Mwanafunzi mara nyingi hukutana na nyuso za darasa la 2 katika mwaka wa kwanza. Mara ya kwanza, kazi kwenye mada hii zinaweza kuonekana kuwa rahisi, lakini unaposoma hisabati ya juu na kuingia ndani ya upande wa kisayansi, mwishowe unaweza kuacha kujielekeza katika kile kinachotokea. Ili kuzuia hili kutokea, ni muhimu si tu kukariri, lakini kuelewa jinsi hii au uso huo unapatikana, jinsi kubadilisha coefficients huathiri na eneo lake kuhusiana na mfumo wa awali wa kuratibu, na jinsi ya kupata mfumo mpya. (moja ambayo kituo chake kinapatana na kuratibu za asili, na mhimili wa ulinganifu ni sawa na moja ya mhimili wa kuratibu). Wacha tuanze tangu mwanzo.
Ufafanuzi
GMT inaitwa uso wa mpangilio wa 2, viwianishi ambavyo vinakidhi mlingano wa jumla wa fomu ifuatayo:
F(x, y, z)=0.
Ni wazi kwamba kila nukta inayomilikiwa na uso lazima iwe na viwianishi vitatu katika misingi fulani iliyobainishwa. Ingawa katika hali nyingine eneo la pointi linaweza kuharibika, kwa mfano, ndani ya ndege. Inamaanisha tu kwamba moja ya viwianishi ni thabiti na ni sawa na sifuri katika safu nzima ya thamani zinazokubalika.
Aina kamili iliyopakwa rangi ya usawa iliyotajwa hapo juu inaonekana kama hii:
A11x2+A22y2 +A33z2+2A12xy+2A23 yz+2A13xz+2A14x+2A24y+2A 34z+A44=0.
Anm – baadhi ya viunganishi, x, y, z - viwezo vinavyolingana na viwianishi vya kuunganishwa vya sehemu fulani. Katika hali hii, angalau kipengele kimojawapo kisichobadilika lazima kiwe sawa na sifuri, yaani, hakuna nukta yoyote italingana na mlinganyo.
Katika idadi kubwa ya mifano, vipengele vingi vya nambari bado ni sawa na sifuri, na mlinganyo umerahisishwa sana. Kwa mazoezi, kuamua ikiwa hatua ni ya uso sio ngumu (inatosha kubadilisha viwianishi vyake kwenye equation na kuangalia ikiwa kitambulisho kinazingatiwa). Jambo kuu katika kazi kama hii ni kuleta mwisho kwa fomu ya kisheria.
Mlinganyo ulioandikwa hapo juu unafafanua nyuso zozote (zote zilizoorodheshwa hapa chini) za mpangilio wa 2. Tutazingatia mifano hapa chini.
Aina za nyuso za mpangilio wa 2
Milinganyo ya nyuso za mpangilio wa 2 hutofautiana tu katika thamani za viambajengo Anm. Kwa mtazamo wa jumla, kwa maadili fulani ya viunga, nyuso mbalimbali zinaweza kupatikana, zilizoainishwa kama ifuatavyo:
- Mitungi.
- Aina ya mduara.
- Aina ya hyperbolic.
- Aina ya Conical.
- Aina ya kimfano.
- Ndege.
Kila moja ya aina zilizoorodheshwa ina umbo la asili na la kuwaziwa: katika umbo la kufikirika, eneo la pointi halisi ama hubadilika na kuwa kielelezo rahisi zaidi, au haipo kabisa.
Mitungi
Hii ndiyo aina rahisi zaidi, kwa kuwa mkunjo changamano upo chini tu, ukifanya kazi kama mwongozo. Jenereta ni mistari iliyonyooka inayoendana na ndege ambayo msingi umewekwa.
