivyo, tetrahedron ina sifa ya jumla ya ulinganifu 24. Kwa uwazi, unaweza kuunda kielelezo cha tetrahedron ya kawaida kutoka kwa kadibodi na uhakikishe kuwa mwili huu wa kijiometri una ulinganifu 24 pekee.
Dodekahedron na icosahedron ziko karibu zaidi na duara la mwili. Icosahedron ina idadi kubwa zaidi ya nyuso, pembe kubwa zaidi ya dihedral, na inaweza kushinikizwa kwa nguvu zaidi dhidi ya tufe iliyoandikwa. Dodekahedron ina kasoro ndogo zaidi ya angular, pembe kubwa zaidi thabiti kwenye vertex. Anaweza kujaza nyanja yake iliyoelezwa hadi kiwango cha juu zaidi.
Ufagiaji wa polihedra
Polihedra isiyokunjwa ya kawaida, ambayo sote tuliunganisha pamoja utotoni, ina dhana nyingi. Iwapo kuna mkusanyiko wa poligoni, kila upande ambao umetambulishwa kwa upande mmoja tu wa polihedron, basi utambulisho wa pande hizo lazima utimize masharti mawili:
- kutoka kwa kila poligoni, unaweza kwenda juu ya poligoni ambazo zinaupande uliotambuliwa;
- pande zilizotambuliwa lazima ziwe na urefu sawa.
Ni seti ya poligoni zinazokidhi masharti haya ambayo inaitwa ukuzaji wa polihedron. Kila moja ya miili hii ina kadhaa yao. Kwa hivyo, kwa mfano, mchemraba una 11 kati yao.
