Kwa watu wengi, uchanganuzi wa hisabati ni mkusanyiko tu wa nambari, aikoni na fasili zisizoeleweka ambazo ziko mbali na maisha halisi. Walakini, ulimwengu ambao tunaishi umejengwa juu ya mifumo ya nambari, kitambulisho ambacho husaidia sio tu kujifunza juu ya ulimwengu unaotuzunguka na kutatua shida zake ngumu, lakini pia kurahisisha kazi za kila siku za vitendo. Mtaalamu wa hisabati anamaanisha nini anaposema kwamba mfuatano wa nambari huungana? Hili linapaswa kujadiliwa kwa undani zaidi.
Usio na kikomo ni nini?
Hebu tuwazie wanasesere wa matryoshka wanaotoshea mmoja ndani ya mwingine. Ukubwa wao, ulioandikwa kwa namna ya nambari, kuanzia na kubwa na kuishia na ndogo zaidi, huunda mlolongo. Ikiwa unafikiria idadi isiyo na kipimo ya takwimu hizo mkali, basi safu inayotokana itakuwa ndefu sana. Huu ni mlolongo wa nambari zinazounganika. Na inaelekea sifuri, kwani saizi ya kila mwanasesere wa kiota anayefuata, hupungua kwa bahati mbaya, polepole hubadilika kuwa chochote. Hivyo ni rahisiinaweza kuelezewa: ni nini kisicho na kikomo.
Mfano sawia utakuwa barabara inayoelekea kwa umbali. Na vipimo vya kuona vya gari linaloendesha mbali na mwangalizi kando yake, kupungua kwa hatua kwa hatua, kugeuka kuwa speck isiyo na sura inayofanana na dot. Kwa hivyo, mashine, kama kitu, ikienda mbali kwa mwelekeo usiojulikana, inakuwa ndogo sana. Vigezo vya mwili uliobainishwa kamwe havitakuwa sifuri katika maana halisi ya neno, lakini mara kwa mara huwa na thamani hii katika kikomo cha mwisho. Kwa hivyo, mfuatano huu huungana tena hadi sufuri.
Hesabu kila kitu kushuka kwa kushuka
Hebu fikiria sasa hali ya kidunia. Daktari aliagiza mgonjwa kuchukua dawa, kuanzia na matone kumi kwa siku na kuongeza mbili kila siku inayofuata. Na kwa hivyo daktari alipendekeza kuendelea hadi yaliyomo kwenye chupa ya dawa, ambayo kiasi chake ni matone 190, itaisha. Inafuata kutoka kwa hapo juu kwamba idadi ya hizo, iliyopangwa kwa siku, itakuwa mfululizo wa nambari zifuatazo: 10, 12, 14 na kadhalika.
Jinsi ya kujua muda wa kukamilisha kozi nzima na idadi ya washiriki wa mfuatano huo? Hapa, bila shaka, mtu anaweza kuhesabu matone kwa njia ya primitive. Lakini ni rahisi zaidi, kutokana na muundo, kutumia formula kwa jumla ya maendeleo ya hesabu na hatua d=2. Na kwa kutumia njia hii, tafuta kwamba idadi ya wanachama wa mfululizo wa nambari ni 10. Katika kesi hii., a10=28. Nambari ya uume inaonyesha idadi ya siku za kuchukua dawa, na 28 inalingana na idadi ya matone ambayo mgonjwa anapaswatumia siku ya mwisho. Je, mlolongo huu unakutana? Hapana, kwa sababu licha ya ukweli kwamba ni mdogo kwa 10 kutoka chini na 28 kutoka juu, mfululizo huo wa nambari hauna kikomo, tofauti na mifano ya awali.
Kuna tofauti gani?
Hebu sasa tujaribu kufafanua: wakati mfululizo wa nambari unageuka kuwa mfuatano wa muunganisho. Ufafanuzi wa aina hii, kama inavyoweza kuhitimishwa kutoka hapo juu, inahusiana moja kwa moja na dhana ya kikomo cha mwisho, uwepo ambao unaonyesha kiini cha suala hilo. Kwa hivyo ni tofauti gani ya kimsingi kati ya mifano iliyotolewa hapo awali? Na kwa nini katika mwisho wao, nambari 28 haiwezi kuzingatiwa kikomo cha safu ya nambari X =10 + 2(n-1)?