Grafu inaonyesha silinda ya duara, kipochi maalum cha silinda ya duaradufu. Katika ndege ya XY, makadirio yake yatakuwa duaradufu (kwa upande wetu, mduara) - mwongozo, na katika XZ - mstatili - kwa kuwa jenereta ni sawa na mhimili wa Z. Ili kuipata kutoka kwa equation ya jumla, unahitaji ili kutoa mgawo thamani zifuatazo:
Badala ya alama za kawaida x, y, z, x zenye nambari ya mfuatano zinatumiwa - haijalishi.
Kwa kweli, 1/a2na viambajengo vingine vilivyoonyeshwa hapa ni vijigawo sawa vilivyoonyeshwa katika mlinganyo wa jumla, lakini ni desturi kuviandika katika fomu hii - hii ni uwakilishi wa kisheria. Zaidi, nukuu kama hii pekee ndiyo itatumika.
Hivi ndivyo silinda ya hyperbolic inavyofafanuliwa. Mpango ni sawa - hyperbole itakuwa mwongozo.
y2=2px
Silinda ya kimfano inafafanuliwa kwa njia tofauti: umbo lake la kisheria linajumuisha mgawo wa p, unaoitwa kigezo. Kwa kweli, mgawo ni sawa na q=2p, lakini ni desturi kukigawanya katika vipengele viwili vilivyowasilishwa.
Kuna aina nyingine ya silinda: ya kufikirika. Hakuna uhakika halisi ni wa silinda kama hiyo. Inaelezewa na equationsilinda ya duaradufu, lakini badala ya kitengo ni -1.
Aina ya mviringo
ellipsoid inaweza kunyooshwa pamoja na shoka moja (ambapo inategemea thamani za viambajengo a, b, c, vilivyoonyeshwa hapo juu; ni dhahiri kwamba mgawo mkubwa zaidi utalingana na mhimili mkubwa zaidi.).
Pia kuna duaradufu ya kufikirika - mradi jumla ya viwianishi vinavyozidishwa na vipatanishi ni -1:
Hyperboloids
Minus inapoonekana katika mojawapo ya viunga, mlinganyo wa duaradufu hubadilika na kuwa mlingano wa hyperboloidi ya karatasi moja. Ni lazima ieleweke kuwa minus hii si lazima ipatikane kabla ya x3 kuratibu! Huamua tu ni ipi kati ya mhimili itakuwa mhimili wa mzunguko wa hyperboloid (au sambamba nayo, tangu wakati maneno ya ziada yanapoonekana katika mraba (kwa mfano, (x-2)2) katikati ya mabadiliko ya takwimu, kwa sababu hiyo, uso unasonga sambamba na axes za kuratibu). Hii inatumika kwa mifumo yote ya mpangilio wa 2.
Mbali na hilo, unahitaji kuelewa kwamba milinganyo imewasilishwa katika mfumo wa kisheria na inaweza kubadilishwa kwa kubadilisha viunga (na ishara ikihifadhiwa!); wakati umbo lao (hyperboloid, koni, na kadhalika) litabaki vile vile.
Mlinganyo huu tayari umetolewa na hyperboloid ya karatasi mbili.
Uso mnene
Hakuna kitengo katika mlinganyo wa koni - usawa hadi sifuri.
Uso wa koni wenye mipaka pekee ndio unaoitwa koni. Picha hapa chini inaonyesha kwamba, kwa kweli, kutakuwa na zile zinazoitwa koni kwenye chati.
Dokezo muhimu: katika milinganyo yote ya kisheria inayozingatiwa, viasili huchukuliwa kuwa chanya kwa chaguomsingi. Vinginevyo, ishara inaweza kuathiri chati ya mwisho.
Ndege zinazoratibu huwa ndege za ulinganifu wa koni, kitovu cha ulinganifu kinapatikana kwenye asili.
Kuna pluses pekee katika mlinganyo wa koni dhahania; inamiliki pointi moja halisi.
