Vigeu ni nini? Inaweza kutofautiana katika hisabati

2024 Mwandishi: Angel Austin | [email protected]. Mwisho uliobadilishwa: 2024-01-02 17:56

Umuhimu wa vigezo katika hisabati ni mkubwa, kwa sababu wakati wa kuwepo kwake, wanasayansi waliweza kufanya uvumbuzi mwingi katika eneo hili, na ili kueleza kwa ufupi na kwa uwazi hii au nadharia hiyo, tunatumia vigezo kuandika fomula zinazofanana.. Kwa mfano, nadharia ya Pythagorean kwenye pembetatu ya kulia: a² =b² + c^{2. Jinsi ya kuandika kila wakati wakati wa kutatua tatizo: kwa mujibu wa nadharia ya Pythagorean, mraba wa hypotenuse ni sawa na jumla ya mraba wa miguu - tunaandika hii kwa formula, na kila kitu kinakuwa wazi mara moja.}

Kwa hivyo, makala haya yatajadili viambajengo ni nini, aina na sifa zake. Misemo mbalimbali ya hisabati pia itazingatiwa: ukosefu wa usawa, fomula, mifumo na algoriti kwa utatuzi wao.

Dhana inayoweza kubadilika

Kwanza kabisa, kutofautisha ni nini? Hii ni thamani ya nambari ambayo inaweza kuchukua maadili mengi. Haiwezi kuwa mara kwa mara, kwa kuwa katika matatizo tofauti na equations, kwa urahisi, tunachukua ufumbuzi kamanambari tofauti tofauti, ambayo ni, kwa mfano, z ni jina la jumla kwa kila moja ya idadi ambayo inachukuliwa. Kwa kawaida huonyeshwa kwa herufi za alfabeti ya Kilatini au Kigiriki (x, y, a, b, na kadhalika).

Kuna aina tofauti za vigeu. Huweka idadi fulani halisi - njia (S), saa (t), na thamani zisizojulikana katika milinganyo, vitendakazi na misemo mingine.

Kwa mfano, kuna fomula: S=Vt. Hapa, viambishi vinaashiria idadi fulani inayohusiana na ulimwengu halisi - njia, kasi na wakati.

Na kuna mlingano wa fomu: 3x - 16=12x. Hapa, x tayari imechukuliwa kama nambari dhahania ambayo inaeleweka katika nukuu hii.

Aina za wingi

Kiasi maana yake ni kitu kinachoeleza sifa za kitu, dutu au jambo fulani. Kwa mfano, halijoto ya hewa, uzito wa mnyama, asilimia ya vitamini kwenye kompyuta kibao - hizi zote ni kiasi ambacho maadili yake yanaweza kuhesabiwa.

Kila kiasi kina vipimo vyake, ambavyo kwa pamoja huunda mfumo. Unaitwa mfumo wa nambari (SI).

Vigeu na viunga ni nini? Zizingatie kwa mifano mahususi.

Hebu tuchukue mwendo wa sare ya mstatili. Pointi katika nafasi husogea kwa kasi ile ile kila wakati. Hiyo ni, wakati na umbali hubadilika, lakini kasi inabaki sawa. Katika mfano huu, muda na umbali ni viasili, na kasi ni thabiti.

Au, kwa mfano, “pi”. Hii ni nambari isiyo na maana ambayo inaendelea bila kurudiamlolongo wa tarakimu na hauwezi kuandikwa kwa ukamilifu, kwa hiyo katika hisabati inaonyeshwa na ishara inayokubaliwa kwa ujumla ambayo inachukua tu thamani ya sehemu isiyo na kipimo. Hiyo ni, "pi" ni thamani isiyobadilika.

Historia

Historia ya nukuu ya vigeu inaanza katika karne ya kumi na saba na mwanasayansi René Descartes.

Aliteua thamani zinazojulikana kwa herufi za kwanza za alfabeti: a, b na kadhalika, na kwa kisichojulikana alipendekeza kutumia herufi za mwisho: x, y, z. Ni muhimu kukumbuka kuwa Descartes alizingatia vigezo kama hivyo kuwa nambari zisizo hasi, na wakati anakabiliwa na vigezo hasi, aliweka ishara ya minus mbele ya kutofautisha au, ikiwa haikujulikana nambari hiyo ilikuwa nini, ellipsis. Lakini baada ya muda, majina ya viasili yalianza kuashiria nambari za ishara yoyote, na hii ilianza na mwanahisabati Johann Hudde.