Ili kufafanua swali hili, zingatia mfuatano mwingine uliotolewa na fomula iliyo hapa chini, ambapo n ni ya seti ya nambari asilia.
Jumuiya hii ya wanachama ni seti ya sehemu za kawaida, nambari ambayo nambari yake ni 1, na kipunguzo kinaongezeka kila mara: 1, ½ …
Zaidi ya hayo, kila mwakilishi mfuatano wa mfululizo huu anakaribia 0 zaidi na zaidi kulingana na eneo kwenye mstari wa nambari. Na hii ina maana kwamba ujirani kama huo huonekana ambapo pointi zinakusanyika karibu na sifuri, ambayo ni kikomo. Na kadiri wanavyokaribia, ndivyo mkusanyiko wao kwenye mstari wa nambari unavyozidi kuwa mnene. Na umbali kati yao umepunguzwa kwa bahati mbaya, na kugeuka kuwa isiyo na ukomo. Hii ni ishara kwamba mlolongo unabadilika.
InafananaKwa hivyo, mistatili ya rangi nyingi iliyoonyeshwa kwenye mchoro, wakati wa kusonga mbali katika nafasi, inaonekana zaidi na watu wengi, katika kikomo cha dhahania na kugeuka kuwa kidogo.
Mfululizo mkubwa kabisa
Baada ya kuchanganua ufafanuzi wa mfuatano wa muunganisho, wacha tuendelee kwa mifano pinzani. Wengi wao wamejulikana kwa mwanadamu tangu nyakati za kale. Lahaja rahisi zaidi za mpangilio tofauti ni safu ya nambari asilia na hata. Wanaitwa wakubwa sana kwa njia tofauti, kwa kuwa wanachama wao, wanaoongezeka mara kwa mara, wanazidi kukaribia ukomo chanya.
Mfano wa aina hizo pia unaweza kuwa maendeleo yoyote ya hesabu na kijiometri yenye hatua na kiashiria, mtawalia, kubwa kuliko sifuri. Kwa kuongeza, mfululizo wa nambari huchukuliwa kuwa mlolongo tofauti, ambao hauna kikomo hata kidogo. Kwa mfano, X =(-2) -1.
Msururu wa Fibonacci
Manufaa ya kiutendaji ya mfululizo wa nambari uliotajwa hapo awali kwa wanadamu hayawezi kupingwa. Lakini kuna mifano mingine mingi mikuu. Mmoja wao ni mlolongo wa Fibonacci. Kila moja ya wanachama wake, ambayo huanza na moja, ni jumla ya wale waliotangulia. Wawakilishi wake wawili wa kwanza ni 1 na 1. Wa tatu 1+1=2, wa nne 1+2=3, wa tano 2+3=5. Zaidi, kwa mujibu wa mantiki hiyo hiyo, nambari 8, 13, 21 na kadhalika hufuata.
Msururu huu wa nambari huongezeka kwa muda usiojulikana na haunakikomo cha mwisho. Lakini ina mali nyingine ya ajabu. Uwiano wa kila nambari iliyotangulia hadi inayofuata inakaribia zaidi na karibu kwa thamani yake hadi 0.618. Hapa unaweza kuelewa tofauti kati ya mlolongo wa kuunganishwa na tofauti, kwa sababu ikiwa utafanya mfululizo wa mgawanyiko wa sehemu uliopokelewa, mfumo wa nambari ulioonyeshwa utafanya. kuwa na kikomo cha mwisho sawa na 0.618.
Msururu wa uwiano wa Fibonacci
Msururu wa nambari ulioonyeshwa hapo juu hutumiwa sana kwa madhumuni ya vitendo kwa uchanganuzi wa kiufundi wa soko. Lakini hii sio tu kwa uwezo wake, ambao Wamisri na Wagiriki walijua na waliweza kutekeleza katika nyakati za zamani. Hii inathibitishwa na piramidi walizojenga na Parthenon. Baada ya yote, nambari 0.618 ni mgawo wa mara kwa mara wa sehemu ya dhahabu, inayojulikana katika siku za zamani. Kulingana na sheria hii, sehemu yoyote ya kiholela inaweza kugawanywa ili uwiano kati ya sehemu zake ulingane na uwiano kati ya sehemu kubwa zaidi na urefu wa jumla.