Paraboloids
Nyuso za mpangilio wa 2 angani zinaweza kuwa na maumbo tofauti hata kwa milinganyo sawa. Kwa mfano, kuna aina mbili za paraboloids.
x2/a2+y2/b2=2z
Paraboloidi ya elliptical, wakati mhimili wa Z ni sawa na mchoro, itakadiriwa kuwa duaradufu.
x2/a2-y2/b2=2z
Paraboloid ya hyperbolic: sehemu zilizo na ndege sambamba na ZY zitatoa vifananishi, na sehemu zilizo na ndege zinazolingana na XY zitatoa hyperbolas.
ndege zinazokatiza
Kuna matukio wakati nyuso za mpangilio wa 2 huharibika na kuwa ndege. Ndege hizi zinaweza kupangwa kwa njia mbalimbali.
Kwanza zingatia ndege zinazokatiza:
x2/a2-y2/b2=0
Marekebisho haya ya mlingano wa kisheria husababisha ndege mbili tu zinazokatiza (ya kufikirika!); pointi zote halisi ziko kwenye mhimili wa kuratibu ambao unakosekana katika mlinganyo (katika kanuni - mhimili wa Z).
ndege sambamba
y2=a2
Kunapokuwa na kiratibu kimoja tu, nyuso za mpangilio wa 2 huharibika na kuwa jozi ya ndege zinazofanana. Kumbuka, kigeu kingine chochote kinaweza kuchukua nafasi ya Y; kisha ndege zinazolingana na shoka zingine zitapatikana.
y2=−a2
Katika hali hii, zinakuwa za kufikirika.
ndege sanjari
y2=0
Kwa mlingano rahisi kama huu, jozi ya ndege huharibika na kuwa moja - zinapatana.
Usisahau kwamba katika kesi ya msingi wa pande tatu, mlinganyo ulio hapo juu haufafanui mstari ulionyooka y=0! Haina vigeu vingine viwili, lakini hiyo inamaanisha kuwa thamani yake ni thabiti na ni sawa na sufuri.
Jengo
Mojawapo ya kazi ngumu zaidi kwa mwanafunzi ni ujenzi wa nyuso za mpangilio wa 2. Ni vigumu zaidi kuhama kutoka kwa mfumo mmoja wa kuratibu hadi mwingine, kutokana na pembe za curve kwa heshima na axes na kukabiliana na kituo. Wacha turudie jinsi ya kuamua mara kwa mara mtazamo wa baadaye wa mchoro na uchambuzinjia.
Ili kutengeneza eneo la pili, unahitaji:
- leta mlingano kwa fomu ya kisheria;
- amua aina ya uso unaofanyiwa utafiti;
- unda kulingana na thamani za mgawo.
Aina zote zinazingatiwa hapa chini:
Ili kujumuisha, hebu tueleze kwa kina mfano mmoja wa aina hii ya kazi.
Mifano
Tuseme kuna mlinganyo:
3(x2-2x+1)+6y2+2z2+ Miaka 60+144=0
Hebu tuiletee katika umbo la kisheria. Wacha tutoe miraba kamili, ambayo ni, tunapanga masharti yanayopatikana kwa njia ambayo ni upanuzi wa mraba wa jumla au tofauti. Kwa mfano: ikiwa (a+1)2=a2+2a+1 basi a2+2a +1=(a+1)2. Tutafanya operesheni ya pili. Katika kesi hii, si lazima kufungua mabano, kwa kuwa hii itakuwa ngumu tu mahesabu, lakini ni muhimu kuchukua sababu ya kawaida 6 (katika mabano na mraba kamili ya Y):
3(x-1)2+6(y+5)2+2z2=6
Kigezo z hutokea katika kesi hii mara moja pekee - unaweza kukiacha peke yake kwa sasa.
Tunachanganua mlinganyo katika hatua hii: zote zisizojulikana hutanguliwa na ishara ya kuongeza; ikigawanywa na sita, moja inabaki. Kwa hivyo, tuna mlingano unaofafanua ellipsoid.
