Mbinu ya aksiomatiki ni njia ya kuunda nadharia za kisayansi ambazo tayari zimeanzishwa. Inatokana na hoja, ukweli, kauli ambazo hazihitaji uthibitisho au kukanusha. Kwa kweli, toleo hili la maarifa limewasilishwa kwa namna ya muundo wa kipunguzo, ambao mwanzoni unajumuisha uthibitisho wa kimantiki wa yaliyomo kutoka kwa misingi - axioms.
Njia hii haiwezi kuwa ugunduzi, lakini ni dhana ya kuainisha tu. Inafaa zaidi kwa kufundishia. Msingi una vifungu vya awali, na habari iliyobaki inafuata kama tokeo la kimantiki. Iko wapi njia ya axiomatic ya kuunda nadharia? Imo katika msingi wa sayansi nyingi za kisasa na imara.
Uundaji na ukuzaji wa dhana ya mbinu ya axiomatic, ufafanuzi wa neno
Kwanza kabisa, dhana hii ilizuka katika Ugiriki ya Kale kutokana na Euclid. Akawa mwanzilishi wa njia ya axiomatic katika jiometri. Leo ni kawaida katika sayansi zote, lakini zaidi ya yote katika hisabati. Mbinu hii imeundwa kwa misingi ya kauli zilizoidhinishwa, na nadharia zinazofuata zinatokana na ujenzi wa kimantiki.
Hii inafafanuliwa kama ifuatavyo: kuna maneno na dhana ambazohufafanuliwa na masharti mengine. Kama matokeo, watafiti walifikia hitimisho kwamba kuna hitimisho la kimsingi ambalo ni sawa na ni la mara kwa mara - la msingi, ambayo ni, axioms. Kwa mfano, wakati wa kuthibitisha nadharia, kwa kawaida hutegemea ukweli ambao tayari umethibitishwa vyema na hauhitaji kukanushwa.
Hata hivyo, kabla ya hapo, zilihitaji kuthibitishwa. Katika mchakato huo, zinageuka kuwa taarifa isiyo na maana inachukuliwa kama axiom. Kulingana na seti ya dhana za mara kwa mara, nadharia zingine zinathibitishwa. Wanaunda msingi wa planimetry na ni muundo wa mantiki wa jiometri. Axioms imara katika sayansi hii hufafanuliwa kama vitu vya asili yoyote. Nazo, kwa upande wake, zina sifa ambazo zimebainishwa katika dhana zisizobadilika.
Uchunguzi zaidi wa aksioms
Mbinu hiyo ilichukuliwa kuwa bora hadi karne ya kumi na tisa. Njia za kimantiki za kutafuta dhana za msingi hazijasomwa nyuma katika siku hizo, lakini katika mfumo wa Euclid mtu anaweza kuchunguza muundo wa kupata matokeo ya maana kutoka kwa njia ya axiomatic. Utafiti wa mwanasayansi ulionyesha wazo la jinsi ya kupata mfumo kamili wa maarifa ya kijiometri kulingana na njia ya kujitolea. Zilitolewa kwa idadi ndogo ya misemo inayodaiwa ambayo ni ya kweli inayodhihirishwa.
Sifa za akili za Wagiriki wa kale
Euclid alithibitisha dhana nyingi, na baadhi yake zilithibitishwa. Hata hivyo, wengi wanahusisha sifa hizi kwa Pythagoras, Democritus na Hippocrates. Mwisho ulikusanya kozi kamili ya jiometri. Kweli, baadaye katika Alexandria akatokamkusanyiko "Mwanzo", mwandishi ambaye alikuwa Euclid. Kisha, ilibadilishwa jina kuwa "Jiometri ya Msingi". Baada ya muda walianza kumkosoa kwa sababu fulani:
- thamani zote zilijengwa kwa rula na dira pekee;
- jiometri na hesabu zilitenganishwa na kuthibitishwa kwa nambari na dhana halali;
- axioms, baadhi yao, haswa, postu ya tano, ilipendekezwa kufutwa kutoka kwa orodha ya jumla.
Kutokana na hayo, jiometri isiyo ya Euclidean inaonekana katika karne ya 19, ambapo hakuna mkao wa kweli wa kweli. Hatua hii ilitoa msukumo kwa maendeleo zaidi ya mfumo wa kijiometri. Kwa hivyo, watafiti wa hisabati walikuja kwenye mbinu za ujenzi wa kupunguzwa.
Ukuzaji wa maarifa ya hisabati kulingana na misemo
Mfumo mpya wa jiometri ulipoanza kutengenezwa, mbinu ya axiomatic pia ilibadilika. Katika hisabati, walianza kugeukia mara nyingi zaidi kwa nadharia ya upunguzaji wa nadharia. Kama matokeo, mfumo mzima wa uthibitisho umetokea katika mantiki ya kisasa ya nambari, ambayo ndio sehemu kuu ya sayansi yote. Katika muundo wa hisabati ilianza kuelewa hitaji la kuhesabiwa haki.