Hebu tuunde mfululizo wa mahusiano yaliyoonyeshwa na tujaribu kuchanganua mlolongo huu. Msururu wa nambari utakuwa kama ifuatavyo: 1; 0.5; 0.67; 0.6; 0.625; 0.615; 0, 619 na kadhalika. Kuendelea kwa njia hii, tunaweza kuhakikisha kwamba kikomo cha mlolongo wa kuunganishwa kitakuwa kweli 0.618. Hata hivyo, ni muhimu kutambua sifa nyingine za utaratibu huu. Hapa nambari zinaonekana kwenda nasibu, na sio kabisa kwa mpangilio wa kupanda au kushuka. Hii ina maana kwamba mfuatano huu wa kuunganika sio sauti moja. Kwa nini hii ni hivyo itajadiliwa zaidi.
Monotonicity na kizuizi
Wanachama wa mfululizo wa nambari wanaweza kupungua kwa njia dhahiri kwa nambari inayoongezeka (ikiwa x1>x2>x3>…>x >…) au kuongeza (kama x1<x23x6323<…<x <…). Katika kesi hii, mlolongo unasemekana kuwa monotonic madhubuti. Miundo mingine pia inaweza kuzingatiwa, ambapo mfululizo wa nambari hautakuwa wa kupungua na usioongezeka (x1≧x2≧x 3≧ …≧x ≧… au x1≦x2≦x 3 ≦…≦x ≦…), kisha ile inayounganika mfululizo pia ni monotonic, tu si kwa maana kali. Mfano mzuri wa chaguo la kwanza kati ya hizi ni safu ya nambari iliyotolewa na fomula ifuatayo.
Baada ya kuchora nambari za mfululizo huu, unaweza kuona kwamba mwanachama wake yeyote, anayekaribia 1 kwa muda usiojulikana, hatazidi thamani hii. Katika kesi hii, mlolongo wa kuunganishwa unasemekana kuwa na mipaka. Hii hutokea wakati wowote kunapokuwa na nambari chanya M, ambayo huwa kubwa kila wakati kuliko masharti yoyote ya modulo ya mfululizo. Ikiwa safu ya nambari ina ishara za monotonicity na ina kikomo, na kwa hivyo inabadilika, basi lazima ipewe mali kama hiyo. Na kinyume chake si lazima kiwe kweli. Hii inathibitishwa na nadharia ya mipaka kwa mfuatano wa muunganisho.
Utumiaji wa uchunguzi kama huu katika mazoezi ni muhimu sana. Wacha tutoe mfano maalum kwa kuchunguza sifa za mlolongo X =n/n+1, na uthibitishe muunganiko wake. Ni rahisi kuonyesha kuwa ni sauti moja, kwa kuwa (x +1 – x) ni nambari chanya. kwa maadili yoyote ya n. Kikomo cha mlolongo ni sawa na nambari 1, ambayo ina maana kwamba masharti yote ya theorem hapo juu, pia huitwa theorem ya Weierstrass, yameridhika. Nadharia juu ya mipaka ya mlolongo wa kuunganishwa inasema kwamba ikiwa ina kikomo, basi kwa hali yoyote inageuka kuwa imefungwa. Hata hivyo, acheni tuchukue mfano ufuatao. Msururu wa nambari X =(-1) umepakana kutoka chini kwa -1 na kutoka juu na 1. Lakini mlolongo huu sio monotonic, hauna kikomo, na kwa hivyo haiunganishi. Hiyo ni, uwepo wa kikomo na muunganisho haufuati kila wakati kutoka kwa ukomo. Ili hili lifanye kazi, vikomo vya chini na vya juu lazima vilingane, kama ilivyo kwa uwiano wa Fibonacci.