Kwa vigeu, hesabu katika hisabati ni rahisi kusuluhisha, kwa sababu, kwa mfano, tunatatua vipi milinganyo ya pande mbili sasa? Tunaingia kutofautiana. Kwa mfano:

x⁴ + 15x^{2 + 7=0}

Kwa x2 tunachukua k kiasi, na mlinganyo unakuwa wazi:

x2=k, kwa k ≧ 0

k2 + 15k + 7=0

Hivyo ndivyo utangulizi wa vigeu unavyoleta kwenye hisabati.

Kutokuwa na usawa, mifano ya suluhu

Kutokuwa na usawa ni rekodi ambayo usemi mbili za hisabati au nambari mbili zimeunganishwa kwa ishara za ulinganishi:, ≦, ≧. Ni kali na zinaonyeshwa kwa ishara au zisizo kali na ishara ≦, ≧.

Kwa mara ya kwanza ishara hizi zilitambulishwaThomas Harriot. Baada ya kifo cha Thomas, kitabu chake chenye nukuu hizi kilichapishwa, wataalamu wa hisabati walivipenda, na baada ya muda vikatumika sana katika hesabu za hisabati.

Kuna sheria kadhaa za kufuata wakati wa kutatua tofauti tofauti tofauti:

Unapohamisha nambari kutoka sehemu moja ya ukosefu wa usawa hadi nyingine, badilisha ishara yake hadi kinyume.
Wakati wa kuzidisha au kugawanya sehemu za ukosefu wa usawa kwa nambari hasi, ishara zake hubadilishwa.
Ukizidisha au kugawanya pande zote mbili za ukosefu wa usawa kwa nambari chanya, utapata ukosefu wa usawa sawa na wa awali.

Kutatua ukosefu wa usawa kunamaanisha kupata thamani zote halali kwa kigezo.

Mfano wa kigeugeu kimoja:

10x - 50 > 150

Tunaisuluhisha kama mlinganyo wa kawaida wa mstari - tunasogeza masharti kwa kigezo kwenda kushoto, bila kigezo - kulia na kutoa masharti sawa:

10x > 200

Tunagawanya pande zote mbili za ukosefu wa usawa kwa 10 na kupata:

x > 20

Kwa uwazi, katika mfano wa kusuluhisha usawa na kigezo kimoja, chora mstari wa nambari, weka alama 20 juu yake, kwani usawa ni mkali, na nambari hii haijajumuishwa katika seti ya suluhisho zake..

Suluhisho la ukosefu huu wa usawa ni muda (20; +∞).

Suluhisho la ukosefu wa usawa usio kamili unafanywa kwa njia sawa na ile kali:

6x - 12 ≧ 18

6x ≧ 30

x ≧ 5

Lakini kuna ubaguzi mmoja. Rekodi ya fomu x ≧ 5 inapaswa kueleweka kama ifuatavyo: x ni kubwa kuliko au sawa na tano, ambayo ina maana.nambari ya tano imejumuishwa katika seti ya suluhisho zote za usawa, ambayo ni, wakati wa kuandika jibu, tunaweka mabano ya mraba mbele ya nambari tano.

x ∈ [5; +∞)

Ukosefu wa usawa wa mraba

Ikiwa tutachukua mlingano wa roboduara wa fomu shoka2 + bx +c=0 na kubadilisha ishara sawa hadi ishara ya ukosefu wa usawa ndani yake, basi tutapata usawa wa mara nne.

Ili kutatua ukosefu wa usawa wa quadratic, unahitaji kuwa na uwezo wa kutatua milinganyo ya quadratic.

y=ax2 + bx + c ni chaguo la kukokotoa la quadratic. Tunaweza kuitatua kwa kutumia kibaguzi, au kwa kutumia nadharia ya Vieta. Kumbuka jinsi milinganyo hii inavyotatuliwa:

1) y=x2 + 12x + 11 - kazi ni parabola. Matawi yake yameelekezwa juu, kwa kuwa ishara ya mgawo "a" ni chanya.

2) x2 + 12x + 11=0 - sawa na sifuri na suluhisha kwa kutumia kibaguzi.

a=1, b=12, c=11

D=b2 - 4ac=144 - 44=100 > 0, mizizi 2

Kulingana na fomula ya mizizi ya equation ya quadratic, tunapata:

x₁ =-1, x_2=-11

Au unaweza kutatua mlingano huu kwa kutumia nadharia ya Vieta:

x₁ + x₂ =-b/a, x₁ + x _2=-12

x₁x₂ =c/a, x₁x₂₌₁₁

Kwa kutumia mbinu ya uteuzi, tunapata mizizi sawa ya mlingano.

Parabola

Kwa hivyo, njia ya kwanza ya kutatua usawa wa quadratic ni parabola. Algorithm ya kuisuluhisha ni kama ifuatavyo:

1. Bainisha ambapo matawi ya parabola yanaelekezwa.

2. Sawazisha chaguo za kukokotoa kuwa sifuri na utafute mizizi ya mlingano.

3. Tunaunda mstari wa nambari, kuweka alama kwenye mizizi, kuchora parabola na kupata pengo tunalohitaji, kulingana na ishara ya ukosefu wa usawa.