Kwa hivyo, kufikia mwisho wa karne, kazi zilizo wazi na ujenzi wa dhana changamano ziliundwa, ambazo kutoka kwa nadharia changamano zilipunguzwa hadi kauli rahisi ya kimantiki. Kwa hivyo, jiometri isiyo ya Euclidean ilichochea msingi thabiti wa kuwepo zaidi kwa njia ya axiomatic, na pia kwa kutatua matatizo ya asili ya jumla.miundo ya hisabati:
- uthabiti;
- ujazo;
- uhuru.
Katika mchakato huo, mbinu ya ukalimani ilijitokeza na ilitengenezwa kwa ufanisi. Njia hii inaelezewa kama ifuatavyo: kwa kila dhana ya pato katika nadharia, kitu cha hisabati kinawekwa, jumla ambayo inaitwa shamba. Taarifa kuhusu vipengele vilivyoainishwa inaweza kuwa ya uwongo au kweli. Kwa hivyo, taarifa hupewa majina kulingana na hitimisho.
Sifa za nadharia ya ukalimani
Kama sheria, sehemu na sifa pia huzingatiwa katika mfumo wa hisabati, na, kwa upande wake, inaweza kuwa axiomatic. Tafsiri inathibitisha kauli ambazo ndani yake kuna uwiano wa jamaa. Chaguo la ziada ni idadi ya ukweli ambapo nadharia inakuwa kinzani.
Kwa hakika, sharti hilo hutimizwa katika baadhi ya matukio. Kama matokeo, zinageuka kuwa ikiwa kuna dhana mbili za uwongo au za kweli katika taarifa za moja ya taarifa, basi inachukuliwa kuwa mbaya au chanya. Njia hii ilitumiwa kuthibitisha uthabiti wa jiometri ya Euclid. Kutumia njia ya kutafsiri, mtu anaweza kutatua swali la uhuru wa mifumo ya axioms. Ikiwa unahitaji kukanusha nadharia yoyote, basi inatosha kuthibitisha kwamba moja ya dhana haitokani na nyingine na ni potofu.
Hata hivyo, pamoja na taarifa zilizofaulu, mbinu hiyo pia ina udhaifu. Uthabiti na uhuru wa mifumo ya axioms hutatuliwa kama maswali ambayo hupata matokeo ambayo ni jamaa. Mafanikio muhimu tu ya tafsiri niugunduzi wa dhima ya hesabu kama muundo ambapo suala la uthabiti limepunguzwa hadi idadi ya sayansi zingine.
Maendeleo ya kisasa ya hisabati aksiomatiki
Mbinu ya axiomatic ilianza kusitawishwa katika kazi ya Gilbert. Katika shule yake, dhana yenyewe ya nadharia na mfumo rasmi ilifafanuliwa. Matokeo yake, mfumo wa jumla ulitokea, na vitu vya hisabati vilikuwa sahihi. Kwa kuongeza, iliwezekana kutatua masuala ya kuhesabiwa haki. Kwa hivyo, mfumo rasmi unaundwa na tabaka kamili, ambalo lina mifumo midogo ya fomula na nadharia.
Ili kuunda muundo huu, unahitaji tu kuongozwa na urahisi wa kiufundi, kwa sababu hawana mzigo wa kisemantiki. Wanaweza kuandikwa kwa ishara, alama. Hiyo ni, kwa kweli, mfumo wenyewe umejengwa kwa namna ambayo nadharia rasmi inaweza kutumika vya kutosha na kikamilifu.
Kutokana na hayo, lengo au kazi mahususi ya hisabati hutiwa katika nadharia kulingana na maudhui ya kweli au hoja za kudokeza. Lugha ya sayansi ya nambari huhamishwa hadi kwa mfumo rasmi, katika mchakato huo usemi wowote thabiti na wenye maana huamuliwa na fomula.
Njia ya kurasimisha
Katika hali ya asili ya mambo, mbinu kama hii itaweza kutatua masuala ya kimataifa kama vile uthabiti, na pia kujenga kiini chanya cha nadharia za hisabati kulingana na fomula zinazotolewa. Na kimsingi haya yote yatatatuliwa na mfumo rasmi unaozingatia kauli zilizothibitishwa. Nadharia za hisabati zilikuwa ngumu kila wakati na uhalali, naGilbert alipendekeza kuchunguza muundo huu kwa kutumia njia zenye kikomo. Lakini mpango huu haukufaulu. Matokeo ya Gödel tayari katika karne ya ishirini yalipelekea hitimisho lifuatalo:
- uthabiti wa asili hauwezekani kutokana na ukweli kwamba hesabu rasmi au sayansi nyingine kama hiyo kutoka kwa mfumo huu itakuwa haijakamilika;
- fomula zisizoweza kusuluhishwa zimeonekana;
- madai hayawezi kuthibitishwa.
Hukumu za kweli na umaliziaji unaokubalika unachukuliwa kuwa rasmi. Kwa kuzingatia hili, mbinu ya axiomatic ina mipaka fulani na wazi na uwezekano ndani ya nadharia hii.