Nambari na sheria za Ulimwengu
Vibadala rahisi zaidi vya mfuatano unaobadilika na unaotofautiana labda ni mfululizo wa nambari X =n na X =1/n. Wa kwanza wao ni mfululizo wa asili wa nambari. Ni, kama ilivyotajwa tayari, kubwa sana. Mlolongo wa pili wa kuunganishwa umefungwa, na masharti yake ni karibu na infinitesimal kwa ukubwa. Kila moja ya fomula hizi huwakilisha mojawapo ya pande za Ulimwengu wenye pande nyingi, zikimsaidia mtu kuwazia na kuhesabu kitu kisichojulikana, kisichoweza kufikiwa na utambuzi mdogo katika lugha ya nambari na ishara.
Sheria za ulimwengu, kuanzia zisizofaa hadi kubwa sana, pia zinaonyesha uwiano wa dhahabu wa 0.618. Wanasayansiwanaamini kwamba ni msingi wa kiini cha vitu na hutumiwa na asili kuunda sehemu zake. Mahusiano kati ya wanachama wafuatayo na wa awali wa mfululizo wa Fibonacci, ambao tumetaja tayari, haukamilisha maonyesho ya mali ya ajabu ya mfululizo huu wa kipekee. Ikiwa tunazingatia mgawo wa kugawanya muda uliopita na ijayo kwa moja, basi tunapata mfululizo wa 0.5; 0.33; 0.4; 0.375; 0.384; 0.380; 0, 382 na kadhalika. Inashangaza kwamba mlolongo huu mdogo huungana, si wa kuchukiza, lakini uwiano wa nambari za jirani uliokithiri kutoka kwa mwanachama fulani daima takriban sawa na 0.382, ambayo inaweza pia kutumika katika usanifu, uchambuzi wa kiufundi na sekta nyingine.
Kuna vigawo vingine vya kuvutia vya mfululizo wa Fibonacci, vyote vina jukumu maalum katika asili, na pia hutumiwa na mwanadamu kwa madhumuni ya vitendo. Wanahisabati wana hakika kwamba Ulimwengu hukua kulingana na "ond ya dhahabu" fulani, iliyoundwa kutoka kwa mgawo ulioonyeshwa. Kwa msaada wao, inawezekana kuhesabu matukio mengi yanayotokea duniani na katika nafasi, kuanzia ukuaji wa idadi ya bakteria fulani hadi harakati za comets za mbali. Inavyokuwa, msimbo wa DNA unatii sheria sawa.
Kupungua kwa maendeleo ya kijiometri
Kuna nadharia inayosisitiza upekee wa kikomo cha mfuatano wa muunganisho. Hii ina maana kwamba haiwezi kuwa na mipaka miwili au zaidi, ambayo bila shaka ni muhimu kwa kupata sifa zake za hisabati.
Hebu tuangalie baadhikesi. Msururu wowote wa nambari unaojumuisha washiriki wa maendeleo ya hesabu ni tofauti, isipokuwa kwa kesi iliyo na hatua sifuri. Vile vile hutumika kwa maendeleo ya kijiometri, denominator ambayo ni kubwa kuliko 1. Mipaka ya mfululizo huo wa nambari ni "plus" au "minus" ya infinity. Ikiwa denominator ni chini ya -1, basi hakuna kikomo kabisa. Chaguo zingine zinawezekana.
Zingatia mfululizo wa nambari uliotolewa kwa fomula X =(1/4) -1. Kwa mtazamo wa kwanza, ni rahisi kuona kwamba mfuatano huu wa muunganisho umewekewa mipaka kwa sababu unapungua kabisa na kwa vyovyote hauwezi kuchukua maadili hasi.
Hebu tuandike idadi ya wanachama wake mfululizo.
Itakuwa: 1; 0.25; 0.0625; 0.015625; 0, 00390625 na kadhalika. Mahesabu rahisi kabisa yanatosha kuelewa jinsi maendeleo haya ya kijiometri hupungua haraka kutoka kwa denominators 0<q<1. Wakati dhehebu ya maneno huongezeka kwa muda usiojulikana, wao wenyewe huwa na ukomo. Hii ina maana kwamba kikomo cha mfululizo wa nambari ni 0. Mfano huu kwa mara nyingine unaonyesha asili finyu ya mfuatano wa muunganisho.