Tatua ukosefu wa usawa x2 + x - 12 > 0

Andika kama fomula:

1) y=x2 + x - 12 - parabola, matawi juu.

Weka hadi sufuri.

2) x2 + x -12=0

Inayofuata, tunatatua kama mlinganyo wa roboduara na kupata sufuri za chaguo hili la kukokotoa:

x₁ =3, x_2=-4

3) Chora mstari wa nambari wenye pointi 3 na -4 juu yake. Parabola itapita kati yao, matawi juu na jibu la ukosefu wa usawa litakuwa seti ya maadili chanya, yaani, (-∞; -4), (3; +∞).

Njia ya muda

Njia ya pili ni mbinu ya kuweka nafasi. Algorithm ya kuisuluhisha:

1. Tafuta mizizi ya mlingano ambayo ukosefu wake wa usawa ni sawa na sifuri.

2. Tunawaweka alama kwenye mstari wa nambari. Kwa hivyo, imegawanywa katika vipindi kadhaa.

3. Bainisha ishara ya muda wowote.

4. Tunaweka alama katika vipindi vilivyosalia, tukizibadilisha baada ya moja.

Tatua ukosefu wa usawa (x - 4)(x - 5)(x + 7) ≦ 0

1) Kutokuwepo kwa usawa sufuri: 4, 5 na -7.

2) Chora kwenye mstari wa nambari.

3) Bainisha ishara za vipindi.

Jibu: (-∞; -7]; [4; 5].

Tatua ukosefu wa usawa mmoja zaidi: x2(3x - 6)(x + 2)(x - 1) > 0

1. Sufuri zisizo na usawa: 0, 2, -2 na 1.

2. Ziweke alama kwenye mstari wa nambari.

3. Bainisha alama za muda.

Mstari umegawanywa katika vipindi - kutoka -2 hadi 0, kutoka 0 hadi 1, kutoka 1 hadi 2.

Chukua thamani katika kipindi cha kwanza - (-1). Mbadala katika usawa. Kwa thamani hii, ukosefu wa usawa unakuwa chanya, ambayo ina maana kwamba ishara kwenye muda huu itakuwa +.

Zaidi, kuanzia pengo la kwanza, tunapanga ishara, kuzibadilisha baada ya moja.

Ukosefu wa usawa ni mkubwa kuliko sifuri, yaani, unahitaji kupata seti ya thamani chanya kwenye mstari.

Jibu: (-2; 0), (1; 2).

Mifumo ya milinganyo

Mfumo wa milinganyo yenye viambajengo viwili ni milinganyo miwili iliyounganishwa na brashi iliyopinda ambayo ni muhimu kutafuta suluhu la pamoja.

Mifumo inaweza kuwa sawa ikiwa suluhisho la jumla la moja wapo ni suluhisho la nyingine, au zote mbili hazina suluhu.

Tutasoma utatuzi wa mifumo ya milinganyo yenye viambajengo viwili. Kuna njia mbili za kuzitatua - njia mbadala au mbinu ya aljebra.

Mbinu ya aljebra

Ili kutatua mfumo unaoonyeshwa kwenye picha kwa kutumia mbinu hii, lazima kwanza uzidishe moja ya sehemu zake kwa nambari kama hiyo, ili baadaye muweze kughairi kibadilishaji kimoja kutoka sehemu zote mbili za mlinganyo. Hapa tunazidisha kwa tatu, kuchora mstari chini ya mfumo na kuongeza sehemu zake. Kwa hivyo, x zinafanana katika moduli, lakini kinyume kwa ishara, na tunazipunguza. Ifuatayo, tunapata mlingano wa mstari na kigezo kimoja na kuutatua.

Tumepata Y, lakini hatuwezi kuishia hapo, kwa sababu bado hatujapata X. MbadalaY kwa sehemu ambayo itakuwa rahisi kuondoa X, kwa mfano:

-x + 5y=8, pamoja na y=1

-x + 5=8

Tatua mlingano unaotokana na utafute x.

-x=-5 + 8

-x=3

x=-3

Jambo kuu katika suluhisho la mfumo ni kuandika jibu kwa usahihi. Wanafunzi wengi hukosea kuandika:

Jibu: -3, 1.

Lakini hili ni ingizo lisilo sahihi. Baada ya yote, kama ilivyotajwa hapo juu, wakati wa kutatua mfumo wa equations, tunatafuta suluhisho la jumla kwa sehemu zake. Jibu sahihi litakuwa:

(-3; 1)