Kumbuka kwamba 144 iliwekwa katika 150-6, baada ya hapo -6 ilisogezwa kulia. Kwa nini ilibidi ifanywe kwa njia hii? Kwa wazi, mgawanyiko mkubwa zaidi katika mfano huu ni -6, ili baada ya kugawanya nayomoja imeachwa kulia, inahitajika "kuahirisha" haswa 6 kutoka 144 (ukweli kwamba mtu anapaswa kuwa kulia unaonyeshwa na uwepo wa neno la bure - lisilozidishwa na lisilojulikana).
Gawa kila kitu kwa sita na upate mlinganyo wa kisheria wa ellipsoid:
(x-1)2/2+(y+5)2/1+z2 /3=1
Katika uainishaji uliotumika hapo awali wa nyuso za mpangilio wa 2, kisa maalum huzingatiwa wakati kitovu cha kielelezo kikiwa kwenye asili ya viwianishi. Katika mfano huu, imekamilika.
Tunachukulia kuwa kila mabano yenye zisizojulikana ni kigezo kipya. Hiyo ni: a=x-1, b=y+5, c=z. Katika kuratibu mpya, katikati ya duaradufu inapatana na uhakika (0, 0, 0), kwa hiyo, a=b=c=0, inatoka wapi: x=1, y=-5, z=0. Katika viwianishi vya awali, katikati ya takwimu iko kwenye uhakika (1, -5, 0).
Ellipsoid itapatikana kutoka kwa duaradufu mbili: ya kwanza katika ndege ya XY na ya pili katika ndege ya XZ (au YZ - haijalishi). Coefficients ambayo viambajengo vinagawanywa ni mraba katika mlinganyo wa kisheria. Kwa hivyo, katika mfano huo hapo juu, itakuwa sahihi zaidi kugawanya kwa mzizi wa mbili, moja na mzizi wa tatu.
Mhimili mdogo wa duaradufu ya kwanza, sambamba na mhimili wa Y, ni miwili. Mhimili mkuu sambamba na mhimili wa x ni mizizi miwili ya miwili. Mhimili mdogo wa duaradufu ya pili, sambamba na mhimili wa Y, unabaki sawa - ni sawa na mbili. Na mhimili mkuu, sambamba na mhimili wa Z, ni sawa na mizizi miwili ya tatu.
Kwa usaidizi wa data iliyopatikana kutoka kwa mlingano asilia kwa kubadilisha hadi umbo la kisheria, tunaweza kuchora ellipsoid.
Muhtasari
Imefunikwa katika makala hayamada ni pana sana, lakini, kwa kweli, kama unavyoona sasa, sio ngumu sana. Maendeleo yake, kwa kweli, yanaisha wakati unapokariri majina na usawa wa nyuso (na, bila shaka, jinsi wanavyoonekana). Katika mfano ulio hapo juu, tumejadili kila hatua kwa kina, lakini kuleta mlinganyo kwa fomu ya kisheria kunahitaji ujuzi mdogo wa hisabati ya juu na haipaswi kusababisha matatizo yoyote kwa mwanafunzi.
Uchambuzi wa ratiba ya baadaye kuhusu usawa uliopo tayari ni kazi ngumu zaidi. Lakini kwa suluhisho lake la mafanikio, inatosha kuelewa jinsi mikondo inayolingana ya mpangilio wa pili hujengwa - ellipses, parabolas, na wengine.
Kesi za uharibifu - sehemu rahisi zaidi. Kwa sababu ya kukosekana kwa vigeu vingine, sio tu hesabu hurahisishwa, kama ilivyotajwa hapo awali, lakini pia ujenzi wenyewe.
Mara tu unapoweza kutaja aina zote za nyuso kwa ujasiri, badilisha viunga, ukigeuza grafu kuwa umbo moja au lingine - mada itafahamika.
Umefaulu katika masomo yako!