Mfuatano wa kimsingi
Augustin Louis Cauchy, mwanasayansi Mfaransa, alifichulia ulimwengu kazi nyingi zinazohusiana na uchanganuzi wa hisabati. Alitoa ufafanuzi kwa dhana kama vile tofauti, muhimu, kikomo, na mwendelezo. Pia alisoma mali ya msingi ya mfuatano wa kuunganika. Ili kuelewa kiini cha mawazo yake,baadhi ya maelezo muhimu yanahitaji kufupishwa.
Mwanzoni kabisa mwa kifungu hicho, ilionyeshwa kuwa kuna mlolongo kama huo ambao kuna ujirani ambapo vidokezo vinavyowakilisha washiriki wa safu fulani kwenye safu halisi huanza kushikana, na kujipanga zaidi na zaidi. mnene. Wakati huo huo, umbali kati yao hupungua kadri idadi ya mwakilishi anayefuata inavyoongezeka, na kugeuka kuwa ndogo sana. Kwa hivyo, zinageuka kuwa katika kitongoji kilichopewa idadi isiyo na kipimo ya wawakilishi wa safu fulani wamejumuishwa, wakati nje yake kuna idadi yao ya mwisho. Mfuatano kama huo unaitwa msingi.
Kigezo maarufu cha Cauchy, kilichoundwa na mwanahisabati Mfaransa, kinaonyesha wazi kuwa uwepo wa mali kama hiyo unatosha kuthibitisha kwamba mfuatano huo unakutana. Kinyume chake pia ni kweli.
Ikumbukwe kwamba hitimisho hili la mwanahisabati Mfaransa mara nyingi lina maslahi ya kinadharia. Utumiaji wake katika mazoezi unachukuliwa kuwa jambo gumu zaidi, kwa hivyo, ili kufafanua muunganisho wa safu, ni muhimu zaidi kudhibitisha uwepo wa kikomo cha mwisho cha mlolongo. Vinginevyo, inachukuliwa kuwa tofauti.
Wakati wa kutatua matatizo, mtu anapaswa pia kuzingatia sifa za kimsingi za mifuatano ya muunganisho. Zinaonyeshwa hapa chini.
Jumla zisizo na kikomo
Wanasayansi mashuhuri wa zamani kama vile Archimedes, Euclid, Eudoxus walitumia hesabu za mfululizo wa nambari zisizo na kikomo kukokotoa urefu wa mikondo, wingi wa miili.na maeneo ya takwimu. Hasa, kwa njia hii iliwezekana kujua eneo la sehemu ya parabolic. Kwa hili, jumla ya mfululizo wa nambari za maendeleo ya kijiometri na q=1/4 ilitumiwa. Kiasi na maeneo ya takwimu zingine za kiholela zilipatikana kwa njia sawa. Chaguo hili liliitwa njia ya "kuchoka". Wazo lilikuwa kwamba mwili uliosomwa, ulio ngumu kwa umbo, ulivunjwa katika sehemu, ambazo zilikuwa takwimu zilizo na vigezo vilivyopimwa kwa urahisi. Kwa sababu hii, haikuwa vigumu kukokotoa maeneo na ujazo wao, kisha wakajumlisha.
Kwa njia, kazi zinazofanana zinajulikana sana kwa watoto wa shule wa kisasa na zinapatikana katika kazi za USE. Njia ya pekee, iliyopatikana na mababu wa mbali, ni kwa mbali suluhisho rahisi zaidi. Hata ikiwa kuna sehemu mbili au tatu tu ambazo nambari ya nambari imegawanywa, nyongeza ya maeneo yao bado ni jumla ya safu ya nambari.
Baadaye sana kuliko wanasayansi wa kale wa Ugiriki Leibniz na Newton, kulingana na uzoefu wa watangulizi wao wenye busara, walijifunza mifumo ya hesabu muhimu. Ujuzi wa sifa za mfuatano uliwasaidia kutatua milinganyo ya kutofautisha na ya aljebra. Kwa sasa, nadharia ya mfululizo, iliyoundwa na jitihada za vizazi vingi vya wanasayansi wenye vipaji, inatoa nafasi ya kutatua idadi kubwa ya matatizo ya hisabati na vitendo. Na utafiti wa mfuatano wa nambari umekuwa tatizo kuu lililotatuliwa na uchanganuzi wa hisabati tangu kuanzishwa kwake.
