Nadharia ya Steiner au nadharia ya shoka sambamba ya kukokotoa wakati wa hali ya hewa

2024 Mwandishi: Angel Austin | [email protected]. Mwisho uliobadilishwa: 2023-12-17 05:42

Katika maelezo ya hisabati ya mwendo wa mzunguko, ni muhimu kujua wakati wa hali ya mfumo kuhusu mhimili. Kwa ujumla, utaratibu wa kupata wingi huu unahusisha utekelezaji wa mchakato wa kuunganisha. Nadharia inayoitwa Steiner inafanya iwe rahisi kuhesabu. Hebu tuzingatie kwa undani zaidi katika makala.

Wakati wa hali ya hewa ni nini?

Kabla ya kutoa uundaji wa nadharia ya Steiner, ni muhimu kushughulikia dhana yenyewe ya wakati wa hali ya hewa. Tuseme kuna mwili wa misa fulani na umbo la kiholela. Mwili huu unaweza kuwa sehemu ya nyenzo au kitu chochote chenye pande mbili au tatu (fimbo, silinda, mpira, n.k.). Ikiwa kitu husika kitafanya mwendo wa mviringo kuzunguka mhimili fulani kwa kuongeza kasi ya angular mara kwa mara α, basi mlinganyo ufuatao unaweza kuandikwa:

M=Iα

Hapa, thamani M inawakilisha jumla ya muda wa nguvu, ambayo inatoa kuongeza kasi α kwa mfumo mzima. Mgawo wa uwiano kati yao - mimi, inaitwawakati wa inertia. Kiasi hiki halisi kinakokotolewa kwa kutumia fomula ya jumla ifuatayo:

I=∫_m (r²dm)

Hapa r ni umbali kati ya kipengele chenye wingi wa dm na mhimili wa mzunguko. Usemi huu unamaanisha kuwa ni muhimu kupata jumla ya bidhaa za umbali wa mraba r² na wingi wa msingi dm. Hiyo ni, wakati wa inertia sio tabia safi ya mwili, ambayo inaitofautisha na inertia ya mstari. Inategemea usambazaji wa misa katika kitu kinachozunguka, na vile vile kwa umbali wa mhimili na mwelekeo wa mwili unaohusiana nayo. Kwa mfano, fimbo itakuwa na I tofauti ikiwa itazungushwa kuhusu katikati ya wingi na karibu mwisho.

Moment of inertia na theorem ya Steiner

Mtaalamu wa hisabati maarufu wa Uswizi, Jakob Steiner, alithibitisha nadharia hiyo kwenye shoka sambamba na wakati wa hali duni, ambayo sasa ina jina lake. Nadharia hii inasisitiza kwamba wakati wa hali kwa mwili wowote mgumu wa jiometri ya kiholela inayohusiana na mhimili fulani wa kuzunguka ni sawa na jumla ya wakati wa hali juu ya mhimili unaoingilia katikati ya misa ya mwili na ni sambamba na ya kwanza., na bidhaa ya wingi wa mwili mara ya mraba ya umbali kati ya shoka hizi. Kihisabati, uundaji huu umeandikwa kama ifuatavyo:

Mimi_Z=Mimi_O + ml²

Mimi_Z na mimi_O - nyakati za hali ya hewa kuhusu mhimili wa Z na mhimili wa O sambamba nayo, ambao hupita. kupitia katikati ya uzito wa mwili, l - umbali kati ya mistari Z na O.

Nadharia inaruhusu, kujua thamani ya I_O, kukokotoawakati mwingine wowote _Z kuhusu mhimili unaofanana na O.

Uthibitisho wa nadharia

Mchanganyiko wa nadharia ya Steiner unaweza kupatikana kwa urahisi na wewe mwenyewe. Ili kufanya hivyo, fikiria mwili wa kiholela kwenye ndege ya xy. Acha asili ya kuratibu ipite katikati ya misa ya mwili huu. Hebu tuhesabu muda wa hali ya hewa I_O ambayo inapitia asili ya perpendicular kwa xy plane. Kwa kuwa umbali wa sehemu yoyote ya mwili unaonyeshwa na fomula r=√ (x² + y²), basi tunapata kiungo:

Mimi_O=∫_m (r²dm)=∫ m _((x2^+y2^{) dm)}

Sasa wacha tusogeze mhimili sambamba kando ya mhimili wa x kwa umbali l, kwa mfano, katika mwelekeo chanya, kisha hesabu ya mhimili mpya wa wakati wa inertia itaonekana kama hii:

Mimi_Z=∫_m(((x+l)²+y ²)dm)

Panua mraba kamili katika mabano na ugawanye viambatanisho, tunapata:

Mimi_Z=∫_m ((x²+l ²+2xl+y²)dm)=∫_m ((x² +y²)dm) + 2l∫_m (xdm) + l ²∫_mdm

La kwanza kati ya maneno haya ni thamani I_O, muhula wa tatu, baada ya kuunganishwa, hutoa neno l²m, na hapa neno la pili ni sifuri. Sufuri ya kiunga kilichoainishwa ni kwa sababu inachukuliwa kutoka kwa bidhaa ya x na vitu vya molekuli dm, ambayowastani hutoa sifuri, kwani katikati ya misa iko kwenye asili. Kwa sababu hiyo, fomula ya nadharia ya Steiner inapatikana.

Kesi inayozingatiwa kwenye ndege inaweza kubadilishwa kuwa mwili wenye sura tatu.

Kuangalia fomula ya Steiner kwenye mfano wa fimbo

Hebu tutoe mfano rahisi kuonyesha jinsi ya kutumia nadharia iliyo hapo juu.

Inajulikana kuwa kwa fimbo ya urefu L na wingi m, wakati wa hali I_O(mhimili hupita katikati ya misa) ni sawa na m L² /12, na wakati mimi_Z(mhimili hupitia mwisho wa fimbo) ni sawa na mL 2^{/3. Wacha tuangalie data hii kwa kutumia nadharia ya Steiner. Kwa kuwa umbali kati ya ekseli mbili ni L/2, basi tunapata wakati mimi}Z_:

Mimi_Z=Mimi_O+ m(L/2)²=mL²/12 + mL²/4=4mL² /12=mL²/3

Yaani, tuliangalia fomula ya Steiner na tukapata thamani sawa ya I_Z kama ilivyo kwenye chanzo.

Hesabu sawia zinaweza kufanywa kwa miili mingine (silinda, mpira, diski), huku ikipata nyakati zinazohitajika za hali ya hewa, na bila kutekeleza ujumuishaji.

Muda wa hali ya hewa na shoka zenye upenyo

Nadharia inayozingatiwa inahusu shoka sambamba. Kwa ukamilifu wa habari, ni muhimu pia kutoa nadharia ya axes perpendicular. Imeundwa kama ifuatavyo: kwa kitu cha gorofa cha sura ya kiholela, wakati wa hali juu ya mhimili unaoelekea itakuwa sawa na jumla ya dakika mbili za inertia kuhusu mbili perpendicular na uongo.katika ndege ya kitu cha shoka, na shoka zote tatu zinapita kwenye sehemu moja. Kihisabati, hii imeandikwa kama ifuatavyo:

Mimi_z=I_x + mimi_y

Hapa z, x, y ni shoka tatu za mzunguko zinazofanana.

Tofauti muhimu kati ya nadharia hii na nadharia ya Steiner ni kwamba inatumika tu kwa vitu vilivyo bapa (vya pande mbili). Walakini, katika mazoezi hutumiwa sana, kukata mwili kiakili katika tabaka tofauti, na kisha kuongeza wakati uliopatikana wa hali ya hewa.