Matokeo ya ukuzaji wa nadharia katika kazi za wanahisabati
Licha ya ukweli kwamba baadhi ya hukumu zimekanushwa na hazijaendelezwa ipasavyo, mbinu ya dhana zisizobadilika ina dhima kubwa katika kuunda misingi ya hisabati. Kwa kuongezea, ukalimani na mbinu ya kiaksimia katika sayansi imefichua matokeo ya kimsingi ya uthabiti, uhuru wa kauli za chaguo na dhahania katika nadharia nyingi.
Katika kushughulikia suala la uthabiti, jambo kuu ni kutumia sio tu dhana zilizowekwa. Pia zinahitaji kuongezewa na mawazo, dhana na njia za kumaliza. Katika kesi hii, maoni mbalimbali, mbinu, nadharia zinazingatiwa, ambazo zinapaswa kuzingatia maana ya kimantiki na uhalali.
Uthabiti wa mfumo rasmi unaonyesha ukamilisho sawa wa hesabu, ambao unatokana na introduktionsutbildning, kuhesabu, nambari transfinite. Katika uwanja wa kisayansi, axiomatization ni muhimu zaidichombo ambacho kina dhana na kauli zisizopingika ambazo huchukuliwa kama msingi.
Kiini cha kauli za awali na nafasi yake katika nadharia
Tathmini ya mbinu ya aksiomatiki inaonyesha kuwa baadhi ya muundo upo katika asili yake. Mfumo huu umejengwa kutokana na utambuzi wa dhana ya msingi na kauli za kimsingi ambazo hazijafafanuliwa. Kitu kimoja kinatokea kwa nadharia ambazo zinachukuliwa kuwa asili na zinakubaliwa bila uthibitisho. Katika sayansi ya asili, kauli kama hizo zinaungwa mkono na kanuni, mawazo, sheria.
Kisha mchakato wa kurekebisha misingi imara ya hoja hufanyika. Kama sheria, mara moja inaonyeshwa kuwa mwingine hutolewa kutoka kwa nafasi moja, na katika mchakato huo wengine hutoka, ambayo, kwa asili, sanjari na njia ya kupunguza.
Vipengele vya mfumo katika nyakati za kisasa
Mfumo wa axiomatic ni pamoja na:
- hitimisho la kimantiki;
- sheria na ufafanuzi;
- kauli na dhana zisizo sahihi kiasi.
Katika sayansi ya kisasa, mbinu hii imepoteza mukhtasari wake. Axiomatization ya kijiometri ya Euclidean ilitokana na mapendekezo angavu na ya kweli. Na nadharia hiyo ilitafsiriwa kwa njia ya kipekee, ya asili. Leo, axiom ni kifungu ambacho ni dhahiri yenyewe, na makubaliano, na makubaliano yoyote, yanaweza kufanya kama dhana ya awali ambayo haihitaji kuhesabiwa haki. Kwa hivyo, maadili asili yanaweza kuwa mbali na maelezo. Mbinu hii inahitaji ubunifu, ujuzi wa mahusiano na nadharia ya msingi.
Kanuni za msingi za kupata hitimisho
Mbinu ya aksiomatiki inayopunguza ni maarifa ya kisayansi, yaliyoundwa kulingana na mpango fulani, ambao unatokana na nadharia zinazotambulika kwa usahihi, zinazopata taarifa kuhusu ukweli wa majaribio. Hitimisho kama hilo limejengwa kwa msingi wa miundo ya kimantiki, na derivation ngumu. Axioms mwanzoni ni kauli zisizopingika ambazo hazihitaji uthibitisho.
Wakati wa kukatwa, mahitaji fulani hutumika kwa dhana za awali: uthabiti, ukamilifu, uhuru. Kama inavyoonyesha mazoezi, hali ya kwanza inategemea maarifa rasmi ya kimantiki. Yaani nadharia hiyo isiwe na maana ya ukweli na uwongo, kwa sababu haitakuwa na maana na thamani tena.
Iwapo sharti hili halijafikiwa, basi linachukuliwa kuwa haliendani na maana yoyote inapotea ndani yake, kwa sababu mzigo wa kimaana kati ya ukweli na uwongo umepotea. Kwa kiasi, mbinu ya axiomatic ni njia ya kujenga na kuthibitisha maarifa ya kisayansi.
Utumiaji kivitendo wa mbinu
Mbinu ya axiomatic ya kujenga maarifa ya kisayansi ina matumizi ya vitendo. Kwa kweli, njia hii huathiri na ina umuhimu wa kimataifa kwa hisabati, ingawa ujuzi huu tayari umefikia kilele chake. Mifano ya mbinu ya aksiomatiki ni kama ifuatavyo:
- ndege za affine zina kauli tatu na ufafanuzi;
- nadharia ya usawa ina thibitisho tatu;
- mahusiano ya binary yamegawanywa katika mfumo wa ufafanuzi, dhana na mazoezi ya ziada.
Ikiwa unataka kuunda maana asili, unahitaji kujua asili ya seti na vipengele. Kimsingi, mbinu ya axiomatic iliunda msingi wa nyanja mbalimbali za sayansi.
